第四章 指数函数与对数函数期末复习题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 期末复习题

一、单选题（12题）

1．下列式子的值为的是（  ）

A． B． C． D．

2．已知，则（  ）

A．7 B．9 C．47 D．49

3．，，，则、、的大小关系为（  ）

A． B． C． D．

4．已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

5．函数的部分图象大致是（  ）

A． B．

C． D．

6．设，则（  ）

A．8 B．11 C．12 D．18

7．已知且恒成立，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

8．设，，，则下列选项正确的是（  ）

A． B． C． D．

9．函数的定义域为（  ）

A．[0，1) B．(－∞，1) C．(1，+∞) D．[0，+∞)

10．函数是（  ）

A．在上为增函数 B．在上为减函数 

C．在上为增函数 D．在上是减函数

11．已知函数.在下列区间中，包含零点的是（  ）

A． B． C． D．

12．已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（  ）

A． B．

C． D．

二、填空题（4题）

13．已知，化简：___________.

14．已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是__________．

15．函数的定义域为___________.

16．已知函数，设a，b，c是三个不相等的实数，且满足，则abc的取值范围为___________.

三、解答题（6题）

17．（1）化简；

（2）若，求的值.

18．已知函数的定义域为，图象过点.

(1)求的值域；

(2)是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.

19．已知函数的图像经过点．

(1)求的表达式；

(2)用函数单调性的定义证明：函数是上的严格增函数．

20．已知函数．

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．

21．已知函数．

(1)判断的奇偶性；

(2)若，求的取值范围；

(3)当时，求的值域．

22．若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．

(1)函数是否有“飘移点”？请说明理由；

(2)证明函数在上有“飘移点”；

(3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】根据根式与分数指数幂之间的转化，逐一化简即可得到结果.

【详解】，，，，

故选:D.

2．C

【分析】对两边平方化简后，再平方化简可求得结果.

【详解】由，得，即，

所以，

所以，即，

所以，

故选：C.

3．A

【分析】利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】因为，，

因为函数在上为增函数，所以，，即.

故选：A.

4．D

【分析】利用分段函数的单调性进行求解即可．

【详解】解：若在R上为增函数，则满足，即，得，得，即实数a的取值范围是.

故选：D．

5．B

【分析】先求出的奇偶性，排除AC，再代入特殊值，排除D，选出正确答案.

【详解】定义域为R，

且，

故为偶函数，关于y轴对称，AC错误；

，，故B正确，D错误.

故选：B.

6．D

【分析】计算，，代入计算即可.

【详解】，则，

，

故选：D.

7．C

【分析】利用对数运算可得出且、均为正数，利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】因为，则且、均为正数，

由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，

所以，的最小值为，所以，，即，解得.

故选：C.

8．C

【分析】根据对数函数单调性即可判断出三个数的大小，得出结果.

【详解】根据对数函数和在都是单调递增函数可知，

，即；

，即；

可得.

故选：C

9．A

【分析】直接根据函数解析式要求求解函数定义域即可.

【详解】已知，

则，解得，即函数的定义域为.

故选：A

10．C

【分析】先求出函数的定义域，再结合合函数的单调性即可求解.

【详解】由，即函数定义域为，故排除A、B选项；

令，则，

因为在上单调递减，在上单调递减，

由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增.

故选：C.

11．A

【分析】依次求出的符号，由零点存在定理判断即可.

【详解】，由零点存在定理可知，包含零点的是.

故选：A

12．D

【分析】根据函数的单调性与最值，利用数形结合的思想即可求解.

【详解】由题意可得，即在时有2个不同的解，

设，根据双勾函数的性质可知，

在单调递减，单调递增，

且，

要使在时有2个不同的解，

则，

故选:D.

13．

【分析】根据的运算性质，结合即可求解.

【详解】因为，，

所以，.

故答案为：.

14．

【分析】分类讨论两种情况，结合指数函数的单调性与二次函数的性质，即可求得的取值范围.

【详解】因为有最小值，当时，在上单调递增，且，即在上没有最小值.

当时，，则在上必有最小值，函数开口向上，对称轴是，

当时，函数，故不是函数的最小值，不满足题意，

当时，，要使是函数的最小值，则，即，解得或，所以.

综上，的取值范围是

故答案为：

15．

【分析】满足被开偶次根式的被开方数不小于零，对数中的真数大于零，分母不等于零.

【详解】由得

∴函数的定义域为

故答案为：

16．.

【分析】利用函数图像，数形结合进行分析

【详解】由题意的图像如图所示：.

当时，由，得，得，

若a，b，c互不相等，不妨设，

因为，

所以由图像可知，，

由，得，

即，

即，

则，

所以，

因为，

所以，

即，

所以abc的取值范围是.

故答案为：.

17．（1）；（2）

【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接计算即可.

（2）计算得到，平方化简得到答案.

【详解】（1）

.

（2），故，故，

，故.

18．(1)

(2)存在，

【分析】(1)根据函数图象过点求得的值，再证明函数的单调性即可求解； (2)将变化为 ，换元法讨论的取值范围即可求解.

【详解】（1）将代的解析式，得得，或.

设，且，则

在单调递增.

，即的值域为.

（2）令

等价于

故存在实数m，使得恒成立，

m的取值范围为.

19．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据函数的图象经过点列方程可求出的值，从而得解；

（2）任取且， 作差、变形、因式分解，判断差值的正负，再判断的大小，从而可得结论.

【详解】（1）因为函数的图像经过点，

所以，即，

所以；

（2）由（1）可知，

任取且，因为是严格增函数，

所以，，，

则

，

所以，

所以函数是上的严格增函数．

20．(1)

(2)奇函数，理由见解析

【分析】（1）根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；

（2）根据奇偶性的定义判断即可.

【详解】（1）解：由，等价于，解得，

故函数的定义域为；

（2）解：函数是奇函数，理由如下：

由（1）知，函数的定义域关于原点对称，且，

故函数为奇函数．

21．(1)奇函数

(2)

(3)

【分析】（1）由奇偶性的定义判断，

（2）由对数函数性质解不等式，

（3）由对数函数性质求解，

【详解】（1）由得，故的定义域为，

而，故为奇函数，

（2）由，

得，解得，故原不等式的解集为

（3）

当时，，

故的值域为

22．(1)不存在，理由见详解

(2)证明见详解

(3)

【分析】（1）根据题意整理得，通过判断该方程是否有解；

（2）根据题意可得，构建函数，结合零点存在性定理分析证明；

（3）根据题意整理得，利用换元结合基本不等式运算求解.

【详解】（1）不存在，理由如下：

对于，则，整理得，

∵，则该方程无解，

∴函数不存在“飘移点”.

（2）对于，则，整理得，

∵在内连续不断，且，

∴在内存在零点，则方程在内存在实根，

故函数在上有“飘移点”.

（3）对于，则，即，

∵，则，

令，则，

∴，

又∵，当且仅当，即时等号成立，

则，，

∴，即，

故实数a的取值范围为.