河北省张家口市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省张家口市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了过点P作圆E，以下命题正确的有，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

张家口市2022－2023学年度高三年级第一学期期末考试
数　学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合U＝{x|1≤x≤10}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5，6}，则
(∁U A)∩B＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.已知复数z－2i＝，则＝
A.1－4i B.1＋4i
C.5－12i D.1－2i
3.已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为
A. B.
C. D.
4.已知函数f (x)为偶函数，定义域为R，当x>0时，f ′ (x)<0，则不等式f (x2－x)－f (x)>0的解集为
A. B.
C. D.

5.石碾子是我国传统粮食加工工具．如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成．碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为

A.3∶2 B.5∶4 C.5∶3 D.4∶3
6.已知等差数列{an}的首项a1≠0，而a9＝0，则＝
A.0 B.2 C.－1 D.
7.过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的切线，则切线方程为
A.x＋y－2＝0 B.2x－y－1＝0　
C.x－2y＋1＝0 D.x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0
8.设a＝，b＝，c＝，则
A.a 二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9.以下命题正确的有
A.一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越小
B.一组数据的频率分布直方图如右图所示，则该组数据
的平均数一定小于中位数
C.样本相关系数r的大小能反映成对样本数据之间的线性相关的程度，而决定系数R2的大小可以比较不同模型的拟合效果
D.分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例

10.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（2,1），直线l与椭圆C交于A，B两点，则
A.·的最大值为16　
B.△AF1F2的内切圆半径r≤
C.＋的最小值为7
D.若M为AB的中点，则直线l的方程为x＋y－3＝0　
11.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，H分别为AD，DD1，BB1的中点，则
A.直线A1D⊥平面BEF
B.直线AH∥平面BEF
C.三棱锥H－EFB的体积为
D.三棱锥H－CFB的外接球的表面积为9π
12.已知x>1，方程x－2x＝0，x－log2x＝0在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有
A.b－a＝2a－log2b B.＋＝1
C.a＋b<4 D.b－a>1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量a＝(3，2)，b＝(λ－2，λ)，a∥b，则实数λ＝________．
14.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F到C的一条渐近线y＋2x＝0的距离为2，则双曲线C的方程为________．
15.已知直线l：y＝kx＋b是函数f (1)＝ax2与函数g＝ex的公切线，若 （1，f(1)）是直线l与函数f 相切的切点，则b＝________．
16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，c＝3b，则△ABC面积的最大值是__________；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
因疫情防控需要，某社区每天都要在上午6点到8点之间对全社区居民完成核酸采集，该社区有A，B两个居民小区，两小区的居住人数之比为9∶11，这两个小区各设有一个核酸采集点，为了解该社区居民的核酸采集排队时间，用按比例分配分层随机抽样的方法在两小区中随机抽取了100位居民，调查了他们一次核酸采集排队时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．

(1)由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸采集中排队时长超过16分钟的居民比例；
(2)另据调查，这100人中一次核酸采集排队时间超过16分钟的人中有20人来自A小区，根据所给数据，填写完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为排队时间是否超过16分钟与小区有关联？

排队时间超过16分钟
排队时间不超过16分钟
合计
A小区



B小区



合计



附表：
α
0.100
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：14×0.075＝1.05，18×0.0375＝0.675，22×0.025＝0.55，24×0.0375＝0.9，26×0.0125＝0.325，28×0.0125＝0.35.
18.(本小题满分12分)
已知Sn为数列的前n项和，Sn＝2an－4n＋2.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和Tn.




19.(本小题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝sin C(sin C＋sin B).
(1)求A；
(2)如图，在△ABC所在平面上存在点E，连接BE，CE，若EC＝AC，∠ACE＝120°，∠EBC＝30°，BC＝2，求△ABC的面积．


20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，PC＝PB＝AB＝BC＝CD＝DA＝2，E为棱AP的中点，EB⊥BC.
(1)证明：BC⊥PD；
(2)若BE＝，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值．


21.(本小题满分12分)
已知函数f (x)＝－xeax.
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)证明：ln x＋ax－1≥.











22.(本小题满分12分)
已知动圆E过定点A，且在y轴上截得的弦BD的长为12，该动圆的圆心E的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；


张家口市2022－2023学年度高三年级第一学期期末考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.D
【解析】由U＝{x|1≤x≤10}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5，6}，得(∁UA)∩B＝，故选D.
2.A
【解析】z＝＋2i＝＋2i＝1＋4i，故＝1－4i.故选A.
3.C
【解析】由题意，得8×75%＝6，所以a＝＝9.小于a的有6个数，所以随机取两个数都小于a的概率为P＝＝，故选C.
4.B
【解析】当x>0时，f ′ (x)<0，所以函数f (x)在区间上单调递减．又函数f (x)为偶函数，所以函数f (x)在区间上单调递增．
由f (x2－x)－f (x)>0，得f (x2－x)>f (x)，所以<，故<1，解得0 5.B
【解析】设碾滚的高为l，其底面圆的半径为r.
由题意知，推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚恰好滚动了5圈，则2×2πl＝5×2πr，所以＝，故圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为5∶4.故选B.
6.A
【解析】因为a9＝a1＋8d＝0，a1≠0，所以d＝－≠0.
a1＋a8＋a11＋a16＝＋＝a8＋a9＋a9＋a10＝4a9＝0，
而a7＋a8＋a14＝a8＋a7＋a14＝a8＋a10＋a11＝2a9＋a11＝a11＝a1＋10d＝－a1≠0，
所以＝0.故选A.
7.C
【解析】由12＋12－4×1＋2×1＝0，得点P在圆上．设切线的斜率为k.
因为圆的标准方程为＋＝5，所以圆心为E，半径为，
所以kPE＝＝－2.又k·kPE＝－1，所以k＝，故切线方程为y－1＝，化简得x－2y＋1＝0，故选C.
8.D
【解析】因为23>e2⇒2>e⇒ln 2>⇒>，所以a>b.
设y＝，则y′＝.当x∈时，y′>0，函数y＝单调递增；当x∈时，y′<0，函数y＝单调递减，又e<<4，所以>.
又a＝＝，c＝＝＝＝＝，所以c>a.
综上b 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.BC
【解析】一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大，所以A错误；
由平均数对极端值比较敏感，所以平均数总在“拖尾巴”的一边，故B正确；
相关系数r只能反映成对样本数据之间的线性相关的程度的大小，决定系数R2是要来判定不同模型的拟合效果的，所以C正确；
分层随机抽样可以按各层大小比例抽样也可以不按各层大小比例抽样，所以D错误．
10.AC
【解析】由椭圆的定义，得＋＝2a＝8，又8＝＋≥2，当且仅当|AF1|＝|AF2|＝4时等号成立，所以·≤16，故A正确；因为△AF1F2的周长l＝＋＋＝2a＋2c＝12，又△AF1F2的面积S△AF1F2＝·＝，所以S△AF1F2＝×2c×＝2＝×l×r＝6r，所以r＝.又≤b＝2，所以r≤，所以B错误；
因为＋＝2a＝8，所以＝8－，所以＋＝8－.又－≤＝1，所以＋＝8－≥7，所以C正确；
设A，B，则＋＝1，＋＝1，＝2，＝1，
故＋＝0，所以×＋××＝0，故＝－，
所以直线l的方程为y－1＝－，化简得3x＋2y－8＝0.所以D错误．
11.BCD
【解析】如图，设M为AA1的中点，则ME∥A1D，由题意，得BE＝BM＝，EM＝，所以EM与BE不垂直，即A1D与BE不垂直，所以直线A1D与平面BEF不垂直，所以A错误；

因为E，F，H分别为AD，DD1，BB1的中点，所以AD1∥EF，D1H∥FB.
又AD1∩D1H＝D1，EF∩FB＝F，所以平面AHD1∥平面EFB.
又AH⊂平面AHD1，所以直线AH∥平面BEF，所以B正确；
因为F，H分别为DD1，BB1的中点，所以BH⊥FH.
又BH＝1，FH＝2，所以S△BHF＝×1×2＝.
易得点E到平面BFH的距离为，所以三棱锥H－EFB的体积VH－EFB＝××＝，所以C正确；
因为BC⊥平面CDD1C1，FC⊂平面CDD1C1，所以BC⊥FC，又BH⊥FH，故FB为三棱锥
H－CFB的外接球的直径．又＝3，所以三棱锥H－CFB的外接球的表面积S＝4π×＝9π，所以D正确．
12.ABD
【解析】由x－2x＝0，得＝2x.由x－log2x＝0，得＝log2x.
设y＝，则x＝，
所以函数y＝的图象关于直线y＝x对称，所以a，b是函数y＝2x和y＝log2x的图象与函数y＝的图象的交点的横坐标，故a＝log2b，b＝2a，所以A正确；
由b＝2a＝，得a＋b＝ab，所以＋＝1，故B正确；
a＋b＝a＋＝a－1＋＋2>4，故C错误；
因为b－a＝2a－a，设f ＝2m－m，则f ′ ＝2mln 2－1，当m>1时，f ′ >0，
所以当m>1时，函数f ＝2m－m单调递增，故f ＝2m－m>f ＝1，即b－a＞1，
所以D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.－4
【解析】因为a∥b，所以2λ－4＝3λ，所以λ＝－4.
14.－＝1
【解析】由题意，得2＝，所以c＝.又＝2，a2＋b2＝c2，解得a2＝3，b2＝12，
所以双曲线C的方程为－＝1.
15.－
【解析】根据题意，得l与函数f 的切点为(1，a)，设l与函数g＝ex的切点为(x2，ex2)，
又f ′ ＝2ax，g′＝ex，
所以k＝2a＝ex2，
所以切线l的方程为y－a＝2a(x－1)，即y＝2ax－a.
同时切线l的方程也为y－ex2＝ex2(x－x2)，即y＝ex2x＋ex2－x2ex2，
所以－a＝ex2－x2ex2＝b，
解得x2＝，所以b＝－.
16.3；(，2)
【解析】以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－2，0)，C(2，0)．
设A，由c＝3b，得＝3，
所以＝3，化简得x2＋y2－5x＋4＝0，y≠0，
所以点A到BC的最大距离为圆x2＋y2－5x＋4＝0的半径，
故△ABC面积的最大值为S＝××＝3.
由正弦定理，得2R＝⇒R＝.因为r(4＋b＋3b)＝S△ABC＝bcsin A＝sin A⇒
r＝，故rR＝·.由得1 令f (x)＝(10，所以f (x)在(1，2)上单调递增，故f (x)的值域为(，)，所以rR的取值范围是(，2)．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
解：(1)由直方图，得平均数的估计值为
4×(2×0.0125＋6×0.0375＋10×0.05＋14×0.075＋18×0.0375＋22×0.025＋26×0.0125)＝13.4(分)，…………………………………………………………………………………………3分
因为4×(0.0125＋0.025＋0.0375)＝0.3，所以有30%的居民排队时长超过16分钟，
综上，估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为13.4分钟，在一次核酸采集中该社区有30%的居民排队时长超过16分钟.…………………………………………………………5分
(2)由(1)可知样本中有30%×100＝30(人)排队时长超过16分钟.……………………………6分
又两小区的居住人数之比为9∶11，故在A小区抽取了45人，在B小区抽取了55人，
……………………………………………………………………………………………………7分
故填表如下：

排队时间超过16分钟
排队时间不超过16分钟
合计
A小区
20
25
45
B小区
10
45
55
合计
30
70
100
……………………………………………………………………………………………………8分
零假设为H0：排队时间是否超过16分钟与所属小区相互独立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区无关，
χ2＝≈8.13>6.635＝x0.01.…………………………………………9分
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.…………………………………………10分
18.(本小题满分12分)
(1)证明：由题意，得a1＝S1＝2a1－4×1＋2，所以a1＝2，a1＋4＝6.………………………1分
由Sn＝2an－4n＋2，得Sn－1＝2an－1－4＋2，n≥2，
所以an＝Sn－Sn－1＝－＝2an－2an－1－4，n≥2，………3分
所以an＝2an－1＋4，n≥2，故＝2，n≥2，……………………………………………4分
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列.………………………………………5分
(2)解：由(1)得an＋4＝6×2n－1＝3×2n，故an＝3×2n－4，…………………………………6分
则nan＝3n·2n－4n.……………………………………………………………………………7分
设bn＝n·2n，其前n项和为Pn，
则Pn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，
2Pn＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，
所以－Pn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－2＋2n＋1－n×2n＋1，
所以Pn＝2n＋1＋2，………………………………………………………………………10分
所以Tn＝3Pn－4＝32n＋1＋6－4×＝2n＋1－2n2－2n＋6.
…………………………………………………………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解：(1)由正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c＋b)c，即a2－b2＝c2＋bc，………………………2分
故＝－，
由余弦定理，得cos A＝＝－，所以A＝120°.…………………………………4分
(2)由平面四边形内角和为360°，可知∠ABC＋∠BEC＝90°.………………………………5分
在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝.…………………6分
在△BEC中，由正弦定理，得＝，即＝，………7分
所以sin∠ABC·sin＝.………………………………………………………8分
又sin∠ABC·sin＝sin∠ABC·cos∠ABC＝sin，所以sin＝，
故2∠ABC＝30°，即∠ABC＝15°，所以∠ACB＝45°.…………………………………10分
sin 15°＝sin＝×＝.
由正弦定理，得＝＝，所以c＝，b＝，……11分
所以S△ABC＝cbsin A＝×××sin 120°＝×＝1－.……12分
20.(本小题满分12分)
(1)证明：由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AD∥BC，…………………………………………1分
设F，H分别为棱BC和棱PD的中点，连接PF，DF，HF，EH，如图，

所以EH綊AD，故EH綊BF，故BE綊FH.………………………………………………2分
因为EB⊥BC，所以FH⊥BC.…………………………………………………………………3分
因为PC＝PB，所以PF⊥BC.
又PF⊂平面PDF，HF⊂平面PDF，PF∩HF＝F，所以BC⊥平面PDF，
又PD⊂平面PDF，所以BC⊥PD.……………………………………………………………4分
(2)解：由(1)知BC⊥平面PDF，所以BC⊥DF.又DC＝2，CF＝1，故DF＝.
因为BE＝，且BE綊FH，所以FH＝.因为PB＝PC＝BC＝2，F为BC的中点，所以PF＝，故PD＝，△PDF为等边三角形．
由BC⊥平面PDF，BC⊂平面ABCD，得平面PDF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，分别以直线FD，FB为x，y轴，以过点F且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz.………………………………………………6分

所以F，D，C，P.…………………………7分
设m＝(x1，y1，z1)为平面PBC的法向量，则有
即可取m＝(，0，－1)，………………………………………………8分
设n＝(x2，y2，z2)为平面PDC的法向量，则有
即可取n＝(，－3，1)，……………………………………………10分
所以|cos〈m，n〉|＝＝，
所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为.……………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
(1)解：f(x)的定义域为R，f ′ (x)＝－eax，……………………………………………1分
当a＝0时，f ′ (x)<0，所以函数f(x)在R上单调递减；……………………………………2分
当a>0时，在区间上，f ′ (x)>0，在区间上，f ′ (x)<0，
所以函数f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减；………3分
当a<0时，在区间上，f ′ (x)<0，在区间上，f ′ (x)>0，
所以函数f (x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.…………4分
(2)证明：f(x)＝－xeax＝－eax＋ln x，………………………………………………………………5分
要证ln x＋ax－1≥，即证ln x＋ax－1≥.……………………………………6分
设g＝x－1＋e－x，则g′＝1－e－x，………………………………………………………7分
在区间上，g′ (x)<0，在区间上，g′ (x)>0，
所以函数g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………9分
所以g≥g＝0，…………………………………………………………………………10分
故－1＋≥0，当ln x＋ax＝0时等号成立，
所以ln x＋ax－1≥成立，
故ln x＋ax－1≥.………………………………………………………………………12分

22.(本小题满分12分)
解：(1)设E，则EA＝r，所以EA2＝x2＋，………………………………………2分
即＋y2＝x2＋36，化简得y2＝12x.………………………………………………………3分
(2)设P，直线PM为y－y0＝k1，直线PN为y－y0＝k2，
则y＝12x0，M，N，………………………………………………4分
故＝x0＝x0.………………………………………………………5分
又直线PM和直线PN与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以＝＝1，
故k1，k2是方程＝1的两个根，…………………………………………………6分
即k1，k2是方程k2＋2y0k＋y－1＝0的两个根，
所以k1＋k2＝，k1k2＝.……………………………………………………8分
则△PMN的面积S△PMN＝x0＝＝
＝x0＝x0＝x0＝.
……………………………………………………………………………………………………9分
设f＝，x>2，
则f ′ (x)＝.…………………………………………10分
所以当x∈(2，5)时，f ′ (x)<0，函数f单调递减；
当x∈时，f ′ (x)>0，函数f单调递增.…………………………………………11分