2023届河北省张家口市高三上学期期末数学试题（解析版）

2023届河北省张家口市高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据补集运算求出，然后求交集即可得到.

【详解】由已知得，且且，

所以.

故选：D.

2．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据共轭复数的定义可得出复数.

【详解】由已知可得，因此，.

故选：A.

3．已知是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据百分位数的计算公式求出，再根据古典概型的计算方法求解即可.

【详解】上四分位数即第75百分位数，

因为，所以.

8个数中有6个数小于9，

所以随机取两个数，这两个数都小于的概率为.

故选:C.

4．已知函数为偶函数，定义域为R，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据导函数小于0，得到偶函数在上单调递减，从而对不等式变形后得到，解出解集.

【详解】因为当时，，故偶函数在上单调递减，

故变形为：，

所以，显然不满足不等式，

解得：，故.

故选：B

5．石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（    ）

A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3

【答案】B

【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.

【详解】由题意知，；

故选：B.

6．已知等差数列的首项，而，则（    ）

A．0 B．2 C．-1 D．

【答案】A

【分析】由，代入即可化简求值.

【详解】等差数列的首项，，则.

故选：A

7．过点作圆的切线，则切线方程为（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【分析】由题意可得点在圆上，根据切线的性质求切线斜率，进而求切线方程.

【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，

∵，

∴点在圆上，

又∵，则切线的斜率，

∴切线方程为，即.

故选：C.

8．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作差后利用指数函数性质比较大小，构造函数，由导数确定其单调性，由函数单调性比较大小．

【详解】

，∴，

，，

设，则，时，，即在上递减，

，，

，所以，，即，

综上，．

故选：D．

二、多选题

9．以下命题正确的有（    ）

A．一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越小

B．一组数据的频率分布直方图如图所示，则该组数据的平均数一定小于中位数

C．样本相关系数的大小能反映成对样本数据之间的线性相关的程度，而决定系数的大小可以比较不同模型的拟合效果

D．分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例

【答案】BC

【分析】根据方差,中位数,平均数，相关系数，分层抽样等知识点分别判断即可.

【详解】对于:数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大,故错误;

对于:根据图可知,中位数靠右大于平均数,故正确;

对于:样本相关系数是指样本数据之间的线性相关程度，

而决定系数是比较不同模型的拟合效果,故正确;

对于:分层随机抽样所得各层的样本量不一定与各层的大小成比例,

等比例分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例,故错误;

故选:

10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，直线与椭圆交于、两点，则（    ）

A．的最大值为

B．的内切圆半径

C．的最小值为

D．若为的中点，则直线的方程为

【答案】AC

【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用分析可得，求出面积的最大值，可判断B选项；利用椭圆的定义、数形结合可判断C选项；利用点差法可判断D选项.

【详解】对于A选项，在椭圆中，，，则，即点、，

由椭圆的定义可得，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

故的最大值为，A对；

对于B选项，，

当点为椭圆的短轴的顶点时，取最大值，

，B错；

对于C选项，由椭圆的定义可得，

所以，，

当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，故的最小值为，C对；

对于D选项，，则点在椭圆内，设点、，

若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，

所以，直线的斜率存在，由题意可得，

由已知可得，两个等式作差可得，

即，所以，直线的斜率为，

所以，直线的方程为，即，D错.

故选：AC

11．正方体的棱长为2,分别为,,的中点,则（    ）

A．直线平面

B．直线平面

C．三棱锥的体积为

D．三棱锥的外接球的表面积为

【答案】BCD

【分析】取中点为,连接,通过求三角形各个边长,可得不相互垂直,即可证明不垂直,即可判断选项A的正误;连接,根据面面平行的判定定理即可证明平面平面,再根据面面平行的性质定理即可证明选项B的正误; 取中点为,根据一条线与一个平面平行,则这条线上任一点到该平面距离相等,通过等体积转换即可得即可求出结果;分别取中点为,将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球,求出半径及表面积即可.

【详解】解:由题知正方体的棱长为2,

关于选项A:

取中点为,连接如图所示:

分别为,,的中点,

,

且,

由于正方体的棱长为2,

,

不相互垂直,

即不相互垂直,

若直线平面,

则,与上面结论矛盾,

故选项A错误;

关于选项B:

连接,如图所示:

分别为,,的中点,

,

四边形为平行四边形,

,

平面,平面,

平面,

平面,平面,

平面,

平面,平面,

平面平面,

平面,

平面,

故选项B正确;

关于选项C:

取中点为,连接,如图所示:

分别为,,的中点,

,

平面,平面,

平面,

,

平面,平面,

平面,

,

故,

故选项C正确;

关于选项D:

分别取中点为,连接如图所示:

由图可知三棱锥的外接球即长方体的外接球,

,

长方体的外接球半径为,

所以此外接球的表面积为,

故选项D正确.

故选:BCD

12．已知，方程，在区间的根分别为，以下结论正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】题意说明分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得，， 直接变形判断AB，利用不等式知识判断C，由零点存在定理确定，构造函数，确定其单调性，由单调性判断D．

【详解】已知两方程化为，，所以分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，

易知和的图象关于直线对称，

而函数的图象可以看作是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，因此的图象也关于直线对称，所以点与关于直线对称，

，，

，A正确；

又，所以，，从而，B正确；

，当且仅当即时取等号，由于，而，因此，等号不成立，即，

C错误，

，

设，则，

，，所以，

所以，

时，是减函数，所以由得，

所以，D正确．

故选：ABD．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点与方程根的关系，解题关键是确定分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得出的关系．

三、填空题

13．已知向量，，则实数______________．

【答案】-4

【分析】根据平面向量基本定理计算.

【详解】 ，解得： ；

故答案为：-4.

14．已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为___________________．

【答案】

【分析】根据条件求出a，b，c即可.

【详解】∵渐近线的方程为 ， ，又 ，

由点到直线的距离公式知： ，

，∴双曲线C的方程为： ；

故答案为： .

15．已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________．

【答案】

【分析】求出导函数，，由得切线方程，设图象上的切点为，由导数几何意义得切线方程，两直线重合求得，从而得值．

【详解】，，又，

所以切线的方程为，即，

设直线与相切的切点为，，

所以切线方程为，即，

所以，解得，

所以．

故答案为：．

四、双空题

16．已知的三个内角所对的边分别为，且，则面积的最大值是________；若分别为的内切圆和外接圆半径，则的范围为_________________．

【答案】     ；     .

【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出，再表示出，再利用可得答案；

对于第二空，利用可得答案.

【详解】因在三角形中，则由三角形三边关系可得，又利用余弦定理有：

，又，

则.

得，当且仅当

，即时取等号.则面积的最大值是；

对于第二空，因，

则，

又，

则，因，

则.令，其中，因，

则在上单调递增，故，得.

故答案为：；.

五、解答题

17．因疫情防控需要，某社区每天都要在上午6点到8点之间对全社区居民完成核酸采集，该社区有两个居民小区，两小区的居住人数之比为9：11，这两个小区各设有一个核酸采集点，为了解该社区居民的核酸采集排队时间，用按比例分配分层随机抽样的方法在两小区中随机抽取了100位居民，调查了他们一次核酸采集排队时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．

(1)由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸采集中排队时长超过16分钟的居民比例；

(2)另据调查，这100人中一次核酸采集排队时间超过16分钟的人中有20人来自小区，根据所给数据，填写完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为排队时间是否超过16分钟与小区有关联？

附表：

附：，其中．

参考数据：，，，，，．

【答案】(1)；.

(2)是

【分析】（1）由频率分布直方图平均数的计算代入即可得出答案；频率分布直方图中每个矩形的面积表示落在该组内的频率，由此可估计排队时长超过16分钟的居民比例

（2）利用独立性检验公式计算，对照附表得出结论.

【详解】（1）由直方图估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为：

（分钟）

直方图分别该社区居民在一次核酸采集中排队时长超过16分钟的居民比例为：

.

（2）这100人中小区的人有（人），

100人中B小区的人有（人），

由题意知，排队时长超过16分钟的居民有（人），

其中20人来自于小区，10人来自于B小区，

排队时长不超过16分钟的居民有（人），

其中人来自于小区，人来自于B小区，

填表如下：

则由独立性检验

，

故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为排队时间是否超过16分钟与小区有关联.

18．已知为数列的前项和,．

(1)证明:数列为等比数列;

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)先求出,根据,写出,,两式相减即可得,要证数列为等比数列,只需证明为一个常数,将代入即可;

(2)由(1)得出数列的通项公式,若求前项和,需要进行分组求和,先利用错位相减求出的前项和,再求等差数列的前项和,即可得.

【详解】（1）证明:由题知,

,

解得:故,

由,

可得,,

两式相减可得:

,,

所以,,

所以,,

所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列;

（2）由(1)得数列是以6为首项,2为公比的等比数列,

所以,

故,

则,

设,其前n项和为,

则①,

②,

①-②可得:

,

所以,

所以

,

综上:.

19．在中，内角的对边分别为，．

(1)求；

(2)如图，在所在平面上存在点，连接，若，，，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理求解；

（2）由（1）的结论，运用正弦定理和条件计算出 ，再用面积公式计算.

【详解】（1） ，由正弦定理得：

，即 ，

由余弦定理得： ， ，又 是三角形内角，

；

（2）令 ，四边形内角和为 ，由（1）的结论知：…① ，

在 中，由正弦定理得： ，

在 中， ，

又 ，将①代入得： ，

，

即 ，  ， ， ；

综上， ， .

20．如图，在四棱锥，，为棱的中点，．

(1)证明：；

(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【分析】（1）通过证明线面垂直面来证明线线垂直；

（2）以PD的中点为原点建立空间直角坐标系，通过坐标运算可得结果.

【详解】（1）取PD的中点G，连接EG、CG，如图所示，

则，，

∵

∴四边形ABCD为菱形，

∴

∴，

∴四边形BEGC为梯形，

∴BE与GC相交，

又∵，

∴，

又∵，

∴

又∵，，、面，

∴

∴

又∵， BE与GC相交，、面，

∴面，

∴

（2）在中，，∴，

由（1）知，，又∵，∴，

∴在中，，

取BC的中点F，连接GF，则且，

∴四边形BEGF为平行四边形，

∴

又∵，

∴

由（1）知，面，

∴以G为原点，分别以GE、GF、GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系G－xyz，如图所示，

则，，，，

∴，，，

设面PDC的一个法向量为，

则

取，则，，∴，

设面PBC的一个法向量为，

则

取，则，，∴，

∴

∴平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为.

21．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：．

【答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【分析】（1）求导，分、与讨论求解单调性即可；

（2）可转化为，令，即证明.设，利用导数求的最小值即可证明.

【详解】（1），

①当时，，在上单调递减；

②当时，令，得，

当时，；当时，.

③当时，令，得，

当时，；当时，.

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）,即为，即，

令，可得，即证明.

设，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以，即.

所以.

【点睛】结论点睛：

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

22．已知动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为12,该动圆的圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程;

(2)点是曲线上横坐标大于2的动点,过点作圆的两条切线分别与轴交于点,求面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)设曲线上任一点为,根据题意,利用半径及弦的长为12建立等式,化简即可;

(2)设出点坐标及的直线方程,求出两点坐标,根据与圆相切,建立等式,根据两个等式形式统一,可化为关于的二次函数且为其两根,利用韦达定理写出之间的关系,写出面积公式,将之间的关系代入化简可得关于的式子,设新函数,求导求单调性,即可求出最值.

【详解】（1）解:由题知,记曲线上任一点为,

即动圆的圆心的坐标为,

由于动圆过定点,

则半径①,

由于动圆在轴上截得的弦的长为12,

则②,

①②联立,消去即可得:

,

即,

故曲线的方程为:;

（2）由题设,

则,且,

设

令,可得,

设,

令,可得,

由于直线与圆相切,

所以,

化简可得:,

由于直线与圆相切,

同理可得:,

故是方程的两个根,

所以,,且,

故

因为,

所以

,

设,

则,

所以当时,,单调递减,

当时,,单调递增,

即当时,取最小值,

此时取最小值,最小值为.

【点睛】思路点睛:该题考查直线与圆锥曲线的综合问题,属于难题,关于求轨迹方程的思路有:

(1)已知轨迹,建立合适的轨迹方程,用待定系数求解;

(2)未知轨迹,求哪点轨迹设哪点坐标为,根据题意建立关于的等式即可;

(3)轨迹不好判断,等式关系不好找时,找要求的轨迹点与题中的定点或定直线之间的定量关系,根据转化找出轨迹特点,建立轨迹方程,用待定系数求解.