2021-2022学年上海市奉贤中学高二下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市奉贤中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，

则下列说法中错误的有（    ）A．变量之间呈现负相关关系 B．变量之间的相关系数

C．的值为5 D．该回归直线必过点

【答案】B

【分析】根据线性回归方程的系数，可判断A；计算，，代入线性回归方程可求得m的值，判断C；利用相关系数公式求得相关系数，判断B;根据线性回归方程必过样本中心点，可判断D.

【详解】对于A∶根据线性回归方程为,可知回归系数 ，

故判断之间呈现负相关关系，A正确；

对于C，根据表中数据，计算， ，

代入回归方程得 ，解得 ，C正确；

对于B︰变量之间的相关系数，B错误；

对于D∶由以上分析知，线性回归方程一定过点，

∴线性回归方程过点 ，D正确，

故选：B．

2．“赌金分配”是概率论中非常经典的问题．在一次赌局中，两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，由于时间很晚了，他们都不想再赌下去．假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么全部赌金的合理分配方案为（    ）

A．甲分，乙分 B．甲分，乙分

C．甲分，乙分 D．甲分，乙分

【答案】C

【解析】首先计算出甲赢的概率为，乙赢的概率为，由此能求出结果．

【详解】解：题意得：甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以应该分给甲，分给乙.

故选：

【点睛】本题考查概率的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

3．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数图象判断函数值的正负，根据函数的单调性判断导数值的正负，即可求得答案.

【详解】由函数图象可知当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

故的解集是，

故选:C.

4．在四棱锥中，底面为平行四边形，为边的中点，为边上的一列点，连接，交于，且，其中数列的首项，则（    ）

A． B．为等比数列

C． D．

【答案】A

【分析】由得，

 为边的中点得，设，所以，根据向量相等可判断A选项；由得是公比为的等比数列，可判断B选项；代入可判断C选项；当时可判断D选项.

【详解】

由得，

因为为边的中点，所以，

所以

设，所以，

所以，

当时，A选项正确；

，

由得，是公比为的等比数列，

所以，所以，

所以，不是常数，故B选项错误；

所以，

由得，故C选项错误；

当时，，所以，此时为的中点，

与重合，即，，故D错误.

故选：A.

二、填空题

5．等比数列满足，则该数列通项公式为______.

【答案】

【分析】由得到公比,结合条件求得,写出通项公式.

【详解】设等比数列的公比为,首项为,故,由得 ,解得,故

故答案为:.

6．的展开式中x的系数为______.

【答案】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中的指数为1，即可求出的系数．

【详解】解：在的的展开式中，

通项公式为，

令，解得；

展开式中的系数为：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题，着重考查了二项展开式的通项公式，属于基础题．

7．经过原点的平面的一个法向量为，点坐标为，则点到平面的距离为______.

【答案】##

【分析】使用空间向量法求点到平面的距离,点到平面的距离可视为在上的投影大小.

【详解】设坐标原点为,则,点到平面的距离可视为在上的投影大小,

故.

故答案为：

8．已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则______.

【答案】6

【分析】根据点A到C的焦点的距离为12，由抛物线的定义得到，然后由点A到y轴的距离为9，得到求解.

【详解】设抛物线的焦点为F，因为点A到C的焦点的距离为12，

所以由抛物线的定义知，

又因为点A到y轴的距离为9，

所以，

所以 ，

解得.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.

9．函数在点处的切线方程为______.

【答案】

【分析】求出函数的导数，继而可求得切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求得答案.

【详解】由函数可得，

故在点处的切线的斜率为，

故切线方程为，即，

故答案为：.

10．已知，若，则________.

【答案】

【分析】将所给多项式配凑成符合二项展开式的形式，从而还原为，解方程求得结果.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题考查二项展开式还原的问题，关键是能够配凑成符合二项展开式形式的式子，进而将式子还原为的形式.

11．从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的、、，则经过坐标原点的不同直线有______条（用数值表示）.

【答案】18

【分析】根据给定条件可得，再从任取两个不同元素分别作为值的种数中减去重合的直线条数即可作答.

【详解】依题意，，从任取两个不同元素分别作为的值有种，

其中重合的直线，与 重合， 与重合，

所以经过坐标原点的不同直线条数是.

故答案为：18

12．已知一个随机变量的分布为，且，则______.

【答案】0.4##

【分析】根据和分布列的性质求得的值,再利用方差的公式即可求解.

【详解】由题意得 ,解得,

故答案为:0.4

13．盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.

【答案】

【分析】根据全概率公式求解可得.

【详解】设事件为“第一次抽到白球”，事件为“第二次抽到白球”，

则，所以，

由题可得，，，，

所以.

故答案为：.

14．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______.

【答案】

【分析】根据等差数列性质可知，分类讨论和，结合等差数列性质求得答案.

【详解】∵公差不为0的等差数列的前n项和为,且，

又 ,

当时, ，∴, , 解得 ，

则，

令， 得 ，∴的最小值为 ，

当 时， ，不符合题意，

故的最小值为，

故答案为：.

15．已知、为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最小值为______.

【答案】

【分析】由题意利用中点坐标公式化简可得，即得点P的轨迹方程为圆 ，将化为，即可利用点到直线的距离公式求得上一点到直线的最短距离，即可求得答案.

【详解】根据题意，、，且为弦的中点，

则,则有 ，

变形可得∶ ，

又由、为圆上的两点，，

则 ,则，即，

即点P的轨迹方程为圆；

又，

其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，

又由圆的圆心到直线的距离为 ，

可得上一点到直线的距离的最小值为 ，

则的最小值为

故的最小值为，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：（1）根据为弦的中点，可得，要能联系先将中的两式平方，化简可得，从而得到点P的轨迹方程;（2）要能根据特征变形为，从而将问题转化为圆上一点到直线的距离的最小值问题.

16．设数列的前项和为，，.已知，是双曲线：的左右焦点，，若对恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据题意，求得，类比写出，，两式作差，整理得出，得到，进而求得，点可化为落在双曲线的渐近线上，结合双曲线的定义以及渐近线的性质，得到结果.

【详解】，，∵，∴，

，，

作差得，

，

∴，，

，，，，，，

设线段与双曲线交于点，，

得坐标可化为，

落在双曲线：的渐近线上，

当时，可近似看成第一象限双曲线上的点，，

∴.

故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关数列与双曲线的综合题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项以及前项和，双曲线的性质，极限思想，属于较难题目.

三、解答题

17．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．

(1)求证：；

(2)求直线AB与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质证明结论；

（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面，

由平面，则，

，则，又为的中点，则，

又，则平面，

由平面，因此，.

（2）以为原点，以，，为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

可得：，，，，，，.

∴，，，，

设为面的法向量，则，令得，

设与平面所成角为，则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

18．设函数，其中.

(1)当时，讨论函数在其定义域上的单调性并说明理由；

(2)当时，求的最小值及此时取得最小值时的值.

【答案】(1)的增区间为，减区间为，.

理由详见解析.

(2)当时，当时，，

当时，当时，，

【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号，从而可得函数的单调区间.

（2）就、分类讨论后判断的单调性,确定在时取得最小值时的值.

【详解】（1）当时，，

 ，

当或时，；当时，，

故的增区间为，减区间为，.

（2）当时，，,

若，则任意，总有，

故在为增函数，故，

若，因为在上为减函数，

且，，

故在有且只有一个零点，

且当，，当时，，

故在上为增函数，在为减函数，

故.

而

当时, ,此时

当时 , ,此时

综上，当时，当时，，

当时，当时，，

19．司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了名机动车司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人．

（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为，若每次抽检的结果都相互独立，求的分布列和数学期望．

参考公式与数据：

参考数据：

参考公式

，其中.

【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.

【分析】（1）根据已知数据即可得到列联表；计算出，对比临界值表可得到结果；（2）由样本估计总体思想，可得到随机抽检辆，司机为男性且开车使用手机的概率为，可知，由二项分布概率公式可计算得到每个取值所对应的概率，从而得到分布列；由二项分布数学期望计算公式可得.

【详解】（1）由已知数据可得列联表如下：

有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关

（2）随机抽检辆，司机为男性且开车时使用手机的概率

有题意可知：可取值是，且

；；

；

则的分布列为：

数学期望

【点睛】本题考查独立性检验的应用、二项分布的分布列及数学期望的求解等知识，对学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.

20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆相似.如图，椭圆、是两个相似的椭圆，椭圆的长半轴长是4，短半轴长是2，且的左､右焦点、都在椭圆上.

(1)求、的方程；

(2)在上是否存在点P满足，线段的中点在上，如有请求出P的坐标，否则请说明理由；

(3)如图，若Q是上异于、的任意一点，直线与交于A､B两点，直线与交于D､E两点，求证：为定值.

【答案】(1)，

(2)存在，

(3)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的基本量求解即可；

（2）设，进而得到，再分别代入对应的方程，联立求解即可；

（3）先证明，再设的方程为，联立的方程，根据弦长公式可得关于的表达式，同理可得的表达式，再化简求得定值即可

【详解】（1）由题，，故，又，且、相似，故，故，故

（2）由题，，设，中点，故即，故，解得，，故

（3）设，则，又，故，故.

显然直线斜率不为0，设的方程为，， 联立得，故，又，又，故 ，故有，故，即为定值10

【点睛】本题主要考查了椭圆中设点，根据椭圆的方程化简求解的方法，同时也考查了椭圆中的定值问题，包括弦长公式等化简，属于难题

21．设为常数，若存在大于1的整数，使得无穷数列满足，则称数列为“数列”.

(1)设，，若首项为1的数列为“数列”，求；

(2)若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式，并指出相应的的值；

(3)设，，若首项为1的数列为“数列”，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2)，k为大于1的任意正整数，，；

(3).

【分析】（1）将代入得到一周期数列，即可求得的值；

（2）由为等比数列、数列可求出；

（3）找出的公式，设每隔10项的和为，然后再求解.

【详解】（1）解：已知，

因为，，，，

数列从第3项起，每隔3项重复出现，

，，，

.

（2）解：因为是首项为1的等比数列，则有：

又因为为数列，

所以，， ，

又因为，即，

整理得，，，k为大于1的任意正整数，

，时等式成立，

所以，

，k为大于1的任意正整数.

（3）解：，

，

，

，

，

设每隔10项的和为，则有：

，

，

，

，

由此可得：

，

.

【点睛】方法点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．