2022届新疆博乐市高级中学高三下学期联考数学(文)试题(解析版)
展开2022届新疆博乐市高级中学高三下学期联考数学(文)试题
一、单选题
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先求出集合A,然后与集合B取交集即可.
【详解】因为,,所以.
故选:B
2.若复数满足,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【分析】利用复数商的运算求解复数,得到对应点的坐标,即可得到答案.
【详解】因为,所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选:D
3.已知函数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出的解集,根据与解集的关系即可求解.
【详解】由,可得或,
因为是的真子集,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
4.新冠疫情严重,全国多地暂停了线下教学,实行了线上教学,经过了一段时间的学习,为了提高学生的学习积极性和检测教学成果,某校计划对疫情期间学习成绩优秀的同学进行大力表彰.对本校100名学生的成绩(满分:100分)按,,,,,分成6组,得到如图所示的频率分布直方图,根据此频率分布直方图,用样本估计总体,则下列结论错误的是( )
A.若本次测试成绩不低于80分为优秀,则这100人中成绩为优秀的学生人数为25
B.该校疫情期间学习成绩在70分到80分的人数最多
C.该校疫情期间学生成绩的平均得分超过70分(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)
D.该校疫情期间约有40%的人得分低于60分或不低于90分
【答案】D
【分析】根据频率分布直方图逐项求解判断即可.
【详解】因为,所以A正确;
由频率分布直方图知该校疫情期间学习成绩在75分到80分所对应的频率最大,B正确;
对于C,因为,所以C正确;
对于D,因为,所以D错误.
故选:D
5.设偶函数在上单调递增,且,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】由函数为偶函数化简不等式,再由函数的单调性列出不等式组求解即可.
【详解】因为是偶函数,所以等价于.
又在上单调递增,所以在上单调递减.
由,得或
又,解得或.
故选:D
6.已知椭圆为其左焦点,过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为,若(为原点),则椭圆的长轴长等于( )
A.6 B.12 C. D.
【答案】C
【分析】结合椭圆的几何性质求出,由条件列方程求出,由此可求长轴长.
【详解】因为椭圆的左焦点为,所以,
又垂直于轴,在椭圆上,故可设,
所以,又,所以,
又
所以.,
解得从而,
故选:C.
7.齐国的大将田忌很喜欢赛马,他与齐威王进行赛马比赛,他们都各有上、中、下等马各一匹,每次各出一匹马比一场,比赛完三场(每个人的三匹马都出场一次)后至少赢两场的获胜.已知同等次的马,齐威王的要强于田忌的,但是不同等次的马,都是上等强于中等,中等强于下等,如果两人随机出马,比赛结束田忌获胜的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】列举出各种对应情况,由概率公式即可得到答案.
【详解】将齐威王的上、中、下等马分别记为,,,田忌的上、中、下等马分别记为,,,则他们比赛的情况如下:
齐威王的马 | 胜者 | |||
田忌的马 | 齐威王 | |||
田忌的马 | 齐威王 | |||
田忌的马 | 齐威王 | |||
田忌的马 | 齐威王 | |||
田忌的马 | 田忌 | |||
田忌的马 | 齐威王 |
由上表可知,只有齐威王的马对田忌的马这种情况,田忌获胜,所以田忌获胜的概率.
故选:D
8.在三棱锥中,已知平面,,且,,,则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由题可知,可将三棱锥补成长方体,求长方体的外接球的表面积即可.
【详解】由平面,,知三棱锥可补形为以,为长宽高的长方体,三棱锥的外接球即长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以.
故选:A
9.函数,若存在,使得,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意,将问题转化为求解函数的最大值问题,先通过导数方法求出函数的最大值,进而求出答案.
【详解】因为,所以.由题意,只需.当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,故实数的取值范围为.
故选:D.
10.北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界,传递了“人类命运共同体”的理念.“雪花曲线”也叫“科赫雪花”,它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的,是一种分形几何.图1是长度为的线段,将图1中的线段三等分,以中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得到图2,这称为“一次分形”;用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作,得到图3,这称为“二次分形”;.依次进行“次分形”.规定:一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若要得到一个长度不小于的分形图,则的最小值是( )(参考数据,)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】分析可知“次分形”后线段的长度为,可得出关于的不等式,解出的取值范围即可得解.
【详解】图1的线段长度为,图2的线段长度为,图3的线段长度为,,
“次分形”后线段的长度为,
所以要得到一个长度不小于的分形图,
只需满足,则,即,
解得,所以至少需要次分形.
故选:C.
11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据三视图还原出几何体,然后计算表面积即可.
【详解】本题考查三视图,考查直观想象与数学运算的核心素养.
如图所示,该几何体是四棱锥,其中,,,所以四棱锥的表面积为.
故选:B.
12.定义:设不等式的解集为A,若A中只有唯一整数,则称A为“和谐解集”.若关于x的不等式在上存在“和谐解集”,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据定义解不等式即可.
【详解】解:不等式可化为.
由函数得只有一个整数解,这唯一整数解只能是,
因为点是图像上的点,所以.
所以数m的取值范围为.
故选:A.
二、填空题
13.若向量满足,则与的夹角为__________.
【答案】##
【分析】求得向量的模,求出向量的数量积,根据向量的夹角公司求得答案.
【详解】设与的夹角为,由题意可知,
所以,故,
故答案为:
14.设x,y满足约束条件,则的最小值为______.
【答案】
【分析】画出可行域,数形结合即可求解;
【详解】解:由线性约束条件,画出可行域如下图所示:
由,解得,即,
由,可得平移直线,
由图可知当直线过点时,直线在轴上的截距最小,此时取得最小值,即;
故答案为:
15.已知数列是等差数列,,则______________.
【答案】##
【分析】根据等差数列的通项公式,进而写出数列的通项公式,可得答案.
【详解】令,因为,,所以,,则的公差为,所以,故,所以.
故答案为:.
16.已知,分别为双曲线:左、右焦点,过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于,两点,且,,则双曲线的离心率是______.
【答案】
【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得是正三角形,从而.在中,由余弦定理即可得到答案.
【详解】由,得,因为,所以,.又,即,所以.设,则,又,则,解得,所以,,所以是正三角形,从而.在中,由,得,所以.
故答案为:
三、解答题
17.的内角、、的对边分别是、、,已知.
(1)求;
(2)若,求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理化简可得的值,结合角的取值范围可求得角的值;
(2)利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值,再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】(1)解:因为,所以.
,则,所以,
整理得,得,
,所以.
(2)解:由余弦定理可得,
当且仅当时,等号成立,
所以,,即面积的最大值为.
18.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车,被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下,新能源汽车越来越受到消费者的青睐,新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某车企统计了近期购车的车主性别与购车种类的情况,其中购车的男性占近期购车车主总人数的60%.现有如下表格:
| 购置新能源汽车(辆) | 购置传统燃油汽车(辆) | 总计 |
男性 | 60 | ||
女性 |
|
|
|
总计 |
|
|
|
(1)若女性购置新能源汽车人数为所有购车总人数的25%,男性购置传统燃油汽车人数为所有购车总人数的10%,试完成上面的列联表,并判断能否有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关;
(2)若,,在该车企近期统计的男性购车车主中,求购置新能源汽车的人数大于购置传统燃油汽车人数的2倍的概率.
参考公式及数据:,其中.
0.15 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】(1)填表见解析;有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关
(2)
【分析】(1)由题意补充列联表,计算卡方后判断
(2)由古典概型求解
【详解】(1)列联表如下:
| 购置新能源汽车(辆) | 购置传统燃油汽车(辆) | 总计 |
男性 | 50 | 10 | 60 |
女性 | 25 | 15 | 40 |
总计 | 75 | 25 | 100 |
因为,
所以有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.
(2)根据题意可知,
因为,,所以基本事件分别为,,,,,,,,,,,,,,共14种,
设购置新能源汽车的人数大于购置传统燃油汽车人数的2倍为事件,则,
满足题意的事件有,,,,,,,,,,共10个,
所求的概率.
19.如图,在三棱锥中,和均为边长为2的等边三角形.
(1)证明:.
(2)若与平面所成的角为,求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)取的中点,连接,,证出,,由线面垂直的判定定理和性质定理即可得到证明.
(2)由(1)知平面平面,由此可得线面角为,进而求得,的长,然后由棱锥体积公式计算可得答案.
【详解】(1)证明:取的中点,连接,.
因为和均为等边三角形,所以,.
因为,平面,所以平面.
又平面,所以.
(2)由(1)知平面,又平面,所以平面平面,
平面平面,故过作平面的垂线,垂足为,则一定在直线上,因为与平面所成的角为,所以.
由题意知,所以,
所以,
所以.
故三棱锥的体积.
20.已知抛物线上的点与焦点的距离为9,点到轴的距离为.
(1)求抛物线的方程.
(2)经过点的直线与抛物线交于两点,为直线上任意一点,证明:直线的斜率成等差数列.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可;(2)联立方程组,利用设而不求的方法证明即可.
【详解】(1)设点,由题意可知,
所以,解得.
因为,所以.
所以抛物线的方程为.
(2)设直线的方程为,
联立方程组消去得,
所以.
设,则
,
又因为,
所以,即直线的斜率成等差数列.
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法,要证明直线的斜率成等差数列只需证明即可.
21.设函数,.
(1)求函数的最小值;
(2)当时,,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)求导,判断的单调性,即可求得的最小值.
(2)讨论,,三种情况下函数的单调性,进而得到函数的最值,即可求得的取值范围.
【详解】(1)因为,所以.
当时,,此时单调递增,
当时,,此时单调递减,
所以.
(2)因为,所以.
若,因为,,,所以,
所以在上单调递增,,满足题意.
若,设,则是增函数,且,
若,则,此时单调递增,所以,
所以单调递增,故,满足题意;
若,则,,所以存在,使得,
当时,,此时单调递减,所以,
所以当时,,此时单调递减,
所以,不满足题意.
综上所述,,即的取值范围为.
22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)已知点P的直角坐标为,直线l与曲线C相交于A,B两点,求.
【答案】(1)曲线C的普通方程为:;直线l的直角坐标方程为:
(2)
【分析】(1)消去参数求解曲线C的普通方程,利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解;
(2)写出直线的参数方程,利用的几何意义求解.
【详解】(1)因为曲线的参数方程为,(为参数),
所以曲线的普通方程为.
将,代入,得直线的直角坐标方程为.
(2)因为直线的直角坐标方程为,所以它的参数方程为,(为参数),
代入的直角坐标方程,得,即.
由于,设,是上述方程的两实根,则,,
又直线过点,,
所以.
23.已知函数.
(1)画出的图象;
(2)当时,,求的最小值.
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】(1)化简函数的解析式,可作出函数的图象;
(2)分析可知的图象与轴交点的纵坐标为,且轴左侧部分的折线段所在直线的斜率分别为和,根据已知条件可得出关于、的不等式组,求出、的取值范围,结合不等式的基本性质可求得结果.
【详解】(1)解:因为,函数的图象如下图所示:
(2)解:由(1)知,的图象与轴交点的纵坐标为,且轴左侧部分的折线段所在直线的斜率分别为和,
因为在上恒成立,则,即,故.
即的最小值为.
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