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    2022届新疆博乐市高级中学高三下学期联考数学(文)试题(解析版)

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    这是一份2022届新疆博乐市高级中学高三下学期联考数学(文)试题(解析版),共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022届新疆博乐市高级中学高三下学期联考数学(文)试题

     

    一、单选题

    1.设集合,则    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】先求出集合A,然后与集合B取交集即可.

    【详解】因为,所以

    故选:B

    2.若复数满足,则在复平面内对应的点位于(    

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    【答案】D

    【分析】利用复数商的运算求解复数,得到对应点的坐标,即可得到答案.

    【详解】因为,所以在复平面内对应的点位于第四象限.

    故选:D

    3.已知函数,则的(    

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【分析】求出的解集,根据与解集的关系即可求解.

    【详解】,可得

    因为的真子集,

    所以的充分不必要条件.

    故选:A

    4.新冠疫情严重,全国多地暂停了线下教学,实行了线上教学,经过了一段时间的学习,为了提高学生的学习积极性和检测教学成果,某校计划对疫情期间学习成绩优秀的同学进行大力表彰.对本校100名学生的成绩(满分:100分)按分成6组,得到如图所示的频率分布直方图,根据此频率分布直方图,用样本估计总体,则下列结论错误的是(    

    A.若本次测试成绩不低于80分为优秀,则这100人中成绩为优秀的学生人数为25

    B.该校疫情期间学习成绩在70分到80分的人数最多

    C.该校疫情期间学生成绩的平均得分超过70分(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)

    D.该校疫情期间约有40%的人得分低于60分或不低于90

    【答案】D

    【分析】根据频率分布直方图逐项求解判断即可.

    【详解】因为,所以A正确;

    由频率分布直方图知该校疫情期间学习成绩在75分到80分所对应的频率最大,B正确;

    对于C,因为,所以C正确;

    对于D,因为,所以D错误.

    故选:D

    5.设偶函数上单调递增,且,则不等式的解集是(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】由函数为偶函数化简不等式,再由函数的单调性列出不等式组求解即可.

    【详解】因为是偶函数,所以等价于

    上单调递增,所以上单调递减.

    ,得

    ,解得

    故选:D

    6.已知椭圆为其左焦点,过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为,若为原点),则椭圆的长轴长等于(    

    A6 B12 C D

    【答案】C

    【分析】结合椭圆的几何性质求出,由条件列方程求出,由此可求长轴长.

    【详解】因为椭圆的左焦点为,所以

    垂直于轴,在椭圆上,故可设

    所以,又,所以

    所以

    解得从而

    故选:C.

    7.齐国的大将田忌很喜欢赛马,他与齐威王进行赛马比赛,他们都各有上、中、下等马各一匹,每次各出一匹马比一场,比赛完三场(每个人的三匹马都出场一次)后至少赢两场的获胜.已知同等次的马,齐威王的要强于田忌的,但是不同等次的马,都是上等强于中等,中等强于下等,如果两人随机出马,比赛结束田忌获胜的概率为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】列举出各种对应情况,由概率公式即可得到答案.

    【详解】将齐威王的上、中、下等马分别记为,田忌的上、中、下等马分别记为,则他们比赛的情况如下:

    齐威王的马

    胜者

    田忌的马

    齐威王

    田忌的马

    齐威王

    田忌的马

    齐威王

    田忌的马

    齐威王

    田忌的马

    田忌

    田忌的马

    齐威王

     

    由上表可知,只有齐威王的马对田忌的马这种情况,田忌获胜,所以田忌获胜的概率

    故选:D

    8.在三棱锥中,已知平面,且,则该三棱锥外接球的表面积为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】由题可知,可将三棱锥补成长方体,求长方体的外接球的表面积即可.

    【详解】平面,知三棱锥可补形为以为长宽高的长方体,三棱锥的外接球即长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以

    故选:A

    9.函数,若存在,使得,则实数的取值范围为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】根据题意,将问题转化为求解函数的最大值问题,先通过导数方法求出函数的最大值,进而求出答案.

    【详解】因为,所以.由题意,只需.当时,,当时,,所以上单调递增,在上单调递减,所以,故实数的取值范围为

    故选:D.

    10.北京年冬奥会开幕式用一朵雨花的故事连接中国与世界,传递了人类命运共同体的理念.雪花曲线也叫科赫雪花,它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的,是一种分形几何.图1是长度为的线段,将图1中的线段三等分,以中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得到图2,这称为一次分形;用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作,得到图3,这称为二次分形.依次进行次分形.规定:一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若要得到一个长度不小于的分形图,则的最小值是(    )(参考数据

    A B C D

    【答案】C

    【分析】分析可知次分形后线段的长度为,可得出关于的不等式,解出的取值范围即可得解.

    【详解】1的线段长度为,图2的线段长度为,图3的线段长度为

    次分形后线段的长度为

    所以要得到一个长度不小于的分形图,

    只需满足,则,即

    解得,所以至少需要次分形.

    故选:C.

    11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(    

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】根据三视图还原出几何体,然后计算表面积即可.

    【详解】本题考查三视图,考查直观想象与数学运算的核心素养.

    如图所示,该几何体是四棱锥,其中,所以四棱锥的表面积为

    故选:B.

    12.定义:设不等式的解集为A,若A中只有唯一整数,则称A和谐解集.若关于x的不等式上存在和谐解集,则实数m的取值范围为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】根据定义解不等式即可.

    【详解】解:不等式可化为

    由函数只有一个整数解,这唯一整数解只能是

    因为点图像上的点,所以

    所以数m的取值范围为.

    故选:A.

     

    二、填空题

    13.若向量满足,则的夹角为__________

    【答案】##

    【分析】求得向量的模,求出向量的数量积,根据向量的夹角公司求得答案.

    【详解】的夹角为,由题意可知

    所以,故

    故答案为:

    14.设xy满足约束条件,则的最小值为______

    【答案】

    【分析】画出可行域,数形结合即可求解;

    【详解】解:由线性约束条件,画出可行域如下图所示:

    ,解得,即

    ,可得平移直线

    由图可知当直线过点时,直线轴上的截距最小,此时取得最小值,即

    故答案为:

    15.已知数列是等差数列,则______________.

    【答案】##

    【分析】根据等差数列的通项公式,进而写出数列的通项公式,可得答案.

    【详解】,因为,所以,则的公差为,所以,故,所以.

    故答案为:.

    16.已知分别为双曲线左、右焦点,过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,且,则双曲线的离心率是______

    【答案】

    【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得是正三角形,从而.在中,由余弦定理即可得到答案.

    【详解】,得,因为,所以.又,即,所以.设,则,又,则,解得,所以,所以是正三角形,从而.在中,由,得,所以

    故答案为:

     

    三、解答题

    17的内角的对边分别是,已知

    (1)

    (2),求面积的最大值.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)利用正弦定理化简可得的值,结合角的取值范围可求得角的值;

    2)利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值,再利用三角形的面积公式可求得结果.

    【详解】1)解:因为,所以

    ,则,所以

    整理得,得

    ,所以

    2)解:由余弦定理可得

    当且仅当时,等号成立,

    所以,,即面积的最大值为.

    18.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车,被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下,新能源汽车越来越受到消费者的青睐,新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某车企统计了近期购车的车主性别与购车种类的情况,其中购车的男性占近期购车车主总人数的60%.现有如下表格:

     

    购置新能源汽车(辆)

    购置传统燃油汽车(辆)

    总计

    男性

    60

    女性

     

     

     

    总计

     

     

     

     

    (1)若女性购置新能源汽车人数为所有购车总人数的25%,男性购置传统燃油汽车人数为所有购车总人数的10%,试完成上面的列联表,并判断能否有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关;

    (2),在该车企近期统计的男性购车车主中,求购置新能源汽车的人数大于购置传统燃油汽车人数的2倍的概率.

    参考公式及数据:,其中

    0.15

    0.05

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    3.841

    6.635

    7.879

    10.828

     

     

    【答案】(1)填表见解析;有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关

    (2)

     

    【分析】1)由题意补充列联表,计算卡方后判断

    2)由古典概型求解

    【详解】1)列联表如下:

     

    购置新能源汽车(辆)

    购置传统燃油汽车(辆)

    总计

    男性

    50

    10

    60

    女性

    25

    15

    40

    总计

    75

    25

    100

     

    因为

    所以有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.

    2)根据题意可知

    因为,所以基本事件分别为,共14种,

    设购置新能源汽车的人数大于购置传统燃油汽车人数的2倍为事件,则

    满足题意的事件有,共10个,

    所求的概率

    19.如图,在三棱锥中,均为边长为2的等边三角形.

    (1)证明:

    (2)与平面所成的角为,求三棱锥的体积.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

     

    【分析】1)取的中点,连接,证出,由线面垂直的判定定理和性质定理即可得到证明.

    2)由(1)知平面平面,由此可得线面角为,进而求得的长,然后由棱锥体积公式计算可得答案.

    【详解】1)证明:取的中点,连接

    因为均为等边三角形,所以

    因为平面,所以平面

    平面,所以

    2)由(1)知平面,又平面,所以平面平面

    平面平面,故过作平面的垂线,垂足为,则一定在直线上,因为与平面所成的角为,所以

    由题意知,所以

    所以

    所以

    故三棱锥的体积

    20.已知抛物线上的点与焦点的距离为9,点轴的距离为

    (1)求抛物线的方程.

    (2)经过点的直线与抛物线交于两点,为直线上任意一点,证明:直线的斜率成等差数列.

    【答案】(1)

    (2)证明见解析.

     

    【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可;(2)联立方程组,利用设而不求的方法证明即可.

    【详解】1)设点,由题意可知

    所以,解得

    因为,所以

    所以抛物线的方程为

    2)设直线的方程为

    联立方程组消去

    所以

    ,则

    又因为

    所以,即直线的斜率成等差数列.

    【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法,要证明直线的斜率成等差数列只需证明即可.

    21.设函数

    (1)求函数的最小值;

    (2)时,,求的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)求导,判断的单调性,即可求得的最小值.

    2)讨论三种情况下函数的单调性,进而得到函数的最值,即可求得的取值范围.

    【详解】1)因为,所以

    时,,此时单调递增,

    时,,此时单调递减,

    所以

    2)因为,所以

    ,因为,所以

    所以上单调递增,,满足题意.

    ,设,则是增函数,且

    ,则,此时单调递增,所以

    所以单调递增,故,满足题意;

    ,则,所以存在,使得

    时,,此时单调递减,所以

    所以当时,,此时单调递减,

    所以,不满足题意.

    综上所述,,即的取值范围为

    22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

    (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

    (2)已知点P的直角坐标为,直线l与曲线C相交于AB两点,求

    【答案】(1)曲线C的普通方程为:;直线l的直角坐标方程为:

    (2)

     

    【分析】1)消去参数求解曲线C的普通方程,利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解;

    2)写出直线的参数方程,利用的几何意义求解.

    【详解】1)因为曲线的参数方程为,(为参数),

    所以曲线的普通方程为

    代入,得直线的直角坐标方程为

    2)因为直线的直角坐标方程为,所以它的参数方程为,(为参数),

    代入的直角坐标方程,得,即

    由于,设是上述方程的两实根,则

    又直线过点

    所以

    23.已知函数

    (1)画出的图象;

    (2)时,,求的最小值.

    【答案】(1)作图见解析

    (2)

     

    【分析】1)化简函数的解析式,可作出函数的图象;

    2)分析可知的图象与轴交点的纵坐标为,且轴左侧部分的折线段所在直线的斜率分别为,根据已知条件可得出关于的不等式组,求出的取值范围,结合不等式的基本性质可求得结果.

    【详解】1)解:因为,函数的图象如下图所示:

    2)解:由(1)知,的图象与轴交点的纵坐标为,且轴左侧部分的折线段所在直线的斜率分别为

    因为上恒成立,则,即,故.

    的最小值为.

     

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