2022-2023学年河南省商丘市部分学校高三上学期12月阶段性测试（三）文科数学试题（含答案）
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商丘市部分学校2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试（三）
文科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知条件：，条件：，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.若，则（ ）
A. B. C.1 D.
4.已知在平行四边形中，，，，，，则（ ）
A.6 B.4 C.3 D.2
5.已知，满足约束条件则的最大值为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
6.已知抛物线的焦点为，为该抛物线上一点，且（点为坐标原点），则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.8
7.海上渔业生产发展迅猛，我国自主研发的大型海洋养殖船纷纷下海.网箱养殖人工创造适合鱼类生长的环境，一段时间内，研究人员发现网箱内氧的含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（为网箱内氧的初始含量且），且经过20h后，网箱内氧的含量减少.若当网箱内氧的含量低于初始含量的时需要人工增氧，则大约经过（ ）h后需要人工增氧.
参考数据：.
A.39 B.33 C.31 D.27
8.已知在四棱锥中，底面于点，且，和均是边长为2的等边三角形，则底面的面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列说法错误的是（ ）
A.若，则为递增数列 B.若，则
C.若，则 D.对任意正整数，有
10.已知函数的图象按向量平移后对应的函数为，若在上单调，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
12.已知双曲线的离心率为，右焦点为，直线，均过点且互相垂直，与双曲线的右支交于，两点，与双曲线的左支交于点，为坐标原点，当，，三点共线时，（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数的图象关于原点对称，则实数______.
14.已知向量，，.若，且，则______.
15.已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为______.
16.如图，有一半径为1的球形灯泡，要为其做一个上窄下宽的圆台形灯罩，要求灯罩对应的圆台的轴截面为球形灯泡对应的大圆的外切等腰梯形，则灯罩的表面积（不含下底面）至少为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知在中，角，，的对边分别为，，，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求面积的最大值.
18.（12分）
已知函数.
（Ⅰ）若的图象在点处的切线斜率为，求的值；
（Ⅱ）当时，判断在内有几个零点，并证明.
19.（12分）
已知数列的前项和为，，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
20.（12分）
如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱的长为，，分别是棱，的中点，平面平面，且.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若三棱柱的侧面积为，求它的体积.
21.（12分）
已知函数.
（Ⅰ）若的单调递减区间为，求的值；
（Ⅱ）若是的极大值点，且恒成立，求的取值范围.
22.（12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，焦距为2，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程.
（Ⅱ）已知点的坐标为，是否存在直线，使得对于上任意一点（不在椭圆上），若直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，恒有，，三点共线？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
商丘市部分学校2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试（三）
文科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A 9.D 10.A 11.A 12.B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.4 14.22 15. 16.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解析 （Ⅰ）由已知可得，所以.（1分）
由正弦定理可得，即.……（3分）
因为，又，所以.……（4分）
又，所以.……（5分）
（Ⅱ）由余弦定理可得，即，……（6分）
又，所以，即，当且仅当时取等号.……（8分）
所以，即面积的最大值为.……（10分）
18.解析 （Ⅰ）由题可知，……（1分）
所以的图象在点处的切线斜率为，……（3分）
即，所以.……（4分）
（Ⅱ）在内有唯一的零点.……（5分）
证明：在内有唯一的零点等价于方程有唯一负实根，……（7分）
等价于方程有唯一负实根，等价于直线与曲线在时有唯一的交点.……（9分）
因为，……（10分）
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，且时，，……（11分）
所以直线与曲线有唯一的交点，结论得证.……（12分）
19.解析 （Ⅰ）因为，所以当时.……（1分）
因为，所以，，即.……（2分）
所以，两式相减可得.……（3分）
又，，所以，则.……（4分）
所以是以为首项，为公比的等比数列.因此.……（5分）
（Ⅱ）由题意得，……（6分）
则，
.……（8分）
两式相减，得
……（10分）
，所以.……（12分）
20.解析 （Ⅰ）如图，过点作交于点.
∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面.……（2分）
又平面，∴.
∵是正三角形，为的中点，∴.……（3分）
∵，，平面，∴平面.
又平面，∴.……（4分）
易知，∴.……（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知四边形为矩形，如图，过作，交于，连接.
易知四边形为矩形，.……（6分）
由（Ⅰ）知平面，所以，
又，所以平面，所以.……（7分）
同理过作，交于，连接，可证.
由，可知.……（8分）
所以三棱柱的侧面积
，所以.……（9分）
在中，，，所以.……（10分）
连接，.四棱锥的体积，
又，所以.……（12分）
21.解析 （Ⅰ）由题可知的定义域为，.……（1分）
的单调递减区间为等价于的解集为，
即的解集为.……（2分）
所以方程的两个根分别为，，……（3分）
由根与系数的关系可得，所以.……（4分）
（Ⅱ）若是的极大值点，则至少有一正根，
即方程至少有一正根.……（5分）
若，则方程的正根为，
因为当时，当时，
所以此时只有极小值点1，不符合题意.……（6分）
若，则方程有一正根和一负根，设为，，且，，
则.
因为当时，，当时，，所以此时只有极小值点，不符合题意.……（7分）
若，由题可知方程应有两个不等的正根，设为，，其中，
则解得.……（8分）
所以.
列表如下：
+ | 0 | - | 0 | + | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以是极大值点，是极小值点，则.……（9分）
由，且，得.
由题可知，即当时恒成立.……（10分）
令，，则.
因为，所以.
所以当时，，当时，，所以，（11分）
解得，又，所以此时的取值范围是.
综上，实数的取值范围是.……（12分）
22.解析 （Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，所以，
又离心率，所以.……（2分）
因为，所以，所以椭圆的方程为.……（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
假设存在直线满足题设条件，则.设，易知直线的斜率存在.
因为，，三点共线，所以可设直线的方程为，，.……（5分）
将直线的方程与椭圆方程联立消去并整理得，
则，.……（7分）
因为，，三点共线，所以.①
同理，，三点共线，所以.②……（8分）
当时，，式子①②恒成立.
当时，①②平方相除得.
设，则.……（10分）
将，的值代入上式，得，即，所以当时，上式恒成立，从而解得或4（舍去）.
故存在直线满足题设条件.……（12分）
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