2023届山东省德州市高三上学期期中数学试题（解析版）

2023届山东省德州市高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知非空集合,，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，然后利用，集合不是空集，建立不等式求解即可.

【详解】因为，得或，又因为，集合不是空集，则，解得.

故选：D

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据幂函数和指数函数的单调性判断即可得出结论.

【详解】根据幂函数的特性知，函数在上单调递增

所以时， ，又函数在R上单调递增，时，

即“”是“”的充分条件；

时，根据指数函数的单调性可得，此时有

所以“”也是“”的必要条件，选项C正确.

故选：C.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】正用、逆用两角和的正弦公式进行求解即可.

【详解】即变形得：.

故选：C

4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由“斐波那契数列”满足，将转化为问题中的项.

【详解】因为，

所以，

又因为，所以，

故选：B.

5．设为所在平面内一点,,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量加法的首尾相连,根据将往上拼凑即可得出结果.

【详解】解:由题知,

,

即

.

故选:A

6．某函数在上的部分图象如图，则函数解析式可能为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】由图形可得：当时恒成立，先减后增，.对A、C：通过符号判断；对B：求导，利用导数判断单调性和最值，并代入检验；对D：代入检验即可.

【详解】由图形可得：当时恒成立，先减后增，.

对A：当时，则，故，A错误；

对B：，

∵，则，

当时，则，则，当时，则，则，

∴在上单调递减，在上单调递增，则，

又∵，则，B正确；

对C：当时，则，故，C错误；

对D：，D错误.

故选：B.

7．已知某品牌手机电池充满时的电量为4000（单位：毫安时），且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式：电量呈线性衰减，每小时耗电400（单位：毫安时）；模式：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启模式，并在小时后，切换为模式，若使且在待机10小时后有超过的电量，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可列出方程，建立一次函数和指数函数的图像，即可分析的取值范围.

【详解】由题意：模式A在待机t小时后电池内电量为：；设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为：；则该电子产品处于满电量待机状态时开启模式，并在小时后，切换为模式，其在待机10小时后的电量为：，由，即，令，则，由图可分析，

当时，，即，因为

故选：C.

8．已知定义在上的函数，若的图像与轴有4个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由的图像与轴有4个不同的交点，转化为与有4个不同的交点，画出二者函数图像，求出与恰有3个交点的临界直线的斜率，即可求的取值范围.

【详解】因为的图像与轴有4个不同的交点，所以与有4个不同的交点，作出二者图像如下图：

易知直线恒过定点，斜率为a，

当直线与相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为，则，解得，所以切线为，此时有三个交点；

当直线过点时，，此时有四个交点；

综上所述：，

故选：A.

二、多选题

9．若，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据已知不等式可得，利用作差法、不等式的性质、基本不等式依次判断各个选项即可.

【详解】，；

对于A，，

，，，则，A错误；

对于B，，，，B正确；

对于C，，，，（当且仅当时取等号），

又，等号不成立，即，C正确；

对于D，，，D正确.

故选：BCD.

10．已知函数同时满足下列三个条件：

①该函数的最大值为；

②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为；

③该函数图象关于对称.

那么下列说法正确的是（    ）

A．的值可唯一确定

B．函数是奇函数

C．当时，函数取得最小值

D．函数在区间上单调递增

【答案】AC

【分析】根据题目条件求出函数解析式，进一步根据函数的性质，求出各选项.

【详解】由题可知：，,即

∴

又∵该函数图象关于对称

∴，即

又∵

∴当时，

∴

A选项：此时的值可唯一确定，A正确；

B选项：

当时，

∴此时函数不是奇函数，故B错误；

C选项：，

此时函数取得最小值，故C正确；

D选项：已知，

∴

∴在函数在区间上单调递减，故D错误.

故选：AC.

11．已知,则（    ）

A．的定义域是

B．函数在上为减函数

C．若直线和的图象有交点,则

D．

【答案】ABD

【分析】根据解析式,列出需要满足的条件,解出即可判断A的正误;

求,判断其正负,确定的单调性,根据和的定义域,确定在区间上的正负,即单调性,即可判断B的正误;

根据单调性求出端点值和极值点,画出草图,即可判断C的正误;

根据单调性,取特殊值,即可证明D的正误.

【详解】解:关于选项A:,

,

解得,

故选项A正确;

关于选项B:

,

,

,

,,

在单调递增,

,

在上单调递减,

故选项B正确;

关于选项C:

,,

,

在单调递增,

,

时,,单调递减,

时,,单调递增,

,

所以画草图如下:

由图可知,若直线和的图象有交点,

则,

故选项C错误;

关于选项D:

时,单调递增,

,

即,

成立,

故选项D正确.

故选:ABD

12．将个数排成行列的数阵，如图所示：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中0）.已知，记这个数的和为，下面叙述正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由题意，根据等差数列与等比数列的通项，表示出所求项，建立方程，可得A、B、C的正误，根据等差数列与等比数列的求和公式，可得D的正误.

【详解】对于A，由题意，，，

由，则，整理可得，

由，解得，故A正确；

对于B，，，故B错误；

对于C，，，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】等差数列与等比数列综合的题目中，一定分清数列的类型，利用正确的数列通项，建立合适的方程，求得所求量，在求和时，常用的方法有分组求和、裂项相消、错位相减、倒序相加，必须熟练掌握.

三、填空题

13．曲线在处的切线方程为________.

【答案】

【分析】根据曲线进行求导,求出切线的斜率,代入点斜式方程化简即可求出.

【详解】解:由题知,

,,

,

在处的切线方程为,

即.

故答案为:

14．已知命题.若为假命题，则的取值范围为_____.

【答案】

【分析】首先写出命题的否命题，根据为假命题即可得出为真命题，从而转化为恒成立，利用导数研究最值，即可求出的取值范围.

【详解】为假命题

为真命题，故，

令，则，

令解得，令解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以.

故答案为：.

15．在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为________.

【答案】##

【分析】根据向量的加减法，可得，利用换元法，整理函数关系，利用二次函数的性质，可得答案.

【详解】由为边上任意一点，则，

，

可得，则，即，由，可得，则，

故，

当时，取得最小值为.

故答案为：.

四、双空题

16．定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均值时，取较大整数），令函数，如：.则__________；_________.

【答案】     4    

【分析】通过列举的方法，得到将分组为，，，，，第组有个数，且每一组中所有数之和为，然后根据找的规律求和即可.

【详解】当时，，则，；

当时，，则，；

当时，，则，；

当时，，则，；

当时，，此时，包含，，，，共个整数，

所以将分组为，，，，，第组有个数，且每一组中所有数之和为，

则，

当时，则，即在第45组中，且位于第45组中个数的位置上，

则.

故答案为：①4；②.

五、解答题

17．设两个向量满足，.

(1)若，求的夹角；

(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再求出，即可得解；

（2）由向量与的夹角为钝角，可得，注意排除相反向量这一情况.

【详解】（1）解：由 ，得 ,

又 , 所以，

所以，

又因为 ,

所以的夹角为 ；

（2）解：由已知得，

则，

因为向量与的夹角为钝角, 所以, 解得，

设,

则, 无解, 故两个向量的夹角不可能为 ,

所以向量与的夹角为钝角时, 的取值范围为.

18．在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

在中，角所对的边分别为，且        .

(1)求角的大小；

(2)若，求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】(1) 选择条件①由正弦定理角化边后，用余弦定理求角；选择条件②，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求角；选条件③，由正弦定理边化角，再利用倍角公式化简，可求角.

(2) 由已知条件结合正弦定理角化边，得，再利用余弦定理得到，代入面积公式既可.

【详解】（1）选择条件①，由 及正弦定理，可得 ，即 ，

由余弦定理， 得 ，

因为 ， 所以 .

选择条件②，由 及正弦定理， 可得 ，

即 ，即 .

在 中， ，所以 ， 即 ，

因为 ， 所以 ， 所以 ，因为 ， 所以 .

若选条件③， ， 则 ，

由 ， 有 ，由，所以 ，

因为 ， 所以 ，所以 .

（2）由正弦定理得 ，所以 ，

因为 ， 所以 ， 所以 ，

若 ， 由余弦定理得 ， 即 ，

所以 ，因为 ， 所以 ，

所以 的面积为 .

19．函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立.已知当时，.

(1)当时，求函数的表达式；

(2)若函数的最大值为1，当时，求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由得图象关于对称，设，则，代入解析式，通过等量代换转化为的表达式；

（2）由函数的奇偶性与周期性，得时函数取最大值，求得的值，在上解不等式，由周期性与奇偶性得其他区间上的解集.

【详解】（1）由,可得图象关于对称.

因为,所以,，又，

故所求的表达式为，.

（2）因为是上的偶函数,所以,即函数是以2为周期的函数.

因为,由函数的最大值为1,知,即 .

若,则,所以,

当时,是上的偶函数,可得,

所以此时满足不等式的解集为 .

因为是以2为周期的周期函数,

当时,的解集为 ,

当时,的解集为.

综上所述，的解集为.

20．第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，

(1)写出年利润（万元）关于年产是（万箱）的函数解析式（利润销售收入成本）；

(2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元

【分析】（1）分和两种情况讨论，根据利润销售收入成本得到函数解析式；

（2）根据二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：当时，，

当时，，

故；

（2）解：当时，，

对称轴为，开口向下，故，

当时，

，

当且仅当，即时，等号成立，

因为 ，

所以当时，利润最大，最大值为万元，

故年产量为万箱时，该公司利润最大，最大利润为万元.

21．已知数列的前项和为，且满足，数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求证：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据和的关系求解数列的通项公式即可；根据题中的等式先求解出数列的递推关系式，再根据递推关系式求解数列的通项公式；

（2）根据数列的通项公式化简题中数列的通项公式，再求解其前n项和，最后运用裂项相消法证明不等式.

【详解】(1) 由 得 ,

作差得 , 即 ,

即 , 即 ,

所以数列 是以 为首项, 3 为公比的等比数列, , 所以 .

数列 满足 , (1)

当 时, ;

当 时, ,(2)

由(1) -(2)可得 ,

当 时,也符合上式, 故数列 的通项公式为 .

（2）

则

故 成立.

22．已知函数.

(1)求在的最小值；

(2)若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号.

【答案】(1)答案见解析；

(2)正，理由见解析

【分析】（1）由导数法求最值，对、、分类讨论即可；

（2）由（1）得只有时方程有两个不同的解且可设设 ，则由列等式整理得，

结合等差中项性质可变形整理得，令 ，由导数法讨论最值得，即可进一步证明

【详解】（1）.

当 时， 在 单调递减， ；

当 时， 在 单週递减， ；

当 时， 时， 时， ， 所以 在 单週递减， 在 单调递增，

综上，当 时， ；当 时， .

（2）值的符号为正，理由如下：

由 (1) 知， 当 时， 单调递减， 不符合題意.

当 时， 在 单调递减， 在 单调递增.

不妨设 ，由方程 有两个不同的解 ，

则 ， 整理得

.

令 ， 则 ，令 ，

在 单调递增， .故 得证