2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题（解析版）

2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解出集合，然后利用补集和交集的定义可求出集合.

【详解】

，，则或，

因此，.

故选：D.

【点睛】

本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.

2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出，结合共轭复数的概念可求出的值.

【详解】

，，因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题.

3．“，”为真命题的充分必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得出答案.

【详解】

“，”为真命题，对任意的恒成立，

由于函数在区间上单调递增，则，.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.

4．已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设与的夹角为，将等式展开后可求出的值，即可求出与的夹角.

【详解】

，即，得，

则，，.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解题时要熟悉平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于中等题.

5．已知，，则实数，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由结合指数运算律可得出，由对数函数的单调性可得出，由此可得出三个实数的大小关系.

【详解】

，，，则.

，，.

因此，.

故选：A.

【点睛】

本题考查数的大小比较，涉及了指数的运算以及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对甲分甲选牛或羊作礼物、甲选马作礼物，利用分步计数原理和分类计数原理计算出事件“三位同学都选取了满意的礼物”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】

若甲选牛或羊作礼物，则乙有种选择，丙同学有种选择，此时共有种；

若甲选马作礼物，则乙有种选择，丙同学有种选择，此时共有种.

因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，同时也涉及了分类计数和分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

7．双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】作出图形，取该双曲线的左焦点，利用双曲线的定义得出，从而可得出的周长为，利用、、三点共线时，的周长取得最小值，可求出的值，进而求出该双曲线的离心率.

【详解】

如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，

所以，的周长为，

当且仅当、、三点共线时，的周长取得最小值，即，解得.

因此，该双曲线的离心率为.

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，同时也涉及了与焦点相关的三角形周长最值的计算，利用双曲线的定义转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题中定义结合等式可得出，等式两边同时除以，可得出，可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出数列的通项公式，即可得出.

【详解】

根据题中定义可得，

即，即，

等式两边同时除以，得，且，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，

因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能力，属于中等题.

9．已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（    ）

A． B．函数在定义域上是周期为的函数

C．直线与函数的图象有个交点 D．函数的值域为

【答案】A

【解析】推导出当时，，结合题中等式得出，可判断出A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想可判断C选项的正误；求出函数在上的值域，利用奇函数的性质可得出函数的值域，可判断出D选项的正误.

【详解】

函数是上的奇函数，，由题意可得，

当时，，，A选项正确；

当时，，则，，，

则函数不是上周期为的函数，B选项错误；

若为奇数时，，

若为偶数，则，即当时，，

当时，，若，且当时，，

，

当时，则，，

当时，，则，

所以，函数在上的值域为，

由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，

由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；

如下图所示：

由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，

当或时，，此时，函数与函数没有交点，

则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.

故选：A.

二、多选题

10．已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】设点的坐标为，可得知当、均为圆的切线时，取得最大值，可得出四边形为正方形，可得出，进而可求出点的坐标.

【详解】

如下图所示：

原点到直线的距离为，则直线与圆相切，

由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，

连接、，由于的最大值为，且，，

则四边形为正方形，所以，

由两点间的距离公式得，

整理得，解得或，因此，点的坐标为或.

故选：AC.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（    ）人

附表：

附：

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】设男生的人数为，列出列联表，计算出的观测值，结合题中条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出男生人数的可能值.

【详解】

设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：

则，

由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，

即，得，

，则的可能取值有、、、，

因此，调查人数中男生人数的可能值为或.

故选：BC.

【点睛】

本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.

12．已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.

【详解】

如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.

抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，

轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，

，则，，得，

A选项正确；

，又，为的中点，则，B选项正确；

，，（抛物线定义），C选项正确；

，，D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

三、填空题

13．随机变量的取值为、、，，，则______.

【答案】

【解析】设，可得出，可求出的表达式，利用方差公式可求出的值，即可求出的值.

【详解】

设，其中，可得出，

，

，解得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用随机变量方差求数学期望，解题的关键就是列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.

14．已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则当时，函数的最小值为______.

【答案】

【解析】根据题中信息求得，然后由，求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出的最小值.

【详解】

由题意可得，设函数的最小正周期为，则，得，

，此时，.

因为函数的图象关于直线对称，则，

，，，，则.

，，

因此，函数在区间上的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上的最值，解题的关键就是求出三角函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.

15．的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.

【答案】       

【解析】求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项.

【详解】

的展开式的通项为，

令，得，所以，展开式中的常数项为；

令，令，即，

解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

16．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.

【答案】

【解析】求出鳖臑的外接球的半径，可求出，然后求出正方形的外接圆半径，利用公式可求出阳马的外接球半径，然后利用球体的表面积公式可得出答案.

【详解】

四边形是正方形，，即，且，，

所以，的外接圆半径为，

设鳖臑的外接球的半径，则，解得.

平面，，可得，.

正方形的外接圆直径为，，

平面，所以，阳马的外接球半径，

因此，阳马的外接球的表面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查球体表面积和体积的计算，同时也涉及了多面体外接球问题，解题时要分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

四、解答题

17．已知数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）令，求出的值，令，由得出，两式相减，利用等差数列的定义可得出数列为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求出；

（2）求出，可得出，然后利用分组求和法与裂项求和法可求出.

【详解】

（1）当时，，整理得，，解得；

当时，①，可得②，

①－②得，即，

化简得，

因为，，所以，

从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；

（2）由（1）知，

因为，

.

【点睛】

本题考查由与的关系求数列通项，同时也考查了分组求和法与裂项求和法，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.

18．已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.

（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.

（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）

【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2）.

【解析】（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，结合题意得出，推出矛盾，可得出①②不能同时成为的条件，由此可得出结论；

（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.

【详解】

（1）由①得，，

所以，

由②得，，

解得或（舍），所以，

因为，且，所以，所以，矛盾.

所以不能同时满足①，②.

故满足①，③，④或②，③，④；

（2）若满足①，③，④，

因为，所以，即.

解得.

所以的面积.

若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，

所以，所以的面积.

【点睛】

本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.

19．如图（1），边长为的正方形中，，分别为、上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，，沿，，折起，使、、三点重合于点，如图（3）.

（1）求证：；

（2）求二面角最小时的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）利用图形翻折的几何关系可得出，，然后由直线与平面垂直的判定定理可得出平面，由此可证明出；

（2）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，，可得出，求出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法结合基本不等式可求出二面角最小时的余弦值.

【详解】

（1）折叠前，，折叠后，，

又，所以平面，因此；

（2）由（1）及题意知，因此以为原点，、、分别

为、、轴建立空间直角坐标系如图：

令，，，所以，，

设平面法向量为

则所以，令，则

又平面法向量为，

设二面角的大小为，所以，

又，

当且仅当取等号，所以.

所以二面角最小时的余弦值为.

【点睛】

本题考查利用线面垂直的性质来证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法来计算二面角的余弦值，涉及了利用基本不等式求最值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.

20．顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆相切于点，过点作，垂足为，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意列出关于、的方程组，解出这两个量，即可得出椭圆的标准方程；

（2）结合题意可知，直线斜率存在且不为，可设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用，得出，求出点的横坐标，并求出点的横坐标以及、，然后利用基本不等式结合三角形的面积公式可求出面积的最小值.

【详解】

（1）由题意可得，解得：，，

故椭圆的方程为；

（2）显然直线斜率存在且不为，设直线，联立，

得，

且，得，

所以，

联立，得，所以，

则，

所以，

故面积最大值为，当且仅当时成立.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，涉及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.

21．已知函数（为常数）.

（1）若在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若，讨论函数的单调性；

（3）若为正整数，函数恰好有两个零点，求的值.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】（1）由题意得出，即可求出实数的值；

（2）由，可得出，对与的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号，可得出函数的单调增区间和减区间；

（3）分、和三种情况讨论，结合（2）中函数的单调性以及零点存在定理来判断出函数的零点个数，可得出整数的值.

【详解】

（1）由题意，，则，

由于函数的图象在处的切线与直线垂直，

则，所以，因此，；

（2），则.

①若时，，

当或时，，时，，

所以在和单调递增，在单调递减，

②若时，，对，恒成立，在单调递增；

③若时，，

当或时，，时，，

所以在和单调递增，在单调递减；

（3）因为为正整数，

若，则，，

由（2）知在和单调递增，在单调递减，

又，所以在区间内仅有实根，，

又，所以在区间内仅有实根.

此时，在区间内恰有实根；

若，在单调递增，至多有实根.

若，，

令，则，，，

所以.

由（2）知在单调递减，在和单调递增，

所以，所以在至多有实根.

综上，.

【点睛】

本题考查利用切线斜率求参数、利用导数求含参数函数的单调区间以及利用导数研究函数的零点问题，一般结合函数的单调性与零点存在定理来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

22．某公司为了了解年研发资金投人量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中、、、均为常数，为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令，，经计算得如下数据：

（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？

（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；

（ⅱ）若下一年销售额需达到亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？

附：①相关系数，

回归直线中公式分别为：，；

②参考数据：，，.

【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（ⅰ）；（ⅱ）亿元.

【解析】（1）计算出两个模型的相关系数，选择相关系数绝对值较大的模型拟合较好；

（2）（ⅰ）由（1）可知，选择模型拟合较好，变形得到，即，然后利用表格中的数据以及最小二乘法公式求出和的值，即可得出回归方程；

（ⅱ）在所求回归方程中，令，结合题中参考数据可求出的值，即可求解.

【详解】

（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，由题意，

，

，

则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好；

（2）（ⅰ）先建立关于的线性回归方程，

由，得，即；

由于，，

所以关于的线性回归方程为，

所以，则；

（ⅱ）下一年销售额需达到亿元，即，代入，得，

又，所以，所以，

所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元.

【点睛】

本题考查利用相关系数选择回归模型，同时也考查了非线性回归模型的求解，以及利用回归方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.