2022-2023学年宁夏银川市第二中学高三上学期统练三数学理试卷含答案
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银川二中2022-2023学年第一学期高三年级统练三
理 科 数 学 试 题
注意事项：
- 本试卷共22小题，满分150分。考试时间为120分钟。
- 答案写在答题卡上的指定位置。考试结束后，交回答题卡。
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知集合，，则
A． B． C． D．
2. 命题的否定是
A． B． C． D．
3.
A．2 B． C．5 D．
4. 若函数的图象如图所示，则的解析式可能是
A．
B．
C．
D．
- 若函数在点处的切线的斜率为1，则的最小值为
A． B． C． D．
6. 已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
7. 已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是
A． B．在区间单调递减
C．在区间上的最大值为2 D．为偶函数，则
8. 记为等比数列的前项和.若，，则
A．7 B．8 C．9 D．10
- 为了得到函数的图象，只需将函数的图象
A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位
- 设等差数列与等差数列的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为
A． B． C． D．
11. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为
A．5 B．6 C．7 D．8
12. 已知，若时，恒成立，则的最小值为
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则____．
- 已知函数的部分图象如图所示，则_______________.
- 实数、满足条件，则的最大值为__________．
- 已知函数，则函数的零点个数是______个．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．（本小题满分12分）
等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
19.（本小题满分12分）
第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且．经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金万元．现每台空调售价为万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．
（1）求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本．
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的对称中心；
（2）若，，求的值.
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，，证明：．
选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
- [选修4-4：极坐标与参数方程选讲]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线与的直角坐标方程；
(2)已知直线的极坐标方程为，直线与曲线，分别交于，（均异于点）两点，若，求．
- [选修4-5：不等式选讲]
已知函数．
(1)当时，解关于的不等式；
(2)当时，的最小值为，且正数满足．求的最小值．
高三数学理科统练三参考答案
一、选择题.
BCDDA ADABC DD
二、填空题.
13. 14. 15. 16.
三、解答题.
17.【解析】(1)设等差数列的公差为，
由，可得，解得，
∴；
(2)∵数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴，又，可得，所以．
18. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．在中，．所以．
19.【解析】（1）由题意知，当时，，所以a=300．当时，；当时，．所以，
（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；当时，，当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990．因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元．
20.（1）
， 令，则.
所以的对称中心为，.
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，
故
.
21. 【解答】（1）解：因为，
则，当时，，所以（1），
则在处的切线方程为；
（2）解：函数的定义域为，且，
令，且，
①当时，恒成立，此时，则在上单调递减；
②当时，判别式△，
当时，△，即，所以恒成立，此时函数在上单调递减；
当时，令，解得，
令，解得或，
所以在，上单调递增，在和，上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在和，上单调递减．
（3）证明：由（2）可知，，，，
则
，则，
故问题转化为证明即可，
即证明，则，
即证，即证在上恒成立，
令，其中（1），
则，故在上单调递减，
则（1），即，故，所以．
22.(1)解：的参数方程为（t为参数），把代入中可得，
，所以曲线的直角坐标方程为，
的极坐标方程为，即，所以曲线的直角坐标方程为，
综上所述：曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，
(2)由（1）知，的极坐标方程为，
设M、N两点的极坐标分别为、，
则，，由题意知可得，
因为，所以，所以，故，所以或（舍）所以.
23.【解析】(1)当时，；
当时，，解得：；
当时，，解集为；
当时，，解得：；
综上所述：不等式的解集为.
(2)当时，（当且仅当时取等号），，即；
（当且仅当时取等号），
即的最小值为.
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