2020届宁夏回族自治区银川市第二中学高三上学期统练四数学（理科）试题（解析版）

这是一份2020届宁夏回族自治区银川市第二中学高三上学期统练四数学（理科）试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020届宁夏回族自治区银川市第二中学高三上学期统练四数学（理科）试题


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出集合B再求出交集.
【详解】
，
∴，则，
故选A．
【点睛】
本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
A．5 B．-5 C． D．
【答案】B
【解析】先由题意求出，再由复数的乘法运算，即可求出结果.
【详解】
因为，复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，所以，
所以.故选B
【点睛】
本题主要考查复数的运算，以及复数的几何意义，只需掌握复数的几何意义和运算法则，即可求解，属于基础题型.
3．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.
【详解】
选项：值域为，错误
选项：值域为，正确
选项：值域为，错误
选项：值域为，错误
本题正确选项：
【点睛】
本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.
4．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分不必要条件
【答案】A
【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
【考点】充分条件、必要条件.

5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a2＝（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【解析】利用通项公式，求和公式即可得出．
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，q＞0，
由各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，
∴a1（1+q+q2+q3）＝15，a1q4＝a1（3q2+4）．
解得a1＝1，q＝2．
则a2＝2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了通项公式求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1
【答案】A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
7．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。
8．函数(（是常数）,的部分图像如图所示，则f(0)=（ ）

A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】欲求f（0），须先求f（x）的解析式．易求A，，从而可求ω＝，由φ＝π可求φ的值，从而使问题解决．
【详解】
由f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象可得：
A，，
∴T＝，又T，
∴ω＝，
又φ＝π，
∴φ，
∴f（x）sin（x）
∴f（0）sin．
故选：D．
【点睛】
本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，结合图象求A，ω，φ的值是关键，属于中档题．
9．已知满足约束条件，当目标函数在约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）
A．5 B．4
C． D．2
【答案】B
【解析】【详解】

由得，∵，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图，由图可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．由，解得，即，此时目标函数的最小值为，即，所以点在直线上，则原点到直线的距离，即的最小值.故选B．
【考点】1、简单线性规划；2、点到直线的距离．
【思路点睛】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义确定取得最小值的条件，点在直线，而的几何意义为点到直线的距离的平方，将问题转化为求到直线的距离即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最小值的条件是解决本题的关键．属于基础题．

10．求值：4cos 50°－tan 40°＝(　　)
A． B． C． D．2－1
【答案】C
【解析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．
【详解】
4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=
==
===．
故选：C．
【点睛】
本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
11．已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算
【详解】
∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，
∵圆O的半径为，
∴正方体的边长为2，即PA＝PB＝PC＝2
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积VS△ABC×hS△PAB×PC2×2×2
△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC（2）2
∴h
∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为
故选：A．
【点睛】
本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题
12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立。
【详解】
∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以。当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C。
【点睛】
本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析。


二、填空题
13．观察下列不等式

，

……
照此规律，第五个不等式为
【答案】：
【解析】试题分析：照此规律，第个式子为，第五个为．
【考点】归纳推理．
【名师点睛】归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．是由部分到整体、由个别到一般的推理．

14． 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.
【答案】.
【解析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，则，。
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为。
由得，，
所以。
所以。

【点睛】
平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
15．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是　 　．
【答案】（﹣7，3）
【解析】设x<0，则－x>0.
∵当x≥0时，
f(x)＝x2－4x，
∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．
∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，
∴f(x)＝
由f(x)＝5得
或
∴x＝5或x＝－5.
观察图像可知由f(x)<5，得－5 ∴由f(x＋2)<5，得－5 ∴－7 ∴不等式f(x＋2)<5的解集是
{x|－7
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是_____（写出所有正确命题的编号）

①当0＜CQ时，S为四边形
②当CQ时，S为等腰梯形
③当CQ时，S与C1D1的交点R满足
④当时，S为四边形
⑤当CQ＝1时，S的面积为
【答案】①②③⑤
【解析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【详解】
如图当CQ时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP＝QD1，
故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；

由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ时，如图，

延长DD1至N，使D1N，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R＝C1Q：D1N＝1：2，故可得C1R，故③正确；
④由③可知当CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故④错误；
⑤当CQ＝1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1＝AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF，故⑤正确．

故答案为：①②③⑤
【点睛】
本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．

三、解答题
17．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．
（1）求cos A的值；
（2）求c的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】【详解】
(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.
所以sin B＝＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋
cos Asin B＝.
所以c＝＝5.

18．已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.
【详解】
详解：（Ⅰ）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（Ⅱ）设，数列前n项和为.
由解得.
由（Ⅰ）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
19．函数f（x）＝6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形

（1）求ω的值及函数f（x）的表达式；
（2）若f（x0），且x0∈（），求f（x0+1）的值
【答案】（1）ω，f（x）＝2（2）
【解析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据题意求得BC的长，进而求得三角函数的最小正周期，则ω可得．求得f（x）的表达式，根据三角函数的性质求得函数f（x）的值域．
（2）由，知 x0∈（，），由f（），可求得即sin（），利用两角和的正弦公式即可求得f（+1）．
【详解】
（1）函数f（x）＝6cos2sinωx﹣3＝3cosωxsinωx＝2sin（ωx），由于△ABC为正三角形，所以三角形的高为，所以BC＝4．
所以函数f（x）的最小正周期为T＝4×2＝8，所以ω，
故得到f（x）＝2．
（2）由于若f（x0），所以，整理得，由于x0∈（）所以，所以，
所以f（x0+1）＝2

【点睛】
本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．
20．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
【答案】(1)见解析(2) (3)
【解析】试题分析：（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据
，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值
试题解析：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图所示），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．C由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）．

（1）证明：向量＝（0，1，1），＝（2，0，0），
故＝0，
所以BE⊥DC.
（2）向量＝（－1，2，0），＝（1，0，－2）．
设n＝（x，y，z）为平面PBD的法向量，
则
不妨令y＝1，可得n＝（2，1，1）为平面PBD的一个法向量．于是有
＝＝＝，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
（3） 向量＝（1，2，0），＝（－2，－2，2），＝（2，2，0），＝（1，0，0）．
由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝（1－2λ，2－2λ，2λ）．由BF⊥AC，得＝0，因此2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝，即＝.设n1＝（x，y，z）为平面FAB的法向量，即不妨令z＝1，可得n1＝（0，－3，1）为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝（0，1，0），则
cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知二面角F ­ AB ­ P是锐角，所以其余弦值为.
方法二：（1）证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.
因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.

（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．
依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
（3）如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F ­ AB ­ P的平面角．
在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝，所以二面角F ­ AB ­ P的余弦值为.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角
21．已知函数，其中，为自然对数的底数.
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
【答案】（Ⅰ）当时，；当时，；
当时，.（Ⅱ）的范围为.
【解析】试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.
试题解答：（Ⅰ）
①当时，，所以.
②当时，由得.
若，则；若，则.
所以当时，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，所以.
（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，
在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则不可能恒为正，也不可能恒为负.
故在区间内存在零点.
同理在区间内存在零点.
所以在区间内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.
所以.
此时，在上单调递减，在上单调递增，
因此，必有
.
由得：，有
.
解得.
当时，在区间内有最小值.
若，则，
从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.
又，
故此时在和内各只有一个零点和.
由此可知在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增.
所以，，
故在 内有零点.
综上可知，的取值范围是.
【考点定位】导数的应用及函数的零点.

22．
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
【答案】（1）
（2）为参数，
【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得。
（2）联立方程，由根与系数的关系求解
详解：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数， ．
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．
点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题。
23．
设函数．
（1）画出的图像；
（2）当，，求的最小值．

【答案】（1）见解析
（2）
【解析】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可。
（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值
详解：（1） 的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．
点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题。