北京市大兴区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷（word版，含答案）

北京市大兴区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷

数 学

2023．01

2022．4

第一部分 （选择题   共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）空间向量

（A）（B）

（C）（D）

（2）圆的半径是

（A）（B）

（C）（D）

（3）抛物线的焦点到准线的距离为

（A）（B）

（C）（D）

（4）已知数列的前项和，则

（A）（B）

（C）（D）

（5）若等差数列满足，，则其前项和的最小值为

（A）（B）

（C）（D）

（6）设是各项不为的无穷数列，“，”是“为等比数列”的

（A）充分而不必要条件            （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件                （D）既不充分也不必要条件

（7）设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则

（A）（B）

（C）（D）

（8）如图，在三棱柱中，平面，，．

分别为的中点，则直线与平面的位置关系是

（A）平行

（B）垂直

（C）直线在平面内

（D）相交且不垂直

（9）记为等比数列的前项和．已知，，则数列

（A）无最大项，有最小项          （B）有最大项，无最小项

（C）无最大项，无最小项          （D）有最大项，有最小项

（10）已知是圆上的动点，则到直线距离的最大值为

（A）（B）

（C）（D）

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）与的等差中项为_______．

（12）直线关于轴对称的直线的方程为_______．

（13）已知双曲线的一条渐近线方程为，则_______．

（14）能说明“若等比数列满足，则等比数列是递增数列”是假命题的一个等比数列的通项公式可以是_______．

（15）平面内，动点与点的距离和到直线的距离的乘积等于，动点的轨迹为曲线．给出下列四个结论：

①曲线过坐标原点；

②曲线关于轴对称；

③曲线与轴有2个交点；

④点与点的距离都不小于．

　　其中所有正确结论的序号为_______．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

已知点和点是圆直径的两个端点.

（Ⅰ）求线段的中点坐标和圆的方程；

（Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程.

（17）（本小题14分）

已知等差数列满足，.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设是等比数列，，，求数列的前项和.

（18）（本小题14分）

已知抛物线的焦点为.

（Ⅰ）求的坐标和抛物线的准线方程；

（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两个不同点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长.

条件①：直线的斜率为；

条件②：线段的中点为.

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.

（19）（本小题14分）

如图，在长方体中，，，分别是棱的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

（20）（本小题15分）

已知椭圆过点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；

（Ⅱ）设为原点，直线与直线平行，直线与椭圆交于不同的两点，直线

分别与轴交于点.当都在轴右侧时，求证：为定值.

（21）（本小题14分）

已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数，总存在，使得，，其中．令为满足的所有中的最大值，为满足的所有中的最小值．

（Ⅰ）若无穷递增数列的前四项是，求和的值；

（Ⅱ）若是无穷等比数列，，公比为大于的整数，，求的值；

（Ⅲ）若是无穷等差数列，，公差为，其中为常数，且，求证：

和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）（12）（13）

（14）（答案不唯一）（15）②③④　　　　　　

注：第（15）题只写一个且正确给3分，只写两个且正确给4分。

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共14分）

解：（Ⅰ） 由题意知，线段的中点为圆心

设圆，

，1分

，1分

          所以圆心．

故线段中点的坐标为．1分

直径1分

．1分

所以圆的半径为．1分

所以圆的方程为．1分

   （Ⅱ） 设切线的斜率为，

          由题意知，．1分

          所以．2分

          因为，1分

          所以．1分

          又因为点在直线上，

所以直线的方程为．2分

（17）（共14分）

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为．

因为，

所以．2分

因为，

所以．2分

所以．2分

（Ⅱ）设等比数列的公比为．

因为，所以．2分

所以．2分

所以

. 4分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ） 由题设知，焦点的坐标为.  3分

准线方程为.3分

（Ⅱ）选条件①

直线的方程为．2分

    由得．1分

设，，则

．1分

由抛物线的定义知，3分

所以．故的长为．1分

选条件②

设，，

因为的中点为，

由中点坐标公式知，．4分

由抛物线的定义知，，3分

所以所以．

故的长为．1分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）在长方体中，

因为，且，

所以四边形为平行四边形．1分

所以．1分

又平面，1分

平面，

所以平面．1分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，

则，，，．

所以，，，．

设平面的法向量为，则

　即

令，则，．

于是．2分

又因为平面的法向量为，1分

设平面与平面夹角为，

所以2分

．

所以平面与平面夹角的余弦值为．1分

（Ⅲ）因为，

所以到平面的距离为2分

1分

．1分

（20）（共15分）

解：（Ⅰ）由题设，得

解得，．2分

所以椭圆的方程为．1分

              因为，，1分

所以离心率．1分

（Ⅱ）依题意，直线的斜率为．分

由直线与直线平行知，

              直线的斜率为．

              设直线的方程为．分

由得．1分

由得．

设，，则

，．．分

 直线的方程为．．分

令，得点的横坐标．分

同理可得点的横坐标．

因为点，都在原点的右侧，所以，，

分

分

因为

分

所以．分

所以为定值．

（21）（共14分）

解：（Ⅰ）由题意知，是无穷递增数列且．

所以．

由题意知，．4分

（Ⅱ）由题意知，是无穷递增等比数列，，公比是大于的整数．

方法一

①当时，，

故，所以，．

，所以，．

，所以．

所以当时，，成立．2分

②当时，，

故，所以

故，所以．

则，所以不满足题意．1分

③当时，

故，所以，．

，所以，．

，所以．

所以当时，，成立．2分

④当时，

故，且

则，所以当时，不满足题意．1分

综上，当，或时，满足，，成立.

方法二

由题意知，，或．

①当时，由题意知，

若，即，

此时，，且，．

所以当时满足题意．2分

②当时，由题意知，

若，即，

此时，，．

所以当时满足题意．2分

③以下说明当，时，不成立．

当时，即，故不满足题意．1分

当时，

故，且

则，所以当时，不满足题意．1分

（Ⅲ）方法一

由是无穷递增等差数列，，公差为知，

              所以．1分

因为，

所以，．

由，分别为满足，的所有，中的最大值和最小值，

且知，

．1分

所以．1分

因为为常数，

所以和都是首项，公差为等差数列．

所以，．1分

方法二

因为，所以．

令，即且．

所以，且．

所以．

所以．

即．

因为．

即．

所以．2分

所以．1分

同理

所以和都是首项，公差为等差数列．

所以，．1分