2022-2023学年江苏省南京大学附属中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京大学附属中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出答案.

【详解】

.

故选：C

2．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件，求出，再结合相反向量的定义进行求解即可．

【详解】因为，，，

所以，

想要质点恰好达到平衡状态，只需．

故选：D．

3．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由的范围判断的符号，再由展开计算即可.

【详解】因为，所以，则，

所以，

所以，

 故选：B.

4．把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知，再计算面积即可.

【详解】解：由题知，，，

所以，在中，，

所以，其矩形木料的面积为.

故选：D

5．如图所示，已知和交于点E，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量的加法的几何意义，利用一组基地表示向量，建立方程组，可得答案.

【详解】设，由图可知，

，

则，解得.

故选：B.

6．如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】法一：设，然后用，分别表示出，，从而由平面向量的数量积运算并结合的范围求得结果；

法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，然后求出，，从而由向量的坐标运算并结合m的范围求得结果．

【详解】法一：设，

因为O为AC的中点，所以，

所以．又，

所以，

因为，所以，

所以；

法二：以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，设，

所以，，所以．

因为，所以，

即.

故选：A．

7．计算：（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用和差化积公式可求解.

【详解】原式.

故选：D

8．湖北省第十六届运动会将于年月在宜昌举行，为了方便宜昌市民观看，夷陵广场大屏幕届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端离地面米，大屏幕高米，若某位观众眼睛离地面米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，表示出，，利用两角和差正切公式，结合基本不等式可确定当时，取得最大值，由此可得结论.

【详解】如图所示，

由题意知：，，

设，则，，

（当且仅当，即时取等号），

，当时，可以获得观看的最佳视野.

故选：B.

二、多选题

9．计算下列各式，结果为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.

【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；

对于选项B，，故选项B错误；

对于选项C，，故选项C错误；

对于选项D，，故选项D正确.

故选：AD.

10．已知向量满足，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】AD选项，由可得，，

后结合，可判断选项正误；

BC选项，结合AD选项分析可得，据此可判断BC选项正误.

【详解】AD选项，，得，整理得①．

由，得，整理得②．

由①②及，得，所以，.故AD正确；

BC选项，，所以，所以反向共线，

又，所以，.故B正确，C错误.

故选：ABD．

11．设函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的周期是

B．的图象关于直线对称

C．在单调递减

D．在上的最小值为

【答案】ACD

【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的图象和性质得出结论.

【详解】函数，

的最小正周期为，故A正确；

令，求得，不是最值，可得的图象不关于直线对称，故B错误；

时，，函数单调递减，故C正确；

时，，故当即时，函数取得最小值为，故D正确，

故选：ACD.

12．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形ABCDEF，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】BCD

【分析】对A，可得与为相反向量，故A错误；对B，证明即得解；对C,求出即得解；对D，证明即得解.

【详解】对A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；

对B，由图易得，直线平分，

且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向，

易知均为含的直角三角形，故，

则，而，故，故，故B正确；

对C，，

 ，则，

又，， ，，

故C正确；

对D，由C知，则在上的投影向量为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知向量，满足，，，则_________.

【答案】

【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.

【详解】由可得，，即，解得：，

所以．

故答案为：．

14．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________．

【答案】且.

【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可.

【详解】由得，，.

由已知得，，所以，即，且不共线.

则，.

又不共线，则.

所以，的取值范围为且.

故答案为：且.

15．在直角坐标系中，的顶点，，，且的重心的坐标为，__________.

【答案】

【分析】由重心的坐标与三个顶点坐标的关系有，结合已知列方程组，得，两式平方相加，即可求.

【详解】由题意知：，

∴，即，

∴，

，

将两式相加，得：，

∴.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：利用三角形的重心坐标与顶点坐标关系，结合已知条件列方程组，利用同角三角函数关系、两角差余弦公式求函数值.

16．已知在中，，则角的最大值为__________．

【答案】/

【分析】根据题设作出示意图，令、，利用差角正切公式求，应用基本不等式求其最大值，即可得的最大值，注意取值条件.

【详解】由题意，作，如图所示，

令，则，设，则，，

所以，

则，当且仅当时，取得最大值.

故答案为：

四、解答题

17．设两个非零向量与不共线．

(1)若，，求证三点共线．

(2)试确定实数，使和共线．

【答案】(1)证明见解析；

(2)或.

【分析】(1)转化为证明向量，共线，即可证明三点共线；

(2)由共线定理可知，存在实数，使，利用向量相等，即可求解的值.

【详解】（1）因为，，，

所以

所以，共线，

又因为它们有公共点，

所以三点共线；

（2）因为和共线，

所以存在实数，使，

所以，

即 .

又，是两个不共线的非零向量，

所以

所以，

所以或.

18．已知向量，．

(1)求；

(2)求及在上的投影向量的坐标；

(3)，求m的值．

【答案】(1)

(2)，在上的投影向量的坐标为

(3)

【分析】（1）根据数量积的坐标运算即可；

（2）根据向量坐标的线性运算求解的坐标，即可得；按照投影向量的定义列式求解即可；

（3）由向量垂直得数量积为零，进行计算即可得m的值．

【详解】（1）已知向量，，所以；

（2），

又在上的投影向量的坐标为

（3）因为，所以，解得.

19．已知，，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用将所求式子转化为齐次分式，从而利用即可得解；

（2）先由及求得，从而得到，再利用正切的和差公式求得，进而得解.

【详解】（1）因为，

所以．

（2）因为，所以，

又因为，所以，，

所以，

又，所以由，解得，

所以，

又，，故，

所以．

20．已知函数.

求函数的最小正周期；

若对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】；

【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．

（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．

【详解】解:因为

所以的最小正周期为

“对恒成立”等价于“”

因为

所以

当，即时

的最大值为.

所以，

所以实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

21．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．

(1)求的取值范围；

(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）由题意得，结合即可得解；

（2）由，求解即可.

【详解】（1）在直角三角形中，．

∴，，

，

∵，∴．

（2）

令，得或（舍）.

∴存在实数，使得．

22．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点.

(1)若，求；

(2)求四边形的面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）记与的交点分别为，，求得，进而得，由可得结果；

（2）设，仿照（1）的思路，求得，，，从而得的表达式，利用三角恒等变换化简，利用三角函数的性质求得最大值.

【详解】（1）连接，记与的交点分别为，，

故，

，

.

（2）连接，记与的交点分别为，

设，

则，，，

，

所以四边形的面积

因为，，

所以当，即时，.