2022-2023学年河南省信阳市高中高二上学期12月月考（五）数学试题（含答案）

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信阳市高中2022-2023学年高二上学期12月月考（五）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列中，则（    ）A.1    B.2    C.3    D.42.已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α的位置关系是（    ）A.平行    B.垂直    C.在平面内    D.平行或在平面内3.若直线与互相平行，则的值是（    ）A.    B.2    C.或2    D.3或4.已知过点有且仅有一条直线与圆：相切，则（    ）A.    B.    C.1或2    D.或-25.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ）A.    B.C.    D.6.下列说法正确的是（    ）A.经过定点的直线都可以用方程表示B.方程不能表示平行轴的直线C.经过点，倾斜角为的直线方程为D.经过两点，的直线方程为7.在三棱锥中，､､两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（    ）A.B.C.D.8.等差数列的前项和为，且.设，则当数列的过顶和取得最大值时，的值为（    ）A.23    B.25    C.23或24    D.23或25二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（    ）A.B.C.D.10.在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的（    ）A.若点总满足，则动点的轨迹是一条直线B.若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个周长为的圆C.若点到直线的距离与到点的距离之和为1，则动点的轨迹是椭圆D.若点到平面与到直线的距离相等，则动点的轨迹抛物线.11.已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（    ）A.B.的最小值为0C.D.当且仅当时，取最大值3012.已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（    ）A.B.的最小值为2C.直线BE的斜率为D.为钝角三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列的前项和，则其通项公式__________.14.《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的最大的为____________.15.两条异面直线所成角为，在直线上分别取点和点，使且.已知.则线段__________.16.设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知.（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围.18.已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点，且与直线x+y﹣2=0垂直.（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程.19.如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，点是棱上的一点.（1）若，求证：平面；（2）若是的中点，求二面角的余弦值.20.已知抛物线.过动点且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A､B.（1）若，求a的取值范围；（2）若线段的垂直平分线交于点Q，交x轴于点N，试求的面积.21.如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.（1）求证：；（2）若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.22.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为.（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且.证明：，，成等差数列，并求该数列的公差.信阳市高中2022-2023学年高二上学期12月月考（五）数学试题答案1.B    2.D    3.A    4.A    5.C    6.D    7.D    8.D    9.BCD    10.ABD    11.AB    12.AC13.    14.2018    15.或16.【详解】由椭圆及双曲线定义得，，，因为，所以，，，因为，，，所以，则，因为，，由，所以，因此.17.（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意有，解答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：18.（1）.直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.（2）设圆的标准方程为，则，所以圆的标准方程为.19.（1）证明：连接交于，连接，因为∥所以∽，所以，因为，所以，所以∥，因为平面平面，所以∥平面（2）过作于，因为平面，平面，所以平面平面，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以过作于，连接，因为，所以平面，因为平面，所以所以是二面角的平面角，不妨设，则，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以20.（1）直线的方程为，将代入，得.设，则所以.因为，所以且，解得.故a的取值范围是.（2）设，由中点坐标公式，得，，故.所以.因为线段的垂直平分线交于点Q，交x轴于点N，且直线的倾斜角为，所以是等腰直角三角形，所以.21.（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面平面.所以（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.因为异面直线与所成角的正切值为，所以，即又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.因为为正三角形所以，从而由已知E，F分别是的中点，所以则，所以，所以，因为，所以可设，平面的一个法向量为，则，取，得，又，则.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的取值范围为.22.（1）设，则.两式相减，并由得，由题设知，于是.①由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理，所以.故，即，，成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.