黑龙江省伊春市伊美区第二中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省伊春市伊美区第二中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了若某抛物线过点，已知函数f，函数f，若函数f等内容，欢迎下载使用。

黑龙江省伊春市伊美二中2021-2022学年高二上学期期末数学试卷（解析版）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．两平行直线3x﹣2y﹣1＝0和6x﹣4y+3＝0间的距离是（　　）
A． B． C． D．
2．双曲线＝1的焦点到渐近线的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．若某抛物线过点（﹣1，3），且关于x轴对称，则该抛物线的标准方程为（　　）
A．y2＝﹣9x B．
C．y2＝﹣9x或 D．y2＝±9x
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．
5．在正项等比数列{an}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{an}的公比为（　　）
A．2 B． C．3 D．
6．已知函数f（x）＝f′（1）x2+x+2，则f'（1）等于（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
7．函数f（x）＝xlnx的单调递减区间为（　　）
A． B． C．（﹣∞，﹣e） D．
8．若函数f（x）＝x3+ax2+x（x∈R）不存在极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
（多选）9．已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的（　　）
A．若Sn＝n2+1，则{an}是等差数列
B．若Sn＝3n﹣1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S9＝9a5
D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S1•S3＞S22
（多选）10．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3＝0，a4＝6，则（　　）
A． B．
C．an＝3n﹣6 D．an＝2n
（多选）11．若方程所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（　　）
A．若C为椭圆，则1＜t＜3
B．若C为双曲线，则t＞3或t＜1
C．曲线C可能是圆
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜2
（多选）12．已知函数f（x）＝lnx﹣ax的图象在x＝1处的切线方程为x+y+b＝0，则（　　）
A．a＝2 B．b＝1
C．f（x）的极小值为﹣ln2﹣1 D．f（x）的极大值为﹣ln2﹣1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上.
13．圆x2+y2+2x﹣2y﹣8＝0截直线x+y+2＝0所得弦长为　 　．
14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，，则＝　 　．
15．若函数f（x）＝﹣x2+ax在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是 　 　．
16．若函数f（x）＝x3﹣ax+1在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是 　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）若双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，求此双曲线的标准方程；
（2）过点M（0，1）的直线l交曲线x2＝4y于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
18．（12分）已知数列{an}中，a1＝﹣2，{an}的前n项和为Sn，且数列{Sn﹣n2}是公差为﹣3的等差数列．
（1）求Sn；
（2）求an．
19．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a．
（1）若a＝1，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
20．（12分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
21．（12分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1anan+1．
22．（12分）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．

参考答案与试题解析
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．两平行直线3x﹣2y﹣1＝0和6x﹣4y+3＝0间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将直线6x﹣4y+3＝0的对应项系数化为3x﹣2y﹣1＝0的相同，代入平行线的距离公式中，求出距离．
【解答】解：6x﹣4y+3＝0即为3x﹣2y+＝0，
所以两平行直线3x﹣2y﹣1＝0和6x﹣4y+3＝0间的距离d＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
2．双曲线＝1的焦点到渐近线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为＝1，
其焦点坐标为（±3，0），其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
则其焦点到渐近线的距离d＝＝；
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标．
3．若某抛物线过点（﹣1，3），且关于x轴对称，则该抛物线的标准方程为（　　）
A．y2＝﹣9x B．
C．y2＝﹣9x或 D．y2＝±9x
【分析】利用抛物线的对称性，判断抛物线的形状，然后求解抛物线方程．
【解答】解：抛物线过点（﹣1，3），且关于x轴对称，
设抛物线方程为：y2＝﹣2px，可得9＝2p，
所以抛物线方程为：y2＝﹣9x．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，是基础题．
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．
【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得
a1+a9＝2a5，a1+a5＝2a3，
∴＝＝＝＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则有如下关系S2n﹣1＝（2n﹣1）an．
5．在正项等比数列{an}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{an}的公比为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【分析】正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比．
【解答】解：正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，
a6，3a5，a7依次成等差数列，可得6a5＝a6+a7，
即有6a1q4＝a1q5+a1q6，
化为q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），
则{an}的公比为2，
故选：A．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．已知函数f（x）＝f′（1）x2+x+2，则f'（1）等于（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】对所给的函数求导数，再令x＝1，可得f'（1）的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝f′（1）x2+x+2，∴f′（x）＝2f′（1）x+1，∴f'（1）＝2f′（1）+1，∴f′（1）＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．
7．函数f（x）＝xlnx的单调递减区间为（　　）
A． B． C．（﹣∞，﹣e） D．
【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y＝xlnx的单调递减区间．
【解答】解：函数的定义域为x＞0
∵f′（x）＝lnx+1
令lnx+1＜0得0＜x＜，
∴函数f（x）＝xlnx的单调递减区间是（ 0，），
故选：A．
【点评】本题考查函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围为单调递减区间；注意单调区间是函数定义域的子集．
8．若函数f（x）＝x3+ax2+x（x∈R）不存在极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求函数的导数，因为函数f（x）不存在极值点，所以函数f（x）在R上是单调函数，所以f′（x）≥0在R上恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．
【解答】解：f（x）＝x3+ax2+x的导数为f′（x）＝3x2+2ax+1，
∵函数f（x）不存在极值点，
∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3x2+2ax+1≥0恒成立，
∴Δ＝4a2﹣12≤0，
解得﹣，
即实数a的取值范围是[﹣，]．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
（多选）9．已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的（　　）
A．若Sn＝n2+1，则{an}是等差数列
B．若Sn＝3n﹣1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S9＝9a5
D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S1•S3＞S22
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若Sn＝n2+1，则a1＝s1＝2，a2＝s2﹣s1＝3，a3＝s3﹣s2＝5，则{an}不是等差数列，A错误，
对于B，若Sn＝3n﹣1，则a1＝s1＝2，当n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1＝3n﹣3n﹣1＝2•3n﹣1，综合可得an＝2•3n﹣1，则{an}是等比数列，B正确，
对于C，{an}是等差数列，则S9＝＝9a5，C正确，
对于D，若{an}是等比数列，当q＝1时，则S1•S3﹣S22＝3a12﹣4a12＝﹣a12＜0，D错误，
故选：BC．
【点评】本题考查等比、等差数列的前n项和的性质以及应用，涉及等比、等差数列的性质，属于基础题．
（多选）10．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3＝0，a4＝6，则（　　）
A． B．
C．an＝3n﹣6 D．an＝2n
【分析】根据题意可得，解得a1＝﹣3，d＝3，即可求出通项公式和求和公式．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，设公差为d，
由S3＝0，a4＝6，可得，解得a1＝﹣3，d＝3，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，
Sn＝＝，
故选：BC．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，属于基础题．
（多选）11．若方程所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（　　）
A．若C为椭圆，则1＜t＜3
B．若C为双曲线，则t＞3或t＜1
C．曲线C可能是圆
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜2
【分析】利用方程表示椭圆求解t的范围判断A，表示双曲线求解t的范围判断B；方程是否表示圆，判断C；焦点坐标在x轴时，求出t判断D．
【解答】解：方程所表示的曲线为椭圆时，，解得t∈（1.2）∪（2，3），所以A不正确；
若C为双曲线，（3﹣t）（1﹣t）＞0，解得t＞3或t＜1，所以B正确；
曲线C可能是圆，此时t＝2，所以C正确；
若C为焦点在y轴上的椭圆，t﹣1＞3﹣t＞0，则2＜t＜3，所以D不正确；
故选：BC．
【点评】本题考查圆锥曲线方程的应用，考查计算能力，是基础题．
（多选）12．已知函数f（x）＝lnx﹣ax的图象在x＝1处的切线方程为x+y+b＝0，则（　　）
A．a＝2 B．b＝1
C．f（x）的极小值为﹣ln2﹣1 D．f（x）的极大值为﹣ln2﹣1
【分析】运用导数求切线的方程，再求函数极值．
【解答】解；∵f（x）＝lnx﹣ax，∴．又因为函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为x+y+b＝0，∴，解得a＝2，b＝1，
由，解f′（x）＝0得x＝，当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）极大值＝．
故选：ABD．
【点评】本题考查了导数的运用，求曲线的切线方程及函数的极值，是中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上.
13．圆x2+y2+2x﹣2y﹣8＝0截直线x+y+2＝0所得弦长为　4　．
【分析】由圆的方程可得圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离，由半径，圆心到直线的距离和半个弦长的关系求出弦长．
【解答】解：由圆的方程x2+y2+2x﹣2y﹣8＝0可得圆心坐标为（﹣1，1），半径r＝，
圆心到直线x+y+2＝0的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查圆的一般方程求圆心坐标及半径的孩子，及弦长公式，属于基础题．
14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，，则＝　2n﹣1　．
【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a1+a3＝，
∴，
解得a1＝2，q＝，
∴Sn＝＝，
an＝2×，
则＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．若函数f（x）＝﹣x2+ax在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是 　（﹣2，0）　．
【分析】利用导数求得极值点，即可求解．
【解答】解：∵f′（x）＝﹣2x+a，令f′（x）＝0，可得x＝，
∵函数f（x）＝﹣x2+ax在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，∴﹣1＜＜0，
∴﹣2＜a＜0，
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法，属于中档题．
16．若函数f（x）＝x3﹣ax+1在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，3]　．
【分析】求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．
【解答】解：若f（x）＝x3﹣ax+1在区间（1，+∞）内是增函数，
则f′（x）＝3x2﹣a≥0在区间（1，+∞）恒成立，
即a≤3x2，
∵3x2＞3，
∴a≤3，
实数a的取值范围是：（﹣∞，3]．
故答案为：（﹣∞，3]．
【点评】本题主要考查函数单调性和单调区间的应用，求函数的导数利用导数研究单调性是解决本题的关键．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（1）若双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，求此双曲线的标准方程；
（2）过点M（0，1）的直线l交曲线x2＝4y于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．
【分析】（1）求得椭圆的焦点可得c，进而由渐近线可求得a，b，可求双曲线的标准方程；
（2）设出直线l的方程，与抛物线的方程联立，然后利用焦点弦公式列出关于k的方程，求解即可得到答案．
【解答】解：（1）椭圆焦点坐标为（±2，0），∴c＝2，
一条渐近线方程为，∴＝，
∴a＝1，b＝，
∴双曲线的方程为x2﹣＝1．
（2）根据题意，显然直线l的斜率存在，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去x可得y2﹣（2+4k2）y+1＝0，
所以y1+y2＝2+4k2，
所以AB＝y1+y2+p＝2+4k2+2＝8，解得k＝±1，
所以直线l的方程为y＝x+1或y＝﹣x+1．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查求直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}中，a1＝﹣2，{an}的前n项和为Sn，且数列{Sn﹣n2}是公差为﹣3的等差数列．
（1）求Sn；
（2）求an．
【分析】（1）直接由等差数列的通项公式求Sn；
（2）由an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求解．
【解答】解：（1）由题意，数列{Sn﹣n2}是首项为﹣3，公差为﹣3的等差数列，
则Sn﹣n2＝﹣3﹣3（n﹣1）＝﹣3n，即Sn＝n2﹣3n；
（2）已知a1＝﹣2，
当n≥2时，＝2n﹣4．
验证首项成立，
∴an＝2n﹣4．
【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，是基础题．
19．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a．
（1）若a＝1，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，
函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝﹣1＝，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）极大值＝f（1）＝0，无极小值；
（2）f（x）＝lnx﹣ax+a，定义域是（0，+∞），
f′（x）＝﹣a＝，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，
故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，
a＞0时，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．
20．（12分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3＝12，求出q，得到．然后求出公差d，推出an＝3n﹣2．
（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可．
【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3＝12，得，而b1＝2，所以q2+q﹣6＝0．又因为q＞0，解得q＝2．所以，．
由b3＝a4﹣2a1，可得3d﹣a1＝8．
由S11＝11b4，可得a1+5d＝16，联立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n﹣2．
所以，{an}的通项公式为an＝3n﹣2，{bn}的通项公式为．
（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n﹣2，有，，
上述两式相减，得＝．
得．
所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1anan+1．
【分析】（1）根据题意，列方程组，解得a1和q，然后求出{an}的通项公式；
（2）根据条件，可知a1a2，﹣a2a3，…（﹣1）n﹣1anan+1，是以23为首项，﹣22为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞1），
则，
∵q＞1，∴，
∴．
（2）令bn＝（﹣1）n﹣1anan+1，则b1＝8，
所以＝＝﹣22，
所以数列{bn}是等比数列，公比为﹣22，首项为8，
a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1anan+1
＝23﹣25+27﹣29+…+（﹣1）n﹣1•22n+1，
＝＝．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，前n项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．
22．（12分）设函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；
（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）＝lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）＝﹣a＝，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x＝取得最大值，最大值为f（）＝﹣lna+a﹣1，
∵f（）＞2a﹣2，
∴lna+a﹣1＜0，
令g（a）＝lna+a﹣1，
∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）＝0，
∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，
当a＞1时，g（a）＞0，
∴a的取值范围为（0，1）．
【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．