2022-2023学年宁夏石嘴山市第三中学高一上学期第二次考试数学试题（解析版）

2022-2023-1市三中高一年级第二次月考试卷数学

第I卷（选择题）

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 且，则角是（    ）

A 第一象限角 B. 第二象限角

C. 第三象限角 D. 第四象限角

【答案】D

【解析】

【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案.

【详解】由，可得为第二或第四象限角；

由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角．

∴取交集可得，是第四象限角．

故选：D．

2. 已知幂函数的图象过点，则等于（    ）

A.  B. 3 C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由幂函数的定义可得，将点的坐标代入解析式，计算可得的值，相加即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数为幂函数，则，

若其图象过点，则有，解可得，

则；

故选：．

【点睛】本题考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题．

3. 已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用任意角的三角函数定义进行判断.

【详解】因为角的终边上有一点的坐标为，

所以，故A，B，C错误.

故选：D.

4. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 是偶函数，递增区间是

B. 是偶函数，递减区间是

C. 是奇函数，递减区间是

D. 是奇函数，递增区间是

【答案】C

【解析】

【分析】由奇偶性定义，结合二次函数的单调性以及奇函数的性质作出判断.

【详解】，即函数是奇函数

当时，，函数在上单调递减，在上单调递增

即函数的增区间为和，减区间为

故选：C

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由诱导公式和同角关系可化为，再由同角关系由求出，由此可得结果.

【详解】∵  ，

∴ 

则，

故选：B.

6. 若（a，b为常数）的最大值是，最小值是，则=（    ）

A.  或  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可知为非零常数，因此由分和当两种情况加以讨论，分别建立关于、的方程组，解之可得到、的值，从而得到的值，得到本题答案．

【详解】解：，

时，在时，取得最大值；在时，取得最小值．

联解可得，．此时的值为

当时，在时，取得最大值；在时，取得最小值．

联解可得，．此时的值为

故选：．

7. 记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与值，可得函数解析式，则可求．

【详解】解：函数的最小正周期为，

则，由，得，，

的图像关于点中心对称，，

且，则，．

，，取，可得．

，则．

故选：D．

8. 若，，函数满足，函数，则（    ）

A. 0 B. 6 C. 9 D. 2022

【答案】B

【解析】

【分析】利用赋值法，分别令和得到；由奇函数的定义可判断是上的奇函数，再结合奇函数的性质即可求出的值.

【详解】由题意，将代入，得，

将代入，得，即.

设（），则，

所以是上的奇函数，则；

又，

所以，

故选：B.

二.多项选择题：本属共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列结论正确的是（    ）．

A. 命题“，”是真命题

B. 不等式的解集为

C. “”是“”的充分不必要条件

D. ，

【答案】BC

【解析】

【分析】根据有理数定义可知A错误；由可确定B正确；根据推出关系可得C正确；由时，知D错误.

【详解】对于A，时，；，，原命题为假命题，A错误；

对于B，，的解集为，B正确；

对于C，由得：或，

，，

“”是“”的充分不必要条件，C正确；

对于D，，当时，，D错误.

故选：BC.

10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小值为0 B. 的最小正周期为

C.  D. 是奇函数

【答案】ABC

【解析】

【分析】对选项，结合正弦函数的值域和绝对值直接可得；对选项，根据周期函数的定义可得到即可；对选项，根据正弦函数的单调性，可得；对选项，根据定义判别函数的奇偶性，可得为偶函数.

【详解】对选项，，则，故选项正确；

对选项，，即有：，故选项正确；

对选项，，，由正弦函数在上单调递增，则有：，故选项正确；

对选项，故为偶函数，故选项错误.

故选：

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 的值与的值相等

B. 的值比的值大

C. 的值为正数

D. 关于x的不等式的解集为

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用诱导公式可判断A，利用正弦函数的性质可判断B，利用三角函数的符号可判断C，利用余弦函数的性质可判断D.

【详解】对于选项A，由可知选项A正确；

对于选项B，由及正弦函数的单调性可知B选项正确；

对于选项C，由，，，可知C选项正确；

对于选项D，由余弦函数的图象及，可知关于x的不等式的解集为，故D选项错误．

故选：ABC.

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期为

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数的图象关于点对称

D. 函数在上单调递减

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可；

【详解】解：因为，所以函数的最小正周期，故A错误；

，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；

，所以的图象关于点对称，故C正确；

若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确；

故选：BCD

第II卷（非选择题）

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13. 函数的定义域是_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．

【详解】解：由题意得，解得，

∴函数的定义域为，

故答案：．

14. 若，则用含x代数式表示为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】将指数式化为对数式，再根据对数的运算性质可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：

15. 已知，且，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】结合函数的奇偶性求得的值.

【详解】由，令，

，为奇函数，

，由，得，则

，，．

故答案为：

16. 关于函数的性质，有如下说法：

①若函数的定义域为，则一定是偶函数；

②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；

③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；

④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.

其中正确说法的序号有___________.

【答案】①③④

【解析】

【分析】对于①，根据奇偶性的定义，可得答案；

对于②，根据单调性的定义，可得答案；

对于③，根据奇偶性的性质和图象变换，可得答案；

对于④，根据奇偶性的定义和单调性的性质，化简不等式，可得答案.

【详解】对于①，由题意，的定义域为，，所以为偶函数，故①正确；

对于②，由题意，，，则，

即，由于与零的大小无法确定，故错误；

对于③，由题意，函数的图象关于原点对称，而的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，由原点向右平移个单位得到，故正确；

对于④，为偶函数，，则，即，由在上单调递增，则，

，解得，故正确；

故答案为：①③④.

四､解答题

17. （1）计算；

（2）已知，且是第二象限的角，求.

（3）计算：.

【答案】（1）；（2）；；（3）

【解析】

【分析】（1）根据指数计算规则计算；

（2）根数三角函数同角三角函数的商数关系和平方关系进行计算；

（3）根据诱导公式化简计算.

【详解】（1）；

（2）

根据可得，因为是第二象限的角

所以，则

（3）

18. 已知函数()

（1）用五点法做出该函数在上的图象；

（2）写出函数单调递减区间.

【答案】（1）图象见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）令求得横坐标，描点连线得解；

（2）看图及函数周期性得到函数的单减区间.

【详解】（1）令

则，

五点坐标为

描点连线得；

（2）由图及函数周期性得到函数的单减区间为

19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

（1）若点B的横坐标为－，求tan α的值；

（2）若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；

（3）若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义得到，即可求解；

（2）若为等边三角形，得到，结合终边相同角的表示，即可求解；

（3）根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，求得扇形和三角形的面积，进而求得弓形的面积.

【小问1详解】

解：由题意可得，根据三角函数的定义得.

【小问2详解】

解：若为等边三角形，则，

故与角终边相同的角β的集合为.

【小问3详解】

解：若，则扇形的面积为，

由，

所以弓形的面积为

20. 经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：

未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）.

（1）现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；

（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.

【答案】（1）选择函数模型①，其解析式为（且为整数）   

（2）这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析

【解析】

【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可；

（2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可

【小问1详解】

若选择模型（1），将以及代入可得

解得，即，经验证，符合题意；

若选择模型（2），将以及代入可得，

解得，即，

当时，，故此函数模型不符题意，

因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数）

【小问2详解】

记日销售利润为，

当且为整数时，，

对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元）

当且整数时，，

当时，利润单调递减，

故当时取得最大值，且最大值为（百元）

所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.

21. 已知函数.

（1）若，且，求的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求得，结合即可求解；

（2）根据的范围求得的范围，只需即可求解.

【小问1详解】

因为，所以，即，

又由，得，

所以，解得.

【小问2详解】

对，有，

所以，可得，

所以要使对任意的恒成立，

只需，

所以，解得：.

故所求实数的取值范围为.

22. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数．

（1）当，时，求函数的不动点；

（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；

（3）若的两个不动点为，，且，当时，求实数的最小值．

【答案】（1），4为函数的不动点；   

（2）   

（3）6

【解析】

【分析】（1）由，，得到，再利用不动点的定义求解即可；

（2）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可；

（3）由题意得到，进而得到，利用基本不等式求解即可．

【小问1详解】

解：当，时，，

设为不动点，因此，解得或，

所以，4为函数的不动点；

【小问2详解】

解：因为恒有两个不动点，

即恒有两个不等实根，

整理为，

所以且恒成立，

即对于任意，恒成立，

令，

则，

解得；

【小问3详解】

解：因为，，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，实数的最小值为6．

【点睛】本题考查函数和方程的综合应用，考查学生的计算能力，属于中档题．