宁夏石嘴山市第三中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

石嘴山市第三中学2017-2018学年度高一第一学期期中考试数学试卷

总分：150分    时间：120分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 已知函数的定义域为集合，集合，则（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】函数y=lgx中，x＞0，即A=（0，+∞），∵集合B={x|x2-x≤0}={x|0≤x≤1}=[0，1]，
∴A∩B=（0，1]．
故选：D．

2. 下列各组函数是同一函数的是   （     ）

①与；②f(x)=x与；

③与；④与。

A. ②④    B. ③④    C. ②③    D. ①④

【答案】B

【解析】对于①，∵ 与（x≤0）对应关系不同，不是同一函数；

对于②，f（x）=x值域为R，，值域为，故不是同一个函数；

对于③f（x）=的定义域，=1的定义域，对应关系也相同，是同一函数，故正确．

对于④f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；故正确．
故选：B

3. 若在区间（4，+）上是增函数，那么实数的取值范围是 (      )

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2是开口向上的二次函数，
对称轴为x=1-a，
∴二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在[1-a，+∞）上是增函数，
∵在区间（4，+∞）上是增函数，
∴1-a≤4，
解得：a≥-3．
故选B．

4. 已知幂函数的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（　　）

A. 函数图象经过点（﹣1，1）

B. 当x∈[﹣1，2]时，函数的值域是[0，4]

C. 函数满足 =0

D. 函数的单调减区间为（﹣∞，0]

【答案】C

5. 函数的定义域为（  ）

A. （﹣∞，2）    B. （﹣1，2）    C. （1，2）    D. （2，+∞）

【答案】C

【解析】由题意得：解得：1＜x＜2，
故选：C．

6. 若奇函数在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[-3,-1]上（     ）

A. 是减函数，有最小值0    B. 是增函数，有最小值0

C. 是减函数，有最大值0    D. 是增函数，有最大值0

【答案】D

【解析】由奇函数的性质，因为奇函数在上为增函数，所以奇函数在上为增函数，又奇函数在上有最小值，所以奇函数在上有最大值，故选D.

7. 已知，则的大小关系是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】试题分析：因为，所以可得，故选择C

考点：比较大小

8. 已知，则的值是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】所以= 所以=f（-2）=3−2＝

故选A

9. 设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（  ）

A. [0,1]    B. [1,2]    C. [－2，－1]    D. [－1,0]

【答案】D

【解析】试题分析：函数f（x）在区间[a，b]上有零点，需要f（x）在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f（a）f（b）≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D．

考点：零点存在定理

10. 某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是，则该沙漠地区在该时段的最大温差是（    ）．

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】轴为,所以在递增,在递减;所以 , 所以在该时段的最大温差是43-(-21)=64

故选C

点睛：本题考查了二次函数在闭区间上的最值，由轴与区间的位置关系判断函数的单调性求出最大值最小值即得解.

11. 已知幂函数，若，则的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】∵幂函数的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．
∴若f（a+1）＜f（10-2a），则解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．
故选C：．

点睛：本题主要考查幂函数的性质，根据幂函数的单调性解不等式是解决本题的关键，注意定义域的限制.

12. 若是偶函数，且当∈[0，＋∞)时，，则的解集是(　　)

A. (－1,0)    B. (－∞，0)∪(1,2)    C. (1,2)    D. (0,2)

【答案】D

【解析】根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图．把函数f(x)向右平移1个单位，得到函数f(x－1)，如图，则不等式f(x－1)<0的解集为(0,2)，选D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 函数（的图象必定经过的点坐标为_______________.

【答案】（2,1）

【解析】令x-1=1，解得x=2，求得y=1，故函数的图象经过定点（2，1），
故答案为（2，1）．

14. 函数y=的值域是__________.

【答案】

【解析】令,则.

所以.

函数y=的值域是.

点睛：通过整体换元，将函数化为简单初等函数是常用的一种求值域的方法，本题中注意指数函数的图象是以x轴为渐近线的，容易被学生忽视.

15. 已知是上的增函数，那么的取值范围是___________

【答案】

【解析】因为是上的增函数，所以

故答案为

点睛：本题根据分段函数的单调性，求实数a的取值范围，着重考查了基本初等函数单调性的知识点，注意限制分界点处两个函数值的大小关系.

16. 下列各式：　

（1）;     （2）已知，则；

（3）函数的图象与函数的图象关于y轴对称；

（4）函数的定义域是R，则m的取值范围是;

（5）函数的递增区间为.

正确的有______________________.

【答案】（1）（3）(4)

【解析】对于（1），正确；

对于（2），当时，则1＞或a＞1，命题错误；

对于（4），函数的定义域是R，则mx2+mx+1≥0恒成立，

当m=0时，1≥0成立；

当时，解得0＜m≤4，

所以m的取值范围是0≤m≤4，命题正确；

对于（5），令＞0，解得0＜x＜1，

且二次函数的对称轴是x=，

所以函数的递增区间为（0，]，命题错误．

综上，正确的命题是（1）、（3）、（4）．

三、解答题（共70分）

17. 计算下列各式的值：

（Ⅰ）设，求的值；

（Ⅱ） ．

【答案】(1)14;(2)-1.

【解析】试题分析：（Ⅰ）本题考查了指数幂的运算，对给出的式子进行平方处理即得解（Ⅱ）利用对数运算性质，logaM+logaN=logaMN及换底公式进行化简即得解.

试题解析：

（Ⅰ）因为　所以

即; 则.        

（Ⅱ）

,

.                                 

18. 已知集合，.

（Ⅰ）分别求

（Ⅱ）已知集合，求实数的取值范围

【答案】(1) (2).

【解析】试题分析：（Ⅰ）解指数不等式和对数不等式求出集合A，B，结合集合的交集，交集，补集运算的定义，可得答案．（Ⅱ）分C=和C≠两种情况，分别求出满足条件的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案

试题解析：

（Ⅰ）集合

（Ⅱ）集合

当时，，满足条件；

当时，，则，即，

综上所述，.

19. 已知函数

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）判断的奇偶性。

【答案】(1) ,;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用换元法，可得函数f（x）的表达式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知定义域关于原点对称，再证f（-x）=-f（x），由定义可判断出函数为奇函数．

试题解析：

（Ⅰ）∵

∴，又由得,

 ∴ 的定义域为.                  

（Ⅱ）关于原点对称,

∴为奇函数.

20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（Ⅰ）求当时，函数的表达式；

（Ⅱ）求满足的的取值范围；

【答案】(1) ;(2) 或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当x＜0时，则有-x＞0，故f（-x）=log2（-x）=-f（x），由此求得函数f（x）的解析式．（Ⅱ），

∴

因为，∴或解不等式组求并集即得解.

试题解析：

（Ⅰ）当时，.

（Ⅱ），

∴

因为，∴或

∴或.

21. 已知函数是定义在上的奇函数，且，

（Ⅰ）确定函数的解析式；

（Ⅱ）用定义证明在上是增函数；

（Ⅲ）解不等式.

【答案】(1) ;(2)详见解析;(3) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由f（0）=0，解得b的值，再根据f（1）=，解得a的值，从而求得f（x）的解析式． （Ⅱ）设-1＜x1＜x2＜1，求得f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，可得函数f（x）在（-1，1）上是减函数．（Ⅲ）由不等式＜0，可得f（t-1）＜f（-t），可得关于t的不等式组，由此求得t的范围

试题解析：

（Ⅰ）依题意得 即  得   

.

（Ⅱ）证明:任取，

则

，

又  

 ∴    在上是增函数.

（3）   在上是增函数，

∴, 解得.

点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，用定义证明函数单调性步骤：先在所研究区间上任取，作差，整理成因式乘积的形式，再判号的结论.

22. 已知函数，其中且．

（Ⅰ）当时，求函数的值域；

（Ⅱ）当在区间上为增函数时，求实数的取值范围.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）把a＝代入函数解析式，可得定义域为R，利用配方法求出真数的范围，结合复合函数单调性求得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）对a＞1和0＜a＜1分类讨论，由ax2-x+1在上得单调性及ax2-x+1＞0对x∈恒成立列不等式组求解a的取值范围，最后取并集得答案．

试题解析：

（Ⅰ）当时，真数恒成立，

故定义域为，

又∵真数，且函数在单调递减

∴，即函数的值域为.

（Ⅱ）依题意可知，

i）当时，由复合函数的单调性可知，必须在上递增，且对恒成立,

故有解得：.

ii）当时，由同理必须在上递减，且对恒成立

故有解得：

综上，实数的取值范围为.

点睛：本题考查复合函数的单调性，考查了复合函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，对数型复合函数的单调性要注意定义域大于0的限制.