2022-2023学年广东省普宁市华侨中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省普宁市华侨中学高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则＝（ ）
A．{－1}B．{－1，0}C．{－2，－1，0}D．{－1，0，1}
【答案】A
【分析】化简集合，根据交集的定义求.
【详解】不等式的解集为，所以，
又，所以，
故选：A.
2．计算（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接进行复数的四则运算，即可得到答案.
【详解】.
故选：D
3．已知，则它们的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数、指数函数的性质判断大小关系.
【详解】由，
所以.
故选：B
4．过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程.
【详解】解：两直线：，：的交点为
解得，即；
设与平行的直线方程为
则
解得
所求的直线方程为.
故选：D
【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题.
5．在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出轴截面，过点作，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可.
【详解】解：作出轴截面如图所示，过点作，垂足为，
因为正四棱台中，
所以，，，即梯形为等腰梯形，
所以，，
所以，该四棱台的体积为
故选：B
6．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2B． C．2或D．2或
【答案】D
【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，
故选：D
7．圆：与圆：外切，则m的值为（ ）
A．2B．－5C．2或－5D．－1或－2
【答案】C
【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解的值.
【详解】由圆：与圆：，
得，，圆的半径为3，圆的半径为2，
因为两圆外切，所以，化简得，
所以，所以或，
故选：C.
8．三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，在中，利用正弦定理和余弦定理，求得所在小圆的半径，再根据平面，利用勾股定理求得球的半径即可．
【详解】由题意，设所在小圆的半径为，且，
在中，由余弦定理得，
所以
又由正弦定理得 ，
又因为平面，且，
设球的半径为，
所以，
所以，
所以球的表面积为，
故选：D．
二、多选题
9．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点（1，1）B．若直线与轴的夹角为30°，则或
C．直线的斜率可以等于0D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
【答案】ABD
【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误；.
【详解】直线的方程可化为，所以直线过定点，故A选项正确；
∵直线与轴的夹角为30°，
∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为，
∴或，∴或，故B选项正确；
当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，不可能等于0，故C选项错误；
当时，直线，在轴上的截距不存在，
当时，令，得，令，得，
令，得，故D选项正确．
故选：ABD．
10．已知的图象关于点对称，相邻两条对称轴的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称
C．函数在上的单调递减区间为
D．为了得到的图象，可以将函数的图象向右平移个单位
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性可得函数的周期，即可求得，利用再根据函数的对称中心可求得，即可判断A；求出平移后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性可判断B；根据正弦函数的单调性可判断C；根据平移变换的原则可判断D.
【详解】解：因为相邻两条对称轴的距离为，故周期为，则，
图象关于点对称，则，因为，所以，A错；
，
将函数的图象向右平移个单位长度后得，该函数是偶函数，图象关于y轴对称，B正确；
令，得，
所以函数在上的单调递减区间为，C正确；
为了得到的图象，应该将函数的图象向右平移个单位，D错．
故选：BC.
11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】BD
【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；
根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；
利用向量夹角公式计算可知C错误；
根据法向量的求法可知D正确.
【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；
对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；
对于C，，，
即和夹角的余弦值为，C错误；
对于D，设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为，D正确.
故选：BD.
12．在长方体中，O为与的交点，若，则（ ）
A．
B．
C．三棱锥的体积为
D．二面角的大小为
【答案】BCD
【分析】由题意，根据长方体的结合性质，结合线面垂直判定定理以及二面角的平面角定义和三棱锥的体积公式，可得答案.
【详解】连接．因为，所以，
又易证平面，所以，所以，
所以为二面角的一个平面角．
在中，，
因为在中，，，所以，
所以二面角的大小为．．
故选：BCD．
三、填空题
13．某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为____________.
【答案】
【分析】根据平均数和方差的计算方法可列出关于和的方程组，解之即可．
【详解】平均数为，即①，
方差为，
即②，
由①②解得，或，，
所以当，时，；当，，
故答案为：．
14．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______．
【答案】
【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．
【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，
故该密码被成功破译的概率．
故答案为：．
15．设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则_________.
【答案】－1或3
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，利用圆的弦长公式列方程求解即可.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，直线的一般方程为，所以圆心到直线的距离，因为，所以，化简可得，解得或
故答案为：-1或3.
16．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据题意，函数有两个不同的零点，等价于与的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.
【详解】由函数有两个不同的零点，
可知与的图象有两个不同的交点，
故作出如下图象，
当与的图象相切时，，即，
由图可知，故相切时，
因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，
即当时，函数有两个不同的零点.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求在区间［0，］上的最值.
【答案】(1)（kZ）
(2)最大值为1，最小值为-.
【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.
【详解】（1）=.
因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ），
令（kZ），得（kZ）.
所以的单调递增区间为（kZ）.
（2）因为x∈［0，］，所以2x＋.
当2x＋=，即x＝时，最大值为1，
当2x＋=，即x＝时，最小值为-.
18．已知的顶点．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程；
(3)的中位线与边平行，求所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出BC边所在直线的斜率，则BC边上的高所在直的斜率可求，由点斜式写出直线方程；
（2）求出BC的中点，由两点式求出BC边上中线所在直线的斜率，由点斜式写出方程.
（3）求出AC的中点，求出BC的斜率，由点斜式即可写出方程.
【详解】（1）三角形的三个顶点是．
所以BC斜率为：，所以BC边上的高AD的斜率为：，BC边上的高AD所在直线的方程为：，即；
（2）顶点是则其中点，所以中线AP所在直线直线斜率，
所以中线AP所在直线方程为：，即.
（3）求出的中点，求出BC的斜率为：，由点斜式即可写出方程,即
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;
（2）先利用余弦定理及基本不等式得到，然后根据三角形两边之和大于第三边，即可求出周长的取值范围..
【详解】（1）由，又，
由，则.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）由余弦定理得，
∴，得，当且仅当时取等号．
又，（三角形任意两边之和大于第三边）
∴，
∴周长的取值范围为．
20．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；
（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出直线斜率，即可求解.
【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；
（2）设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；
当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，
故直线l的方程为或.
21．在三棱锥中，底面，，，，
(1)证明：；
(2)求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）∵，，，
∴，即，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）如图以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，令，则，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
22．已知圆.
(1)若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；
(2)若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
【答案】(1)见详解；
(2)的面积的最大值为，此时直线方程为或.
【分析】（1）只要证明直线过圆内一点即可；
（2）根据题意，故设直线方程，可得圆心到直线的距离，又，代入，利用函数求最值即可得解.
【详解】（1）转化的方程
可得：，
由，解得，
所以直线恒过点，
由，
故点在圆内，
即直线恒过圆内一点，
所以无论为何值，直线都与圆相交；
（2）由的圆心为，半径，
易知此时直线斜率存在且不为，
故设直线方程，
一般方程为，
圆心到直线的距离，
所以
所以，
令，
可得，当时，
所以的面积的最大值为，
此时由，解得，
解得或，符合题意，
此时直线方程为或.