2023届四川省南江中学高三上学期12月阶段考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届四川省南江中学高三上学期12月阶段考试数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】首先判断直线为曲线的切线，再结合集合含义，得出只有一个元素，从而求解.
【详解】由题知，，在点处的切线斜率为，则在处的切线方程为.
因为直线与曲线相切于点，有且只有这一个公共点，故中有且只有一个元素，
所以的子集个数为2个．
故选:B．
2．已知复数z满足，则等于（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算可求得，再结合的周期性运算求解.
【详解】由题意可得：，
可得：，则
故．
故选：B．
3．已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（ ）
A．252B．C．210D．
【答案】B
【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解
【详解】由的展开式中二项式系数的和是1024，故，所以．
由二项式定理得展开通项为，
当时为常数项，
故选：B
4．已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先由两直线垂直得到渐近线斜率，则根据，即得离心率的值.
【详解】与直线l：垂直的双曲线C：的渐近线方程为，
故，则双曲线的离心率．
故选:．
5．的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】采用切化弦的方式，结合辅助角公式可化简原式为，根据对数运算法则可求得结果.
【详解】.
故选：A.
6．已知，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据对数运算可求得，再用基本不等式即可求得最小值.
【详解】由已知得，.
因为，所以.
故.
当且仅当，即时等号成立.
所以，的最小值为3.
故选：C．
7．一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面圆周长可构造方程求得圆锥底面半径，由此可确定圆锥轴截面为正三角形，求得正三角形内切圆半径即为所求内切球半径，代入球的表面积公式即可得到结果.
【详解】设圆锥底面半径为，则，解得：；
圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
此正三角形内切圆的半径为，即圆锥内切球半径，
圆锥内切球的表面积.
故选：C.
8．一个袋子中有3个红球和n个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．若取出的2个球都是红球的概率为，则n为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由古典概型的概率公式列式求解，
【详解】在个球中有个红球，采用不放回方式依次随机取2个球，
都是红球的概率为，解得，
故选：C
9．已知平面向量满足，，与的夹角为，当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，，根据向量模长坐标表示可求得点轨迹，由可确定最大值.
【详解】，，与的夹角为，可设，，
设，由得：，
则点轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，当时，取得最大值.
故选：B.
10．已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（ ）
[附：若，则，
．]
A．0.1359B．0.1587C．0.2718D．0.3413
【答案】A
【分析】根据已知条件可求出，则.根据正态分布的对称性，即可求得.
【详解】使在R上单调递增的充要条件是，即，故.
由于随机变量，则，即，即，.
故，
，
所以
．
故选：A．
11．设，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为
A．B．
C．（1，3）D．（3，+）
【答案】A
【详解】试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A．
【解析】简单线性规划的应用.
【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．
12．已知在R上为单调递增函数，过点且平行于y轴的直线与函数的图象的交点为P，函数在点P处的切线交x轴于点B，当a变化时，的面积最小时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由导数的几何意义求切线方程后得点坐标，将的面积表示为的函数，由导数判断单调性后求解，
【详解】在R上为单调递增，则，
由已知得，，，，
曲线在点P处的切线方程为，令得，
故可得．所以的面积
∴．
当时，，当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．
所以时，有最小值，故此时．
故选：D
二、填空题
13．若将正整数集中的偶数从小到大排列，它的前n项和为，则的前2023项的和为_____________．
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式求得，再利用裂项相消法求和.
【详解】由题意可得：，则，
故．
故答案为：.
14．马老师从课外资料上抄录了一个随机变量的分布列如下表：
请小牛同学计算随机变量的数学期望尽管“”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能判定这两个“”处的数值相同，据此，小牛同学给出了正确答案．即______．
【答案】
【分析】根据概率和为，可设，得到，由数学期望公式可求得结果.
【详解】设，则，.
故答案为：.
15．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：T）和年利润z（单位：千元）的影响．对近10年的年宣传费和年销售量的数据作了初步处理，得到y关于x的回归方程．且这种产品的年利润z与x、y的关系为；则年宣传费x为_____________时年利润的预报值最大．
【答案】46.24（千元）
【分析】利用回归直线方程以及z与x、y的关系即可求解.
【详解】由已知，且，
故，当，即时，
z有最大值66.36．
故答案为：46.24（千元）
16．已知抛物线C：的焦点为F，点N是抛物线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则的最大值为_____________．
【答案】
【分析】首先利用抛物线定义，将转化为，然后通过三角函数分析，去求抛物线的切线方程，从而求解最小值.
【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足记为.
由已知得，，根据抛物线的定义知，点M到焦点F的距离等于点M到准线的距离．故．在直角△MNH中，表示的倒数，故求的最大值转化为求的最小值，此时，也最小值．而的最小值就是曲线在点M处切线过N点时的斜率．由得，故曲线在点处的方程为：．而点在此切线上，故有，则，取，此时切线斜率为：．故切线的倾斜角为45°，即．∴，故所求的最大值为．
故答案为：
三、解答题
17．已知等比数列的前n项和为，且对，恒成立，，．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)设，求证：．
【答案】(1)，，（）；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意解出、，再利用等比数列通项公式以及求和公式即可.
（2）首先求出，再利用裂项相消求和，结合的范围即可证明.
【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为q，
由，，则，故．
由得，解得
∴，．（）
（2）由（1）可知，，故
∵，，则
∴．故命题得证.
18．已知．
(1)求的最小正周期和最大值；
(2)在△ABC中，三个内角满足，角A满足，，ABC的面积为，求证：ABC是直角三角形．
【答案】(1)最小正周期为，最大值为3；
(2)证明见解析．
【分析】(1)由二倍角公式和辅助角公式把函数化简为，应用周期公式和值域性质即可得解.
（2）先有结合（1）得到角，再由面积公式计算得到，再应用余弦定理得到，由勾股定理得证.
【详解】（1）由已知得
故的最小正周期为，最大值为3．
（2）在ABC中由知：A为锐角，即，且，
由知．
由知．
故，即．，
由ABC的面积为，则，故．
由余弦定理，得，故，则．
∵，，
∴，∴
∵
∴，
故ABC是以B为直角的直角三角形．
19．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，为底面的边的中点，且平面．
(1)设为上底面的重心，试在平面内作出过点与平面平行的直线，并说明理由；
(2)证明：（1）中的直线平面．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；
（2）根据线面垂直的判定定理分析证明.
【详解】（1）证明：在平面内，过作与平行的直线，交、于、两点，
则平面，理由如下：
在三棱柱中，，，则，
因为平面，平面，平面．
（2）证明：在底面正三角形中，为的中点，则．
∵平面，平面，则．
因为，平面， ∴平面．
又∵，∴平面．
20．若的图象过点，且在点P处的切线方程为．
(1)求a、b、c的值；
(2)设，求证：．
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式运算求解；（2）构建新函数，，利用导数判断原函数单调性及最值证明.
【详解】（1），则，
由题意可得：，解得.
（2）由（1）可知：，，
设，则，
∵，令，则，
当时，，因此在内为减函数，
当时，，因此在内为增函数，
故当时，有极小值，也就是的最小值为．
∵，可得，
∴．
设，则，
当时，则，，因此在上为减函数，
∵，则，即，
∴．
综上所述：当时，有．
【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤：
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数h(x)；
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
21．已知点E、F的坐标分别为、，直线EP和FP相交于点P，且它们的斜率之积为．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过定点任作一条与两坐标轴都不垂直的直线与轨迹C相交于A、B两点，求证；在x轴上存在一个定点M，使得MG为的一条内角平分线，并求点M的坐标．
(3)设过点M与x轴垂直的直线为l，轨迹C上任一点N到点G的距离与点N到直线l的距离之比是否是定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；；
(3)是定值．
【分析】（1）由斜率公式列式求解，
（2）由题意得，设出直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理化简后求解，
（3）设点坐标，由距离公式与椭圆方程化简求解，
【详解】（1）设点，由已知得：，
∴，即①
故P的轨迹方程为
（2）设过点的直线方程为②
把②代入①，整理得：，
设，，则、是方程的两实根，
由韦达定理得，，
设，由已知直线AM的斜率与直线BM的斜率之和为0，
故，即，
∴，
则．代入得：．
故，即．
（3）设在椭圆上，则，
则点N到直线：的距离为．
点N到的距离为
故点N到的距离与点N到直线l：的距离之比为，是定值．
22．已知曲线C：和直线l：（t为参数）．
(1)求曲线C的参数方程和直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．
【答案】(1)曲线C的参数方程为（为参数）；直线l的普通方程为；
(2)最大值为，最小值为．
【分析】（1）令，即可得到椭圆的参数方程；消去，即可得到直线的普通方程；
（2）根据参数方程，表示出点到直线的距离，再表示出，根据辅助角公式，即可求出的最值.
【详解】（1）令，可得曲线C的参数方程为（为参数）．
根据消去可得，直线l的普通方程为．
（2）曲线C上任意一点到直线l：的距离为，其中，且为锐角．
过点作，垂足为，则，.
在中，，其中，且为锐角．
当时，取得最大值为．
当时，取得最小值为．
23．（1）已知，若时不等式成立，求a的取值范围；
（2）已知，，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）当时，原不等式可化为，去绝对值为.分、、讨论即可求得a的取值范围；
（2），根据基本不等式可得到，即可证得．
【详解】（1）当时，，
等价于，
故，即，
当时，．
若，成立，即在恒成立，
只需即可，所以有，故；
当时，由可得，这与矛盾，此时无解；
当时，可化为，显然该式不成立，即不等式不成立．
综上，a的取值范围为．
（2）由，
，，知，
当且仅当，且时，即时等号成立.
所以，，
又，
所以．
∵，
∴，即．
∴．