江苏省盐城市第一中学2023届高三数学上学期学情调研试题（Word版附解析）

盐城一中2022-2023学年第一学期高三年级学情调研（二）

数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应的位置上）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数不等式以及一元二次不等式计算方法得到集合，然后根据并集的概念计算即可.

【详解】由题可知：，

所以

故选：C

2. 函数的大致图象为

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果.

【详解】因为是奇函数排除，且当时，.

故答案为A.

【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.

3. 已知向量，满足，，，若，则实数的值为（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的运算即可求出结果.

【详解】因为，所以，

依题意，则，

故选：C.

4. 已知函数的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义求出，从而可得，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值.

【详解】函数，则

且，所以，

所以，解得，

所以，（）

，

令，即，解得，

令，即，解得，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以.

故选：C

5. 已知，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意，利用分离参数法求出，求函数的最小值，即可求得的取值范围.

【详解】因为，所以.

即：

因为存在使不等式成立，

所以.

即：的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，通过分离参数法，将不等式恒成立问题转化成求函数最值问题，属于中等题目.

6. 若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ）

A. 或或 B. 或

C.  D. 不存在这样的实数

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意函数的极值点在区间上，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：

，

令，解得，或，所以当或时，

当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，

即函数极值点为，

若函数在区间上不是单调函数，

则或，

所以或，

解得或

故选：B．

7. 的定义域是，其导函数为，，其导数为，若，且（其中是自然对数的底数），则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据得到的单调性，即可判断ABD，由，求出，即可判断C.

【详解】因为，所以由可得，由可得

所以在上单调递增，在上单调递减

所以，，故A、B错误

，所以，即，所以D正确

因为，，所以，解得，故C错误

故选：D

8. 已知函数，则、、大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，分析函数在上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、的大小，并比较与的大小，结合函数的单调性可得出结论.

【详解】因，

对任意的，

，

所以，函数的图象关于直线对称，则，

当时，，

因为二次函数在上为增函数，且，

所以，函数、在上为增函数，

所以，函数在上为增函数，

令，其中，则，

故函数在上为减函数，所以，，即，

所以，，所以，，

又因为，即，所以，.

故选：A.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A. ，，若与共线，则

B. 已知，．若与垂直，则

C. 若点为的重心，则

D. 平面上三点的坐标分别为，，，若点与A，B，三点能构成平行四边形的四个顶点，则的坐标可以是

【答案】ACD

【解析】

【分析】由向量共线的坐标表示求得判断A，由垂直的向量表示计算求得，再求出向量的模判断B，根据三角形重心的性质与向量的线性运算计算后判断C，分类讨论求得点坐标判断D．

【详解】A．若与共线，则，，A正确；

B．若与垂直，则，，

则，B错；

C．点为的重心，设延长线交于，则是中点，

，，

同理，，

∴，C正确；

D．设，

若是对角顶点，则，，即，

若是对角顶点，则，，即，

或是对角顶点，则，，即．

D正确．

故选：ACD．

10. 已知，，则（    ）

A.      B.      C.      D.

【答案】AD

【解析】

【分析】因为，，所以，由均值不等式可判断A；由可判断B；由，由均值不等式可判断C；，令，则，令，对函数求导，得到函数的单调性，可判断D.

【详解】因为，，所以，选项A：因为，所以，

当且仅当时等号成立，故正确；

选项B：因为，

当且仅当时等号成立，故不正确；

选项C：因为，

所以，当且仅当时等号成立，故不正确；

选项D：，令，则，

令，所以，所以

在上单调递增，所以，所以，故D正确.

故选：AD.

11. 已知函数，，下列结论正确的是（    ）

A. 函数在上单调递减

B. 函数的最小值为2

C. 若，分别是曲线和上的动点，则的最小值为

D. 若对恒成立，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】由求得在上恒成立，则在上单调递增，结合判定A；根据，存在，结合单调性，求得判定B；由曲线与、与的切点判定C；化为，设得到在上单调递增，进而，设，利用导数求得函数的单调性与最值判定D．

【详解】由，则，得在上恒成立，则在上单调递增，

而，故在上恒成立，即在上单调递减，故A正确；

因为，故存在，使，则，解得，

当时，即单调递减，

当时，即单调递增，

所以，因为，所以，故B错误；

与相切于，与相切于，则的最小值为，故C正确；

若对恒成立，

则对恒成立，即，

设，易知在上单调递增，

则化为，即，

设，易知在上单调递减，在上单调递增，

当时，则，解得，

又，所以，故D正确．

故选：ACD．

12. 已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】由是偶函数得出是奇函数，然后在已知式中对自变量赋值求解．

【详解】是偶函数，则，两边求导得，

所以是奇函数，

由，，得，

即，所以是周期函数，且周期为4，，

在，中令得

，，A正确；

没法求得的值，B错；

令得，，，则，无法求得，同理令得，，，

因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；

在中令得，，在中令得，，两式相加得，即，D正确；

故选：AD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.把答案填写在答题卡相应位置上）

13. 已知函数，若f [ f ( - 1 ) ] = 4 ，且a > - 1 ，则 a=______.

【答案】1

【解析】

【分析】利用分段函数的性质求解.

【详解】解：因为函数，

所以

又因为a > - 1 ，

所以，

所以，

则，

解得，

故答案为：1.

14. 在中，，，为的重心，则________．

【答案】6

【解析】

【分析】根据三角形重心的性质转化为，以及，再求数量积.

【详解】如图，点是的中点，

为的重心，，，

所以

故答案为：6

【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.

15. 已知函数（且），若不等式的解集为，则a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由得到a取不同值时x的范围，由的解集为得到及，即可得出答案.

【详解】若，则，即，

当时，，当时，.

由的解集为，得，，

故，所以解得，

又因为，所以，又，所以.

故答案为：

16. 已知函数，若直线与曲线相切，求最大值_____________.

【答案】

【解析】

【分析】先利用直线与曲线相切得到，所以.

设，利用导数讨论单调性，求出g(a)的最大值.

【详解】设直线y=x与曲线相切于点.

因为，所以，所以.

又因为P在切线y=x上，所以，

所以，

因此.

设，则由，

令，解得：；令，解得：；

所以g(a)在上单调递增，在上单调递减，

可知g(a)的最大值为，所以ab的最大值为.

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，函数的定义域为．

（1）若求集合；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）对数的真数大于零；（2）按与的大小分类讨论求解.

【详解】（Ⅰ）由，得，

故集合；

（Ⅱ）由题可知，

①若，即时，，

又因为，所以，无解；

②若时，显然不合题意；

③若，即时，，

又因为，所以，解得．

综上所述，．

【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算. 求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、中.

18. 已知，

（1）求的值；

（2）求与的夹角.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果，

（2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可

【小问1详解】

因为，，

所以，，得，

所以

【小问2详解】

因，

，

所以，

因为，

所以，

即与的夹角为

19 已知函数.

（1）若为偶函数，求的值；

（2）若函数在上有2个不同的零点，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由函数为偶函数，得到，进而得出，即可求得实数的值；

（2）令，整理得，根据函数在上有2个不同的零点，得到，，结合定义域，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数为偶函数，则，即.

整理得，所以.

（2）因为函数，

令，可得，整理得，

即，

由函数在上有2个不同的零点，

所以，，且，，

解得或，

所以的取值范围为.

20. 已知函数．

（1）求不等式解集；

（2）若的最小值为m，且对任意正数a，b满足a＋b=m，求的最小值．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）分类讨论x的取值范围，即可求得答案；

（2）求出的最小值，可得 ，即，将变为，结合基本不等式，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意，，

当时，， 解得 ，

当时， ，无解，

当时， ，解得，

故不等式的解集为或；

【小问2详解】

由（1）可知：

当时，，

当时， ，

当时， ，

故 的最小值为3，即 ，则 ，即

则，

当且仅当 时取等号，

故的最小值为.

21. 函数.

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）若任意，对任意，总有不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】（1）当时，利用二次函数的性质，求得在区间上的值域；

（2）首先求得在区间上的最大值和最小值，由此得到对任意，不等式恒成立，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】（1）当时，

，

对称轴

，

，

∴函数在上的值域为.

（2）∵，

∴对称轴，

∴在区间上单调递增，

∴，

，

∴，

即对任意，不等式恒成立，

设，

由于在区间上恒成立，所以

则，即，

解得或.

【点睛】本小题主要考查二次函数在闭区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解，属于难题.

22. 已知函数f（x）＝ex（lnx+a）．

（1）若f（x）是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：x1+x2＞2．

【答案】（1）[﹣1，+∞）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导，由f（x）是增函数，转化为f′（x）≥0对任意x＞0恒成立，即恒成立，构造新函数，求导得单调性，求出最小值，得到a的取值范围.

(2)设出两个极值点，即两个极值点是的两个零点，要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1，只需证g（x2）﹣g（2﹣x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1）＞0，设，求导，证h（x）在（0，1）上单调递减，从而得到g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x2＞2﹣x1成立，即x1+x2＞2成立．

【小问1详解】

函数的定义域为，

若f（x）是增函数，即f′（x）≥0对任意x＞0恒成立，故恒成立，

设，则，

所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

所以当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝a+1，由a+1≥0得a≥﹣1，

所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．

【小问2详解】

不妨设0＜x1＜x2，因为x1，x2是f（x）的两个极值点，

所以，即，同理，

故x1，x2是函数的两个零点，即g（x1）＝g（x2）＝0，

由（1）知，g（x）min＝g（1）＝a+1＜0，故应有a∈（﹣∞，﹣1），且0＜x1＜1＜x2，

要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1，

只需证g（x2）﹣g（2﹣x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1）

，

设，

则，

所以h（x）在（0，1）上单调递减，因为x1∈（0，1），所以h（x1）＞h（1）＝0，

即g（x2）﹣g（2﹣x1）＞0，g（x2）＞g（2﹣x1），

又x2＞1，2﹣x1＞1，及g（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以x2＞2﹣x1成立，即x1+x2＞2成立．