2023届广东省梅州中学高三上学期12月阶段考数学试题（解析版）

这是一份2023届广东省梅州中学高三上学期12月阶段考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的表示求得集合，按照集合的并集运算即可.
【详解】解：由已知有，
所以.
故选：C.
2．已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法法则计算出，从而求出共轭复数.
【详解】因为，所以，
故.
故选：D
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的余弦公式以及诱导公式可求得结果.
【详解】.
故选：A.
4．已知空间中的两个不同的平面，，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】两个不同的平面，，直线平面，
当时，或，不充分；当时，，必要.
故选：B.
5．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式.
【详解】由平面六面体法则可知，
.
故选：B.
6．已知函数，给出四个函数①|f（x）|，②f（-x），③f（|x|），④-f（-x），又给出四个函数的大致图象，则正确的匹配方案是（ ）
A．甲-②，乙-③，丙-④，丁-①B．甲-②，乙-④，丙-①，丁-③
C．甲-④，乙-②，丙-①，丁-③D．甲-①，乙-④，丙-③，丁-②
【答案】B
【解析】根据题意，求出函数的导数，分析函数的单调性，可以得到的草图，结合函数图象变化的规律分析四个函数对应的图象，即可得答案．
【详解】根据题意，函数，其导数，
在区间上，，为增函数，且，
在区间上，，为减函数，且（3），其简图如图：
对于①，有，其图象全部在轴上和轴上方，对应图象丙，
②，其图象与的图象关于轴对称，对应图象甲，
③，有，为偶函数，对应图象丁，
④，其图象与的图象关于原点对称，对应图象乙，
故选：．
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
7．已知双曲线的离心率等于2，，分别是C的左、右焦点，A为C的右顶点，P在C的渐近线上且，若的面积为，则C的虚轴长等于（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】利用已知条件求出P的坐标，结合双曲线的离心率以及三角形的面积，求解b即可.
【详解】如图，
双曲线的离心率等于2，①
设F1，F2分别是C的左、右焦点,
双曲线在一三象限的渐近线的斜率为: ②
A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且,
所以，的面积为3a,
可得，③，
解①②③可得b=2,
所以C的虚轴长等于4.
故选: D
8．已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，转化为解集中恰有两个正整数，利用数形结合建立不等式求解即可.
【详解】因为的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，
所以的解集中恰有两个正整数，
由可得， ，
令，则，，单调递增，
，单调递减，
作出函数与的图象如图，
当恰有两个正整数解时，即为1和2，
所以，
故选： C
【点睛】本题以解不等式为载体,要求考生抓住函数图象和性质的本质,建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，属于难题.
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递减
C．使取得最小值的的集合为
D．的图象可由曲线向右平移个单位长度得到
【答案】CD
【分析】利用余弦型函数的周期性可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的最值可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，当时，，所以，函数在区间上不单调，B错；
对于C选项，当取最小值时，，解得，
所以，使取得最小值的的集合为，C对；
对于D选项，因为，
所以，的图象可由曲线向右平移个单位长度得到，D对.
故选：CD.
10．己知数列满足，则下列结论中确的是（ ）
A．B．为等比数列
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用递推式可求得的值，可判断A，B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C; 将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D;
【详解】，则 ，又 ，
同理 ，故A正确；
而 ，故不是等比数列，B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
11．已知正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，下列说法中正确的是（ ）
A．当为线段中点时，S为等腰梯形
B．当时，S与的交点满足
C．当时，S为六边形
D．三棱锥的体积为定值
【答案】ABD
【分析】通过空间想象结合图形可判断AC；建立空间直角坐标系，利用向量共面可得G点坐标，可判断B；根据三棱锥与三棱锥等体积，结合图形可知.
【详解】A中，当为线段中点时，易知，
所以，截面S为梯形，A正确；
如图建立空间直角坐标系，则，设，
因为四点共面，所以共面，
所以存在x，y使得
即，即，
解得，所以，B正确，
如图，当时，设，
在平面内作，交于点H，在平面作，交于点G，
则
由得，得
所以，A、E、F、G、H五点共面，即截面为五边形AEFGH，故C错误；
由图知，，D正确.
故选：ABD
12．已知函数的定义域为，，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，都有
C．关于点对称
D．若，则
【答案】BCD
【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性、周期性进行求解即可.
【详解】A：在等式中，令，则有
，或，所以本选项不正确；
B： 由上可知：，或，
当时，在等式中，令，
则有，
当时，在等式中，令，
，即，
综上所述：，都有，所以本选项正确；
C：在等式中，令，
得，即，所以关于点对称，因此本选项正确；
D：因为，
所以，而，
所以，
因此，所以函数的周期为，
在等式中，令，
则有，
因为，所以，因此，即，
，，于是，
在等式中，令，
则，
，
，
，
所以有当为正奇数时，，
于是有
因此本选项正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：利用函数的周期性是解题的关键.
三、填空题
13．已知函数（e是自然对数的底数），则曲线在处的切线方程是__________．
【答案】
【分析】根据函数解析式求切点坐标，由导数的几何意义求处切线的斜率，写出切线方程即可．
【详解】依题意，由，得，即切点；
又，则曲线在点处切线的斜率，
∴切线方程为，即．
故答案为：
14．若展开式中的系数为2，则__________.
【答案】1
【分析】根据二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可.
【详解】设二项式的通项公式为，
因为展开式中的系数为2，
所以有，
故答案为：1
15．已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则_____________.
【答案】
【分析】根据条件解得等比数列公比，再根据等比数列通项公式化简所求式子，最后代入公比值得结果.
【详解】设等比数列的公比为，由，，成等比数列，得，即，所以.因为，所以，解得．又等比数列中各项都是正数，所以，所以．所以.
【点睛】本题考查等差中项与等比数列性质，考查基本求解能力，属基础题.
16．单位圆中，为一条直径，为圆上两点且弦长为，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题设，再根据数量积坐标运算计算即可.
【详解】解：如图，由弦长为，可得，
不妨设，
则，
所以
.
故答案为：.
四、解答题
17．已知数列为非零数列，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据递推公式，分当时和时，进行求解即可；
(2)由（1），则，然后利用分组求和的方法即可求解.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由，
得，
两式相除得：，即，
当时，也满足，
所以.
（2）由（1）可知，，所以，
所以
.
18．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．
（1）当cs＝时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cs∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．
（2）由（1）得：BD2＝14﹣6csθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时csφ，sinφ，从而可求BD的值．
【详解】（1）在中，由，
得，又，∴．
∵ ∴
由得：，解得：，
∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴且
∴
在中， ，
解得：
（2）由（1）得：，

，此时，，且
当时，四边形的面积最大，即，此时，
∴，即
答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．
【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.
(1)求证：；
(2)若平面与平面所成的角为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得出AD⊥CD，AD⊥，即可证明AD⊥平面，再由线面垂直的判定定理即可证明；
（2） 取的中点，以为正交基底建系，设，写出各点坐标，分别求出平面与平面的法向量，根据它们所成的锐二面角的大小为，利用夹角公式列出方程可求出，再由体积公式结合等体积法即可得出答案..
【详解】（1）证明：因为底面ABCD和侧面都是矩形，
所以AD⊥CD，AD⊥，
又CD∩＝D，CD，⊂平面，
所以AD⊥平面，又⊂平面，
所以.
（2）取为的中点，连接，因为AD⊥平面，
又⊂平面，所以，
又因为，所以，
又AD∩＝D，AD，⊂平面，
所以平面，
取的中点，为的中点，底面是矩形，
所以,以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示:
设，则，，，，，
，设平面的法向量，，．
由可得：，
令可得，，所以，
设平面的法向量，，．
由可得，，令可得，所以
由于平面与平面所成的锐二面角的平面角为，
所以，
可得：，则，
解得．
因为AD⊥平面，，所以平面，
又因为，所以平面，平面，
所以平面，
所以
.
20．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；
(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；
(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)；
(3)分布列答案见解析，.
【分析】（1）由图可知组整体数值比组小；
（2）利用古典概型及排列组合即可求出“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率”；
（3）依题意，可得该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；可知的所有可能值为，，，分别求出相应的概率，由此求出随机变量的分布列和数学期望.
【详解】（1）；
由图可知，“实际平均里程续航数”在附近或小于的组有个，组有个，且组这些数据整体大于组；
“实际平均里程续航数”大于的组有个，组有个，且组数据也整体大于组，
所以组的数据总和大于组数据总和，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值n小于组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值；
（2）设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户”为事件，则，
所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率是；
（3）由题图，知组“驾驶达人”的人数为人，组“驾驶达人”的人数为人，
则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；
依题意，所有可能取值为，，.
则，
，
，
所以随机变量的分布列为
故数学期望为.
21．已知椭圆，椭圆上的点到两焦点的距离和为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，点为点关于轴的对称点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆上的点到两焦点的距离和为2a，可得a的值，再由点在椭圆上，代入方程可求得b的值；
（2）设直线方程，联立直线与椭圆方程消去y，可得 ， ，关于k的代数式，由，转化成求关于k的函数的最值，通过换元法求得.
【详解】（1）∵椭圆上的点到两焦点的距离和为，∴，∴，
∵点在椭圆上.
∴，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为；
（2）由题意显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
由，消去得，
设，
∴，解得，
，，
∴
，
令，
∴，
所以当时，△ABE面积最大，最大值为.
22．已知函数.
(1)求的极值；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对求导得，分别讨论和时，求不等式，的解集，再由极值的定义可求得结果；
（2）恒成立，转化为对任意恒成立，进一步令， 对任意恒成立，令，分类讨论和是否满足，即可得出答案.
【详解】（1）解：函数的定义域为，，
当时，在恒成立，在单调递减，故无极值；
当时，令，则，
时，，在单调递减；
时，，在单调递增；
故在取极小值，且，无极大值
综上，当时，无极值；
当时，在取极小值，且，无极大值.
（2）解：∵，∴，即且
∴且，即，为的两个零点
∴由（1）知，当时，在取极小值，且，故
又∵，∴，
又∵恒成立，∴对任意恒成立，
∵，∴，且
∴对任意恒成立
∴令，则，对任意恒成立，则.
∴对任意恒成立
令，则
当，即时，恒成立
故在为单调递增函数，
又∵，∴对恒成立
当，即时，为单调增函数，
又∵，，∴使，
当时，，故在单调递减
∴当时，，不合题意
综上，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求函数的极值及导数在恒成立求参问题中的应用，考查学生的运算求解能力和转化与化归能力.属于综合型、难度大型试题.
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