广东省梅州市五校（虎山中学、丰顺中学、水寨中学、梅州中学、平远中学）2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

2022-2023学年度第一学期期中五校考试卷

高二数学

考试时间：120分钟

命题：虎山中学高二数学备课组

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．平行直线与之间的距离为（    ）

A． B． C．3 D．0

3．如图，在四面体中，分别是的中点，为上一点，且，若，则（    ）

A．  B．

C．  D．

4．已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

5．如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线方程为（    ）

A． B． C． D．

7．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．则表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：“为奇数”，事件“”，事件“”，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．与互斥 C．与独立 D．与独立

8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则下列结论正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．下列说法正确的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是

B．若三条直线，，不能构成三角形，则实数

C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或

D．过，两点的直线方程为

11．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）

A．若非零向量，，满足，，则

B．任意向量，，满足

C．若，，为空间一基底，且，则，，，四点共面

D．已知向量，若，则为钝角

12．正方体的棱长为2，且，过作垂直于平面的直线，分别交正方体的表面于，两点．下列说法不正确的是（    ）

A．平面

B．四边形面积的最大值为

C．若四边形的面积为，则

D．若，则四棱锥的体积为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为______．

14．在长方体中，，，点为的中点，则点到平面的距离为______．

15．已知直线，它关于直线对称的直线方程为______．

16．点是直角斜边上一动点，，，将直角沿翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是______．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）已知直线．

（1）若直线与直线平行，求的值；

（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．

18．（本小题满分12分）设，，，，且，．

（1）求；

（2）求向量与的夹角．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，面，，在四边形中，，，，，点在上，．

求证：（1）面；

（2）面面

20．（本小题满分12分）2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数；

（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．

21．（本小题满分12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，若向量，相互垂直．

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的取值范围．

22．（本小题满分12分）如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2．

          图1                                       图2

（1）求证：；

（2）求直线和平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

2022-2023学年度第一学期期中五校联考参考答案

高二数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．B  2．B  3．D  4．B  5．A  6．C  7．D  8．C

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．AD  10．AD  11．AC  12．ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．  14．  15．  16．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）因为，所以解得

（2）令，得，即直线在轴上的截距为

令，得，即直线在轴上的截距为

因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以

所以，解得或

则直线的方程是或，即或

18．解：（1），向量，，，

且，，可得，

解得，  则  则．

（2）因为  所以

向量与夹角为．

19．证明  以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系

∵，，

∴，，，，，

∴，，

（1）设为平面的一个法向量，

由  得

令，得．

∵，∴

又平面，∴平面

（2）如图，取的中点，连接，

则，．

∵，∴．

又，∴，∴．

又，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（其它方法参照给分）

20．【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，

成绩在的频率为，

成绩在的频率为，

故中位数位于之间，中位数是

平均数为：

（2）∵与的党员人数的比值为，

采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，

设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，

则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：

，，，，，，，，，，共10个样本点，

这2人中至少有1人成绩低于76分的有：

，，，，，，，共7个样本点，

故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率．

21．解：（1），相互垂直

∴

由正弦定理得：

∴

∵  ∴  ∴

又为三角形内角  ∴

（2）∵，，由正弦定理得：

∴

∵  ∴  ∴

∴  ∴周长的取值范围是

22．（1）因为在中，，分别为，的中点，所以，．所以，又为的中点，所以．

因为平面平面且两平面交线为，平面，所以平面，所以．

（2）取的中点，连接，所以．

由（1）得，．

如图建立空间直角坐标系．

由题意得，，，，．

所以，，．

设平面的法向量为．

则即

令，则，，所以．

设直线和平面所成的角为，

则．

故所求角的正弦值为．

（3）线段上存在点适合题意．

设，其中．

设，则有，

所以，，，从而，

所以，又，

所以

令，

整理得．解得．

所以线段上存在点适合题意，且．