精品解析：广东省梅州市梅州中学等四校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2022~2023学年第二学期期中高一级“四校”联考（数学）试题

满分150分，考试时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1. 已知向量，，若，则实数的值为（　　）

A. ﹣2 B.  C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据共线向量的坐标表示计算即可得出结果.

【详解】由向量的坐标表示以及可得，

即可得.

故选：B

2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C＝（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值．

【详解】由余弦定理可得，

，．

故选：．

3. 已知向量，的夹角为，且，，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】将平方开根号，结合数量积的运算律即可得解.

【详解】解：．

故答案为：A.

4. 在△ABC中，若三边之比，则等于（    ）

A.  B.  C. 2 D. －2

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦定理将角化边，再结合已知条件，即可求得结果.

【详解】根据正弦定理可得.

故选：B.

5. 在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.

【详解】由题可知，

∵点F在BE上，

∴，

∴．

∴，．

∴．

故选：C．

6. 在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（    ）

A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形

C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状．

【详解】∵，所以，又，∴，

∵，∴，

，，∴，从而，为等边三角形，

故选：C．

7. 如图，在中，，，则＝（   ）

A. 9 B. 18

C. 6 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量的数乘与加减运算，把问题转化为的数量积求解．

【详解】

，

.

故选：B

8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象.若在上的最大值为，则的取值个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得的解析式，再由的范围求得的范围，结合在上的最大值为，分类求解得答案．

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．

再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，

由上，得，

当，即时，则，求得，

当，即时，由题意可得，

作出函数与的图象如图：

由图可知，此时函数与的图象在上有唯一交点，

则有唯一解，

综上，的取值个数为2．

故选：B．

【点睛】本题考查型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的有（  　）

A. 已知，，，若，与共线，则

B. 若，，则

C. 若，则一定不与共线

D. 若，，为锐角，则实数的范围是

【答案】AD

【解析】

【分析】利用向量数量积为0可解得，由共线向量可解得，可判断A正确；只有非零向量才满足平行的传递性，即B错误；模长是否相等与向量是否共线没有关系，即C错误；由向量夹角为锐角可知其数量积大于零，且两向量不同向，即可解得，即D正确.

【详解】对于A，由可得，解得，即；

又因为与共线，所以可得，解得，所以A正确；

对于B，零向量的方向是任意的，若，那么若，，则与不一定平行，所以B错误；

对于C，若，不妨令，则与是共线的，即C错误；

对于D，若为锐角，则解得，

且不同向，即，即，综上得，即D正确；

故选：AD

10. 设函数，则（     ）

A. 的最小正周期为

B. 的图像关于直线对称

C. 的一个零点为

D. 在单调递减

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正弦函数的性质求出函数的最小正周期，利用整体代换法或代入检验法可求出函数的对称轴、对称中心和单调区间．

【详解】函数，最小正周期为，A选项正确；

由，解得图像的对称轴方程为，当时，，B选项正确；

，不是的零点，C选项不正确；

时，有，是正弦函数的单调递减区间，

所以在单调递减，D选项正确.

故选：ABD

11. 在中，已知，下列结论中正确的是（    ）

A. 这个三角形被唯一确定 B. 一定是钝角三角形

C.  D. 若，则的面积是

【答案】BC

【解析】

【分析】设，然后结合正弦定理，余弦定理分别对选项进行判断，即可得到结果.

【详解】依题意可设，则

对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误；

对于B，因为，

所以，则三角形为钝角三角形，故B正确；

对于C，由正弦定理可知，，故C正确；

对于D，因为，即，即，

又因为，所以

则，故D错误.

故选:BC.

12. 如图放置的边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则的值可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】设，由边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，可得出的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即可.

【详解】设，因为，所以，

，，

故，，

所以．

同理可得，所以，

所以．

因为，所以，则，故的值可能是，2．

故选：

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知为锐角，且，则的值为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解.

【详解】因为为锐角，且，所以，

所以，

故答案为: .

14. 在一座高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为，塔底俯角为，则这座水塔的高度是__________．

【答案】

【解析】

【分析】由已知条件得到，，在直角三角形中，用勾股定理求出CM的边长，再求出CD的值即可．

【详解】如图所示，AB观测台，CD为水塔，AM为水平线，依题意得：，，

，∴，，，∴m．

故答案为：m．

15. 已知向量，则的最大值为_______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据向量坐标表示可得，再由辅助角公式和三角函数值域即可得出结果.

【详解】由题意可得，

所以,

即的最大值为.

故答案为：

16. 函数（，）的部分图象如图所示，直线（）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】由图象求得参数，由交点及余弦函数的对称性结合即可求值

【详解】由图可知，，即，

则，解得，，故.

则，最小正周期为.

直线（）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，，，则由图可知，.

∴.

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知向量，．

（1）求与坐标

（2）求与之间的夹角；

【答案】（1），   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用向量的坐标运算求解作答.

（2）利用数量积的坐标表示，及用坐标求出模，再求出夹角作答.

【小问1详解】

因为，，所以；

，，所以.

小问2详解】

因为，，则，，而，

设与之间的夹角为，则，又，

所以与之间的夹角为.

18. 在锐角中，的对边分别为，且

（1）确定角的大小；

（2）若，且，求边.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案.
(2)由余弦定理可得，再由可求答案.

【小问1详解】

由及正弦定理得

因为，故

又锐角，所以.

【小问2详解】

由余弦定理，

，得

解得:或.

19. 已知函数的图像相邻对称中心之间的距离为．

（1）求的最小值，并求取得最小值时自变量的集合；

（2）求函数在区间上的取值范围．

【答案】（1）的最小值为-1，此时自变量的集合为；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，并由已知解出，得，可求的最小值和取得最小值时自变量的集合；

（2）由，得，由正弦函数的图像和性质，可得函数在区间上的取值范围．

【小问1详解】

因为，

由题意得，的最小正周期为，所以，得，所以，

当时，即时，取最小值

故取得最小值时自变量的集合为；

【小问2详解】

由，得，

结合正弦函数的图像，得，

所以函数在区间上的取值范围为.

20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）求点B，C的坐标；

（2）判断四边形的形状，并求出其周长．

【答案】（1），   

（2）四边形为等腰梯形，周长为8

【解析】

【分析】（1）根据点的坐标及可求的坐标，根据可求的坐标；

（2）根据向量坐标关系及长度关系，得出四边形为等腰梯形，根据各边长可求周长.

【小问1详解】

在平面直角坐标系中，由，知，

又，，

设，则，，

点．

又，

，

点．

【小问2详解】

由（1）可得，，，．

，．

又，，

四边形等腰梯形．

，，，，

四边形的周长为8．

21. 某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A测得海上面油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再航行40分钟到达C点．

（1）求P，C间的距离；

（2）求在点C测得油井P的位置？

【答案】（1）40海里；（2）P在C的正南40海里处．

【解析】

【分析】（1）由正弦定理求，再在直角△中求即可.

（2）由求，易知，结合（1）的结果，即知在点C测得油井P的位置.

【详解】（1）如图，在△中，，

由正弦定理：，解得，

在△中，，又，故．

答：P，C间的距离为40海里．

（2）在△中，，

∴，即，又，

∴，即在点C测得油井P在C的正南40海里处．

22. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.

（1）求值；

（2）若，，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】利用正弦定理，边化角，结合同角三角函数的平方式，建立方程，可得答案.

【小问1详解】

由为在方向上的投影向量，则，即，

根据正弦定理，，

在锐角中，，则，即，

由，则，整理可得，解得.

【小问2详解】

由，根据正弦定理，可得，

在中，，则，，，

由（1）可知，，则，

由，则，解得，，

根据正弦定理，可得，则，，

故的周长.