2023届甘肃省兰州市第六十一中学高三上学期11月期中考试数学（理）试题（解析版）

2023届甘肃省兰州市第六十一中学高三上学期11月期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，从而得到 ，图中阴影部分表示的集合为 ，由此能求出结果.

【详解】集合，，

所以.

图中阴影部分表示的集合为.

故选：C

2．在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】首先化简复数，再根据复数的几何意义，求对应的点所在象限.

【详解】，对应的点时，故在第四象限.

故选：D

3．雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”．某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度v（单位：m/s）与直径d（单位：mm）的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，下面四个回归方程类型中最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归方程类型的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据散点图的分布即可选择合适的函数模型.

【详解】由一次函数，二次函数及指数函数的性质可知，BCD不符合散点的变化趋势，

由散点图分布可知，散点图分布在一个幂函数的图像附近，

因此，最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归方程类型的是.

故选：A.

4．若x，y满足约束条件则的最小值为（    ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由题画出可行域，数形结合即求.

【详解】作出可行域，为如图所示的阴影部分，作出直线并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点B时，z取得最小值，

由解得

所以，

故.

故选：C.

5．对任意，用表示不超过x的最大整数，设函数，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据的定义，结合，求得，从而可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

则，所以，

故.

故选：A.

6．已知，，其中，是互相垂直的单位向量，则（      ）

A． B． C．28 D．24

【答案】A

【分析】首先求出，用，表示，再根据计算可得；

【详解】解：，，且，是互相垂直的单位向量

，

故选：

【点睛】本题考查向量的数量积的运算律，向量模的计算，属于基础题.

7．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ）

A．8种 B．14种 C．20种 D．116种

【答案】B

【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.

【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，

①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；

②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；

根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.

故选：B.

8．已知ξ服从正态分布，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分又不必要条件 D．充要条件

【答案】A

【详解】试题分析：由，知．因为二项式展开式的通项公式为＝，令，得，所以其常数项为，解得，所以“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A．

【解析】1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件．

9．如图，圆锥的轴截面为正三角形，其面积为，为弧的中点，为母线的中点，则异而直线所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取中点为底面圆圆心，可证是异而直线所成角或其补角．由轴截面面积求得图中线段长，由轴截面与底面垂直可证得，从而可得异面直线所成的角．

【详解】由题意，，

取中点为底面圆圆心，连接，为弧中点，则，

是轴截面，则平面平面，又平面，平面平面，所以平面，而平面，所以，

又是中点，则，

所以是异而直线所成角或其补角．

且，，所以，，

异而直线所成角的余弦值为．

故选：B．

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

10．已知函数的一条对称轴方程为，把函数的图象上所有的点向左平移个单位，可得到函数的图象，若函数为奇函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先用辅助角公式化简，根据题设求出，从而得到的解析式，进而得到的解析式，最后根据为奇函数，即可求解

【详解】（其中）

因为为图象的一条对称轴

所以（）

所以，所以

所以，所以

依题意

又因为为奇函数，所以（）

所以，已知

所以

故选：A

11．足球场上有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，射点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为标准对称的足球场示意图，设球场长，宽，球门长.在某场比赛中有一位左边锋球员欲在边线AB上点M处射门，为使得张角最大，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，利用两角差的正切公式求出，再由均值不等式求最值即可求解.

【详解】设，

则，,

所以，

因为 ,当且仅当,即等号成立，

所以时，有最大值，由正切函数单调性知，此时张角最大.

故选：B

12．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】原方程化为，令，令，可得，利用导数研究函数的单调性，利用数形结合可得，得到关于不等式组，解出即可.

【详解】

，原式可化为，

令时递增，

故，令，

故，

故在上递减，在上递增，在上递减，

而，

要使总存在三个不同的实数，使得成立，

即，故，

故，实数的取值范围是，故选B.

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为.

二、填空题

13．抛物线的准线方程为_____________.

【答案】x=1

【详解】试题分析：抛物线的焦点在轴上，且开口向左，

∴抛物线的准线方程为x=1，故答案为x=1.

【解析】抛物线的性质.

14．___________.

【答案】

【分析】由定积分的运算性质、几何意义和微积分基本定理运算即可.

【详解】由定积分的运算性质，，

由微积分的几何意义表示直线（轴），，（轴）和曲线所围成的曲边梯形的面积，

曲线（）（），

∴曲线为圆心为原点，半径的圆在的部分，

∴表示的曲边梯形如图，其面积为，∴，

由微积分基本定理，∵，∴，

∴.

故答案为：.

15．已知双曲线的左右两个焦点分别为，，为其左、右两个顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为________.

【答案】

【分析】求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到a，b的关系，再由离心率公式即可得到所求值.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

以F1F2为直径的圆的方程为，

将直线代入圆的方程，可得，（负的舍去），y=b，

即有又，

由于，BM⊥x轴，

则，即有，

则离心率，

故答案为：

16．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若，且，2，成等差数列，则面积S的最大值为____

【答案】

【分析】运用正弦定理和余弦定理可得，再由等差数列中项性质可得，代入三角形的面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．

【详解】，∴，因此

∵，2，成等差数列，∴，

因此，

当，即时，S取得最大值，

即面积S的最大值为，故答案为.

【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题．

三、解答题

17．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．

(1)指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)E为的中点，答案见解析

(2)

【分析】（1）找到的中点E，画出截面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.

【详解】（1）E为的中点．

作图如下：如图，取的中点E，连接DE，．

（2）设在平面内的射影为O，点F在AB上，且．

以O为坐标原点，OF，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

设，则，，，，，

所以，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，

则，取．

设平面的法向量为，

则，取．

所以，

由图可知二面角为锐角，故其余弦值为．

18．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．

(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．

【答案】(1)该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；

(2).

【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式，互斥事件、相互独立事件分别计算报考甲、乙大学恰好有一门笔试科目优秀的概率.

（2）分别计算报考甲、乙大学达到优秀科目个数的期望，再列出不等式并求解作答.

【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；

该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则．

（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，

依题意，，则，

该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3．

，

，，

随机变量的分布列：

，

因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得，

所以的范围为：.

19．记为数列的前项和，已知，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．

从①  ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论和，利用作差法得，从而根据等比数列定义求出；

（2）若选择①利用裂项相消求和，若选择②利用错位相减求和，最后证明结论即可.

【详解】（1）①，

当时，，；当时，②

①-②得，即

又，

∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．

．

（2）若选择①：，

．

若选择②，则③，④，

③-④得，

．

20．已知函数，是的导函数.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)证明：函数只有一个极值点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）使用导数的几何意义进行求解；

（2）分段对的零点进行讨论即可.

【详解】（1）由已知，，，

∴，

∴切线斜率，

又∵，∴切点坐标为，

∴在处的切线方程为，

即.

（2）由第（1）问，，

当时，，，∴，

∴时，，在区间上单调递减，无极值点；

当时，令，

则，

∵当时，，，

∴，在区间上单调递增，

又∵，

∴由零点存在定理，，使，

又∵在区间上单调递增，

∴当时，，在区间单调递减，

∴当时，，在区间单调递增，

∴在区间有且只有一个极小值点，无极大值点.

综上所述，在上只有一个极值点.

【点睛】关键点点睛：极值点存在性问题，可以将导数视为函数，二次求导，借助单调性，通过导函数的零点问题解决，需要注意的是，要判断导函数零点两侧函数值正负取值情况，才能确定为极值点.

21．已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．

(1)求C的方程；

(2)已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由离心率为，可得，再由C的四个顶点围成的四边形面积为，得，从而可求出的值，进而可求出椭圆方程，

（2）由，得，设l的方程为，，，将直线方程代入椭圆方程，消去，利用根与系数的关系，再由化简可求出的值，从而可得答案

【详解】（1）由离心率为，得，    ①

C的四个顶点围成的四边形面积为．    ②

由①②可得，，

故C的方程为．

（2）由，得．

因为Q不在l上，所以，都不是零向量，故，

由题意可知l的斜率一定存在．

设l的方程为，，．

联立方程组得，消去y并整理得，

由，得．

所以，．

因为，

即

，

整理得，

因为，所以．

当时，满足，此时直线l的方程为，

所以直线l过定点．

22．在直角坐标系中，圆C的参数方程(为常数)，以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）消参化为普通方程后，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得结果；

（2）解极坐标方程组可得的坐标，根据极径的几何意义可求得结果.

【详解】（1）利用，把圆C的参数方程(为参数)化为，即，

∴，即.

（2）设为点P的极坐标，由，解得.

设为点Q的极坐标，由，解得.

∵，∴.∴.

【点睛】关键点点睛：掌握极坐标与直角坐标的互化公式，并利用极径的几何意义求解是解题关键.

23．已知函数．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若时，函数的图像与直线所围成图形的面积为，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；

（2）分别计算围成的三角形的顶点坐标，，，进而列式计算即可.

【详解】（1）解：当时，

或或

即或或，

所以原不等式的解集为-

（2）解：

所以，的图像如图所示，

故令得，即，令得，即，

因为，

所以△的面积为．

解得：-