第11讲 函数的应用(含零点问题) 期末大总结(原卷版)

第11讲 函数的应用(含零点问题) 期末大总结

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第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：二次函数的零点问题

必会题型二：求函数的零点、判断个数及所在的区间

必会题型三：与函数零点有关的参数范围问题

必会题型四：函数的应用

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．函数零点的概念：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．函数零点的几种等价说法：

(1)方程f(x)＝0的实数根叫作函数f(x)的零点．

(2)若y＝f(x)＝m(x)－n(x)，则函数f(x)的零点可看成函数m(x)与函数n(x)交点的横坐标．

2．函数零点存在性的判定：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．注意以下几点：

(1)该判定方法只是用于判定方程实数解的存在性，不能判断具体有多少个实数解．

(2)逆命题不成立．

3．二次函数零点的分布常用定理：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根为x1 x2且x1≤x2．

定理一：x1＞0，x2＞0⇔；

定理二：x1＜0，x2＜0⇔

定理三：x1＜0＜x2⇔＜0；

定理四：x1＝0，x2＞0⇔c＝0且＜0，(x1＜0，x2＝0⇔c＝0且＞0)

4．二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．利用二分法求零点近似值的步骤(给定精确度ε)：

第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0；

第二步：求区间(a，b)的中点x1，

第三步：计算f(x1)．

(1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]．

(3)若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]．

第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．

6．常见的函数模型

(1)直线模型：即一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，其增长特点是直线上升(x的系数k＞0)，通过画图可以很直观地认识它．

(2)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(b＞1，a＞0)，通常形象地称为指数爆炸．

(3)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m≠0，a＞0，a≠1)，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(a＞1，m＞0)．

(4)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)，其中最常见的是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小(或增大)，后增大(或减小)．

(5)反比例函数模型：y＝(k＞0)型，增长特点是y随x的增大而减小(x＞0)．

在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，结合图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题相结合，如取整等．

7．建立函数模型解决实际问题：在实际生活和社会实践中，常涉及一些量与量的关系，如果把这种函数关系写出来，就可以利用我们所学过的函数知识，进行研究，解决一些实际问题．数学建模的一般步骤是：

(1)解读：领会题意，并把题中的文字语言译成数学语言；

(2)建模：根据题目的要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型并注意题目对变量的限制条件；

(3)解模：对已经“数学化”的问题，用所学过的数学知识处理，求出解；

(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检验，舍去不合题意的解，并作答．

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：二次函数的零点问题

1．(2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习)已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为(    )

A．-4 B．-5 C．-6 D．-7

2．[多选](2022·湖北·宜城市第一中学高一期中)已知函数有两个零点，，则(    )

A． B．且

C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点

3．(2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中)若函数在上有零点，则实数m的取值范围是_____________．

4．(2022·山西山西·高一阶段练习)已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.

5．函数，

(1)若函数有且仅有1个零点，求的值.

(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.

(3)若，恒成立，求的取值范围.

必会题型二：求函数的零点、判断个数及所在的区间

1．(2022·黑龙江·宾县第二中学高一期中)设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间(    )内

A． B．

C． D．不能确定

2．方程在区间上的根必定在(    )

A．上 B．上 C．上 D．上

3．(2022·河北·邢台一中高一阶段练习)已知在定义域上为单调函数，对，恒有，则函数的零点是(    )

A．2 B．1 C． D．

4．(2022·浙江·高二阶段练习)已知分别是函数，的零点，则(    )

A．1 B． C．2 D．

5．(2022·江苏苏州·高三期中)已知函数则函数的所有零点之积等于________．

必会题型三：与函数零点有关的参数范围问题

1．(2022·湖北·十堰市柳林中学高一阶段练习)已知函数若关于x的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A．) B． C． D．

2．(2022·河北·高三阶段练习)已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

3．(2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习(理))已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    )

A． B． C． D．

4．(2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习)已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

5．(2022·山西·太原市外国语学校高二阶段练习)设函数，关于x的方程有四个实根)，则的最小值为(    )

A． B． C．9 D．10

必会题型四：函数的应用

1．(2022·广东东莞·高一期中)某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系为自然对数的底数，，为常数)．若该食品在的保鲜时间是100小时，在的保鲜时间是60小时，则该食品在的保鲜时间是(    )

A．20小时 B．24小时 C．32小时 D．36小时

2．(2022·江苏泰州·高一期中)为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%(x为正数)，则用户人数会增加万人．若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为______．

3．(2022·上海市南洋模范中学高一阶段练习)如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设．

(1)要使矩形花坛的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2)要使矩形花坛的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？(精确到0.1米)

4．(2022·上海·曹杨二中高三阶段练习)新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．

(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式；

(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

5．(2022·河南洛阳·高一期中)某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．每毫升血液中的药物含量y(μg)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数，，k，a是常数)的图象，且，．

(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于1μg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？

(3)若按(2)中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1．5h，该人每毫升血液中药物含量为多少μg(精确到0.1μg)？