第05讲 函数的概念及其表示 期末大总结(解析版) 试卷

第5讲 函数的概念及其表示 期末大总结

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第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：函数定义的理解

必会题型二：求函数的定义域

必会题型三：求函数及参数值

必会题型四：待定系数法求解析式

必会题型五：配凑法及换元法求解析式

必会题型六：方程组法及其他方法求解析式

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．函数的定义：给定实数集‍‍中的两个非空数集‍‍和‍‍如果存在一个对应关系‍‍使对于集合‍‍中的每一个数‍在集合‍‍中都有唯一确定的数‍‍和它对应，那么就把对应关系‍‍称为定义在集合‍‍上的一个函数，‍记作‍‍其中集合‍‍称为函数的定义域，‍‍称为自变量，与‍‍值对应的‍‍值称为函数值，集合‍‍称为函数的值域．

2．函数的表示法

(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式，如函数‍‍的定义域是‍‍值‍域是‍．

3．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．如‍是同个函数．

5．由函数的解析式求函数的定义域时，通常要注意以下几个方面．

(1)分式——使分母不为零．(2)偶次根式——使被开方数非负．(3)y＝(f(x))0→f(x)≠0．

[名师点睛]求函数的定义域时，一般先转化为解不等式或不等式组，最后取各部分的交集，定义域要写成集合或区间的形式．

6．复合函数定义域，用对应的方法．

(1)若f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出；

(2)若f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g(x)的值域．

(3)若f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f[φ(x)]的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g(x)的值域即为φ(x)，再求出φ(x)对应的x范围，即为f[φ(x)]的定义域．

7．求函数的解析式一般方法

(1)代入法：已知f(x)的解析式求f [g(x)]的解析式常用此法；

(2)待定系数法：若已知所求函数类型，可先设出所求函数的解析式，然后由已知条件列方程(组)，再求系数．

(3)配凑法(整体换元法)：已知f [g(x)]的解析式求f(x)的解析式时，可从f [g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”，即把“g(x)”作为整体来表示，再将两边的g(x)都用x代替即可，如已知函数f＝x2＋求f(x)的解析式，可变形为f＝2＋2可得f(x)＝x2＋2；

(4)换元法：形如y＝f[g(x)]的函数，可令t＝g(x)，由此求出x＝φ(t)，然后代入解析式求解，但要注意新设变量“t”的范围；

(5)方程组法：若已知式子含有f(x)，f，或f(x)，f(－x)等形式，可让x与互换，或－x与x互换等，从而构造出另一个方程，通过解方程组获解；

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：函数定义的理解

1．(2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习)下列各式中，①；②；③；④．能表示为是的函数的有(    )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】利用函数的定义逐项判断即可求解．

【解析】对于①，要使有意义，只需要，解得，所以函数的定义域为空集，由函数的定义知，因为函数的定义域不能是空集，所以①不能表示为是的函数；

对于②，对于时，则对应的值不唯一，可以等于，也可以等于，所以②不能表示为是的函数；

对于③，由题意可知，函数的定义域为，定义域内的任意一个值按对应法则都有唯一实数与之对应，所以③能表示为是的函数；

对于④，由题意可知，函数的定义域为，定义域内的任意一个值按对应法则都有唯一实数与之对应，所以④能表示为是的函数；

故选：B．

2．(2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习)下列各组函数是同一函数的是(    )

①与；②与

③与；④与

A．①② B．②④ C．①③ D．③④

【答案】B

【分析】运用同一函数的定义，从定义域、值域和解析式进行判定，即可得到结果．

【解析】的定义域为，的定义域为，

但，故①错误；

，故，②正确；

由，解得：，故的定义域为，

由，解得：或，故的定义域为，

所以与不是同一函数，③错误；

与的定义域和对应关系相同，为同一函数，④正确．

故选：B

3．(2022·江苏·西安交大苏州附中高一阶段练习)下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的定义判断即可．

【解析】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，

A，C，D满足函数的定义，

故选：B

4．(2022·山东省青岛第十六中学高一期中)函数的定义域为，值域为，则图像可能是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意和函数的概念，逐项判定，即可求解．

【解析】由题意，函数的定义域为，值域为，

对于A中，函数的定义域为，不符合题意；

对于B中，函数的定义域为，值域为，符合题意；

对于C中，根据函数的概念，一对一对应和多多对一对应是函数，而C项中出现一对多对应，所以不是函数，不符合题意；

对于D中，函数的定义域为，但值域为，不符合题意．

故选：B

必会题型二：求函数的定义域

1．(2022·湖南·高一期中)函数的定义域为(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由解出即可．

【解析】依题意得，解得，

所以的定义域为，

故选：C．

2．(湘豫名校联考2022－2023学年高三上学期11月一轮复习诊断考试(二)数学(文科)试题)函数的定义域是(    )

A． B． 

C． D．

【答案】B

【分析】列出满足函数有意义的不等式或不等式组解出即可

【解析】若使函数的解析式有意义，

则

所以或．

故该函数的定义域为．

故选：B．

3．(2022·广东·汕头市实验学校高一期中)已知函数的定义域为，则实数的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意得不等式恒成立，分类讨论列不等式组求解，

【解析】由题意得对恒成立，

当即时，不满足题意，

当时，由解得，

综上，的取值范围是，

故选：B

4．(2022·江苏省上冈高级中学高一期中)已知函数，则函数的定义域为_________

【答案】

【分析】首先根据对数函数的真数大于求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则求出的定义域．

【解析】因为，所以，解得，即的定义域为，

对于，则，解得，

所以的定义域为．

故答案为：

必会题型三：求函数及参数值

1．(2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中)已知函数满足．若，则(    )

A．2 B．1 C． D．0

【答案】C

【解析】依题意知时，即得结果．

【解析】满足，且，则时，故．

故选：C．

2．(2021·江苏·高一专题练习)若函数，且，则等于(     )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后由求出的值．

【解析】设，则，，

则，解得，故选A．

3．(2022·湖南·高一课时练习)若，，则________．

【答案】或2

【分析】根据条件列方程，解得结果．

【解析】由已知或．

故答案为或2．

4．(2022·安徽·六安一中高一期中)已知函数，若实数满足，则_________．

【答案】

【分析】由可得，再求的值．

【解析】因为，，

所以，

所以，所以，

所以，

故答案为：．

5．(2022·全国·高一专题练习)已知函数，则____．

【答案】4028

【分析】整理，发现，则进行首尾相加求解．

【解析】因为，

，，…，，

所以．

故答案为：4028

6．(2021·广东·佛山市顺德区文德学校高一阶段练习)已知函数．

(1)求函数的定义域．

(2)求，；

(3)已知，求a的值．

【答案】(1)且

(2)，

(3)

【分析】(1)利用分式、根式的性质求的定义域．

(2)将自变量代入解析式求函数值即可．

(3)首先求关于a的解析式，再由方程求a的值．

【解析】(1)由，解得，

∴函数的定义域为且；

(2)，

．

(3)，

，即，

．

必会题型四：待定系数法求解析式

1．(2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学高一阶段练习）设为一次函数，且．若，则的解析式为(    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式．

【解析】设，其中，则，

所以，，解得或．

当时，，此时，合乎题意；

当时，，此时，不合乎题意．

综上所述，．

故选：B．

2．(辽宁省辽东区域共同体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知是一次函数，且满足，求的解析式；

[答案]；

[分析]设，代入已知条件得，列出不等式组求解即可；

[解析]设，

则，

所以，解得，

所以；

3．(2022·甘肃·宁县第一中学高一期中)已知是二次函数，且，求的解析式．

[答案]

[分析]根据函数类型设，结合已知等式，代入后比较系数求待定系数，即可得的解析式．

[解析]设，则依题意代入，

∴，

即，利用等式两边对应项的系数相等，可得

，，，解之得：

，，，

∴的解析式为．

4．(2022·四川·石室中学高一阶段练习(理))已知二次函数满足，

(1)求的解析式；

(2)当，求的值域．

[答案](1)

(2)

[分析](1)利用待定系数法列方程即可求得的解析式；(2)利用二次函数的单调性去求的值域即可．

[解析](1)设二次函数

由，可得

则，解之得

则二次函数的解析式为

(2)由(1)得，，

则在单调递减，在单调递增

又，，

则当时的值域为

必会题型五：配凑法及换元法求解析式

1．(2022·安徽·六安一中高一期中)设函数，则的表达式为(    )

A． B．

C． D．

[答案]C

[分析]利用换元法求解即可．

[解析]令)，则，，

所以，

所以，

故选：C．

2．(2022·辽宁实验中学高一期中)若，则下列等式中正确的是(    )

A． B．

C． D．

[答案]B

[分析]通过换元法得到，然后代入每个选项进行计算即可

[解析]令，则

所以由可得即，

对于A，，故不正确；

对于B，，故正确；

对于C，，故不正确；

对于D，，，

所以，故不正确

故选：B

3．已知，求的解析式；

[答案] ；

[分析]根据题意利用换元法运算求解，注意变量的范围

[解析]由，令，则，

所以，

故的解析式为；

4．(2021·全国·高一课时练习)已知，求的解析式．

[答案] (或)；

[分析]先把转化为，利用配凑法可得的解析式；

[解析]∵，且或，

∴ (或)．

必会题型六：方程组法及其他方法求解析式

1．(2022·辽宁·高一阶段练习)已知函数的定义域为，且满足，则(    )

A． B． C． D．

[答案]C

[分析]对于求函数解析式的题目，可使用方程组法，将原方程与令后得到得方程组成方程组，解出即可

[解析]因为①，

所以②，

得，

即，

所以．

故选：C．

3．(2022·辽宁·育明高中高一期中)设为常数，，，则(    )

A． B．

C．满足条件的不止一个 D．恒成立

[答案]D

[分析]利用赋值法逐一对各选项进行验证．

[解析]令，可得，

因为，所以，故选项A不正确；

令，得，

代入，得，

原等式变形为，故选项B不正确；

在中，

令，得，即函数取值非负，

令，得，所以，

即恒成立，满足条件的只有一个，

故选项D正确，C不正确．

故选:D．

3．(2023·全国·高三专题练习)已知f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，则f(x)＝______．

[答案]-2x+1

[分析]由f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，将-x代入联立求解．

[解析]由f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，

得f(-x)＋2f(x)＝-2x＋3，

两式联立解得f(x)＝-2x+1，

故答案为：-2x+1

4．(2022·云南省下关第一中学高一期中)根据下列条件，求的解析式

(1)已知满足

(2)已知是一次函数，且满足；

(3)已知满足

[答案](1)

(2)

(3)

[分析](1)利用换元法即可求解；

(2)设，然后结合待定系数法即可得解；

(3)由题意可得，利用方程组思想即可得出答案．

[解析](1)解：令，则，

故，

所以；

(2)解：设，

因为，

所以，

即，

所以，解得，

所以；

(3)解：因为①，

所以②，

②①得，

所以．

5．(2021·全国·高一专题练习)根据下列条件，求函数的解析式；

(1)已知是一次函数，且满足；

(2)已知函数为二次函数，且，求的解析式；

(3)已知；

(4)已知等式对一切实数､都成立，且；

(5)知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；

(6)已知，求的解析式．

[答案](1)；(2)；(3)或；(4)；(5)；(6)．

[分析](1) 已知是一次函数设出一般表达式，然后代入根据等式性质系数相等即可求解；(2) 已知函数为二次函数，待定系数设出表达式化简然后根据等式性质和右边对应相等即可；(3)先对进行因式分解为为相关式子，然后借助换元法替换即可；(4)借助赋值法，令化简原式即可求解；(5) 将代入等式得到一个新表达式，然后联立原式根据方程组思维求解 即可；(6)换元法，令将用 表达，代入原式化简即可求解．

[解析](1)设，则

所以解得：所以；

(2)设

，解得：

(3)

，

令，由双勾函数的性质可得或，

，或

(4)因为对一切实数､都成立，且

令则，又因为

所以，即

(5)将代入等式得出，

联立，变形得：，解得

(6)由题意得：定义域为

设，则    

．