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第01讲 集合 期末大总结(解析版) 试卷
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这是一份第01讲 集合 期末大总结(解析版)，共16页。
第1讲 集合 期末大总结
目 录 速 览
第一部分：必会知识结构导图
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：集合的含义与表示
必会题型二：集合间的基本关系
必会题型三：集合的基本运算
必会题型四：Venn图法解决集合运算问题
必会题型五：分类讨论法解决元素与集合关系问题
必会题型六：根据集合包含关系求参数值或范围
第一部分：知识结构导图速看
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
1．集合与元素的概念
(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．
2．元素与集合的关系
(1)属于：若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a∉A．
3．集合中元素的特性
(1)确定性；(2)互异性(元素互不相同)；
(3)无序性：如{1，2，3}和{3，2，1}表示同一个集合．
4．集合的表示
(1)列举法：列举法是把集合中的元素一一列举出来并用大括号“{}”括起来的方法(元素之间用“，”隔开)，如{1，2，3}．
(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法。它的一般形式为{x∈A|p(x)}，如{(x，y)|xy＝0}、{x|(x＋1)(x－3)＝0}、{y|y＝x2}．
5．常用数集及表示符号：
自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q；实数集R。
6．集合的分类
(1)有限集：我们把含有限个元素的集合叫有限集．
(2)无限集：含无限个元素的集合叫无限集．
(3)空集：我们把不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅．
7．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合这种图称为Venn图(可以是圆，椭圆，矩形等封闭曲线)。
8．集合相等、子集、真子集 [包含于(⊆)，包含(⊇)，真包含于()，真包含()]
概念
定义
符号表示
图形表示
集合相等
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，称集合A与集合B相等
A＝B
子集
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素(若a∈A则a∈B )，那么集合A称为集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)
真子集
如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集
AB或(BA)
9．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作AB(或BA)．
10．常用结论
(1)对于集合A，B，如果A⊆B且B⊆A则A＝B．
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C(注意A＝∅)．
(3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC．
(4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即对任何一个集合A，都有∅⊆A．
(5)空集只有一个子集，即它本身；空集无真子集．
11．n个元素的集合有
(1)2n个子集； (2)2n－1个真子集；
(3)2n－1个非空子集；(4)2n－2个非空真子集．
12．并集、交集与补集
并集A∪B
交集A∩B
补集∁U
文字符号语言
集合A和B的元素合并在一起组成的集合。
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
集合A和B的公共元素组成的集合。
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
全集U中不属于A的所有元素构成的集合。
∁U A＝{x|x∈U且x∉A}
图形语言
常用运算
A∪∅＝A；
A∪B⊇A；B⊆A∪B
A∪B＝A⇔B⊆A
(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；
A∩∅＝∅；
A∩B⊆A；A∩B⊆B；
A∩B＝A⇔A⊆B
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；
∁UU＝∅；∁U∅＝U；
∁U(∁UA)＝A；
A∪∁UA＝U；
A∩∁UA＝∅
A⊆B⇔∁UB⊆∁UA．
13．知识拓展
(1)集合的分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
(2)德·摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) [“交的补”等于“补的并”]；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB) [“并的补”等于“补的交”]
德·摩根法则的理解如图：
(3)全集与补集各部分的韦恩图表示(如图)
(4)容斥定律(求集合元素的个数)：设有限集A的元素个数为card(A)，例如集合A＝{a，b，c}，则card(A)＝3；则在求集合元素个数时常用到以下公式及图形解释(如图)
①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)
②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩B)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：集合的含义与表示
1． (2022·重庆市第二十九中学校高一期中)已知集合A={0，1，2}，B={x|x=ab，a∈A，b∈A}，则集合B中有( )个元素．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据集合B的定义，求得集合B，即可求得结果．
【解析】根据题意可得，集合B={0，1，2，4}，故其元素有4个．
故选：D．
2．(2022·海南华侨中学高一期中)已知集合A=xx=2k，k∈Z，B=xx=2m+1，m∈Z，C=xx=4n+1，n∈Z，若a∈A，b∈B，则必有( )
A．a+b∈A B．a+b∈B
C．a+b∈C D．a+b不属于集合A、B、C中的任何一个
【答案】B
【分析】设出a，b的表示形式，计算a+b后比较各集合的代表元形式可得．
【解析】由题意设a=2k，b=2m+1，其中k，m都是整数，
则a+b=2k+2m+1=2(k+m)+1，其中k+m是整数，可以是奇数也可以是偶数，
∴a+b∈B，
故选：B．
3．[多选](2022·贵州·贵阳一中高一阶段练习)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4． 下列结论正确的是( )
A．2 022∈[2]
B．－3∈[3]
C．Z=0∪1∪2∪3∪4
D．整数a，b属于同一个“类”的充要条件是a−b∈[0]
【答案】ACD
【分析】根据“类”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解析】2022=404×5+2，所以2022∈2，A选项正确．
−3=−5+2，所以−3∈2，B选项错误．
整数是由5的倍数、5的倍数加1、5的倍数加2、5的倍数加3、5的倍数加4所构成，
所以Z=0∪1∪2∪3∪4，C选项正确．
当a，b属于同一个“类”时，设a=5n1+k，b=5n2+k，n1，n2∈Z，k=0，1，2，3，4，
所以a−b=5n1−n2∈0；
当a−b∈[0]时，a−b=5n，n∈Z，所以a=5n+b，a=5n+b=b，
即a被5除所得余数和b被5除所得余数相等，也即a，b属于同一个“类”．
综上所述，整数a，b属于同一个“类”的充要条件是a−b∈[0]，D选项正确．
故选：ACD
4．(2022·海南华侨中学高一期中)设集合A＝−1，0，1，集合B＝x∈N|6x+1∈N
(1)用列举法写出集合B
(2)定义：A∗B＝x，yx∈A∩B，y∈A∪B，求A∗B中元素的个数．
【答案】(1)B＝0，1，2，5 (2)10
【分析】(1)由x∈N，6x+1∈N，解得x；
(2)先求出A∩B＝0，1，A∪B＝−1，0，1，2，5，根据定义求出A∗B，继而得解．
【解析】(1)由x∈N，6x+1∈N，所以x可以取0，1，2，5，所以B＝0，1，2，5．
(2)由题意可知：B＝0，1，2，5．
∴A∩B＝0，1，A∪B＝−1，0，1，2，5
∵A∗B＝(x，y)x∈A∩B，y∈A∪B
∴A∗B＝(0，−1)，0，0，0，1，0，2，0，5，1，−1，1，0，1，1，1，2，1，5．
∴A∗B中元素的个数为10．
必会题型二：集合间的基本关系
1．(2022·上海市彭浦中学高一期中)下列表示错误的是( )
A．0∉∅ B．∅⊆1，2
C．x，y2x+y=103x−y=5=3，4 D．若A⊆B，则A∪B=B
【答案】C
【分析】由元素与集合的关系可判断A；由集合与集合的包含关系可判断B；由描述法可判断C；由集合的包含关系与并集的定义可判断D
【解析】对于A：因为空集没有任何元素，故0∉∅，故A正确；
对于B：因为空集是任何集合的子集，故∅⊆1，2，故B正确；
对于C：x，y2x+y=103x−y=5表示2x+y=10与3x−y=5的交点所构成的集合，
所以x，y2x+y=103x−y=5=3，4，故C错误；
对于D：若A⊆B，则A∪B=B，故D正确；
故选：C
2．[多选]已知集合A=0，a+b，ab，A=2，2-b，c若A=B，则a+b+c的值可能为( )
A．32 B．2 C．232 D．12
【答案】ABD
【分析】根据A=B，得到2-b=0或c=0，分类讨论得到a的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出a+b+c的值．
【解析】因为A=B，所以2-b=0或c=0．
①当b=2时，A=0，a+2，a2，B=2，0，c，
所以a+2=2或a2=2，得a=0或4．
当a=0时，A=0，2不合题设，舍去．
当a=4时，A=0，6，2，c=6，此时a+b+c=12．
②当c=0时，A=0，a+b，ab，B=2，2-b，0，
所以a+b=2ab=2-b或a+b=2-bab=2，解得：a=0b=2或a=1b=1或a=1b=12
当a=0时，A=0，2不合题设，舍去．
当a=1b=1时，A=B=0，2，1，此时a+b+c=2．
当a=1b=12时，A=B=0，32，2，此时a+b+c=32．
故选：ABD
3．已知集合A满足1，2⊆A⊆1，2，3，4，5，2，3⊆A⊆1，2，3，5，6，则满足条件的集合A的个数为( )
A．8个 B．4个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据给定的条件，确定集合A中元素即可求解作答．
【解析】因1，2⊆A⊆1，2，3，4，5，2，3⊆A⊆1，2，3，5，6，则有1，2，3都是集合A中元素，4，6都不在A中，5可以在A中，
因此集合A可以是{1，2，3}或{1，2，3，5}，
所以满足条件的集合A的个数为2．
故选：C
4．(2022·上海·华师大二附中高一期中)已知集合A=xax2+3x−2=0有且仅有两个子集，则满足条件的实数a组成的集合是___________
【答案】−98，0
【分析】根据集合A的子集的个数得到集合A中只有一个元素，然后分a=0和a≠0两种情况求解即可．
【解析】因为集合A有且仅有两个子集，所以集合A中只有一个元素，即方程ax2+3x−2=0只有一个解，
当a=0时，3x−2=0，只有一个解，满足要求；
当a≠0时，Δ=9+8a=0，解得a=−98，所以a=−98或0．
故答案为：−98，0．
必会题型三：集合的基本运算
1．(广东省深圳科学高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题)若全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,5},B={1,2,4,6,7,8}，则∁UA∪∁UB=( )
A．∅ B．{3,4,5,6,7,8,9} C．{9} D．{1,2}
【答案】B
【分析】由补集与并集的概念求解，
【解析】由题意得∁UA={4,6,7,8,9}，∁UB={3,5,9}，∁UA∪∁UB={3,4,5,6,7,8,9}
故选：B
2．(2022·陕西·渭南市瑞泉中学高一阶段练习)已知集合M＝x−1
【答案】A
【分析】由定义域得到不等式，解不等式求出N＝−1，32，从而求出交集．
【解析】3+x−2x2≥0，解得：−1≤x≤32，所以N＝−1，32，
所以M∩N＝−1，1∩−1，32＝−1，1．
故选：A
3．[多选](辽宁省名校联盟2022-2023学年高一11月选科适应性考试数学试题)对于集合M，N，定义M−N={xx∈M且x∉N}，设全集U=x∈Z−3
C．M−N={−2} D．∁U(N−M)={−2,−1,2,3}
【答案】CD
【分析】根据集合的新定义以及交并补运算，即可求解．
【解析】根据集合的互异性，即可判断A错，
M的非空真子集个数为23−2=6，即可判断B错，
根据M−N={xx∈M且x∉N}，即可判断C对，
N−M={0,1},∁U(N−M)={−2,−1,2,3}，即可判断D对，
故选：CD．
4．(湖南省衡阳市田家炳实验中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题)已知集合A=x3
(2)求：∁RA∪B，A∪(∁RB)．
【答案】(1)xx<2或x>10，xx≤3或x≥5；
(2)R，xx<2或310
【分析】根据集合的交、并、补运算求解即可．
【解析】(1)由题意，A∪B={x|2≤x≤10}，A∩B={x|3
(2)由题意，∁RA =xx≤3或x≥5，∁RB= xx<2或x>10，
故∁RA∪B=R，A∪(∁RB)= xx<2或310．
5．(浙江省台州市三门第二高级中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题)已知集合A=xa−1
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
【答案】(1)A∪B=x−2≤x<7，∁RA∩B=x−2≤x≤1
(2)a≤−4或−1≤a≤12
【分析】(1)代入a=2，得到集合A，根据集合运算的概念求解即可；
(2)由已知可得，A⊆B，对A=∅与A≠∅分别求解．
【解析】(1)当a=2时，集合A=x1
又U=R，∴∁RA=x|x≤1或x≥7，
∴∁RA∩B=x−2≤x≤1．
(2)若A∩B=A，则A⊆B，
当a−1≥2a+3，即a≤−4时，A=∅，满足题意；
当A≠∅，即a>−4时，应满足a−1≥−22a+3≤4，解得−1≤a≤12；
综上知，实数a的取值范围是a≤−4或−1≤a≤12．
必会题型四：Venn图法解决集合运算问题
1．(2022·陕西·交大附中高一期中)已知集合A＝x∈N1≤x≤6，B＝xx2−x−6≤0，则如图中阴影部分表示的集合为( )．
A．0，1，2 B．1，2，3 C．−3，0，1，2 D．−2，0，1，2，3
【答案】B
【分析】由自然数集N的定义化简集合A，解二次不等式化简集合B，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为A∩B，由此得解．
【解析】易知A＝x∈N1≤x≤6＝1，2，3，4，5，6，
由x2−x−6≤0得x−3x+2≤0，故−2≤x≤3，则B＝x−2≤x≤3，
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为A∩B，而A∩B＝1，2，3，
所以图中阴影部分表示的集合为1，2，3．
故选：B．
2．(重庆市璧山区2022-2023学年高一上学期10调研数学试题)图中阴影部分表示的集合为( )
A．∁UA∩B B．A∩∁UB C．∁UA∩∁UB D．∁U(A∩B)
【答案】A
【分析】根据集合的交并补运算逐个选项验证即可．
【解析】根据补集和交集的概念可知A选项的∁UA∩B符合题意；
由图可知，阴影部分为集合B的子集，而∁UB不是B的子集，故排除选项B、C；
∁U(A∩B)表示的区域如图：
所以D不符题意；
故选：A．
3．[多选](江苏省苏州市第五中学2022-2023学年高一上学期10月阶段性测试数学试题)正确表示图中阴影部分的是( )
A．∁UM∩∁UN B．∁UM∪N
C．∁UM∩N D．∁UM∪N
【答案】AD
【分析】根据阴影位于M与N并集的外部即可作出判断．
【解析】根据图中阴影可知，∁UM∪N符合题意，
又∁UM∪N=∁UM∩∁UN．
故选：AD
4．某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛有40人，参加物理竞赛有45人，参加化学竞赛有30人，同时参加物理、化学竞赛有15人，同时参加数学、物理竞赛有20人，同时参加数学、化学竞赛有10人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有______名．
【答案】10
【分析】利用容斥原理即可求解．
【解析】设三个学科竞赛都参加的学生为x人，
结合已知条件可知，
只参加物理、化学两个科目竞赛的学生为15−x人，
只参加数学、物理两个科目竞赛的学生为20−x人，
只参加数学、化学两个科目竞赛的学生为10−x人，
只参加物理竞赛的学生为45−(15−x)−x−(20−x)＝10+x人，
只参加化学竞赛的学生为30−(15−x)−x−(10−x)＝5+x人，
只参加数学竞赛的学生为40−(20−x)−x−(10−x)＝10+x人，
如下图所示：
故45−20−15−x+40−20−10−x+30+20−x＝80，解得x＝10，
故都参加的学生人数为10人，
故答案为：10．
必会题型五：分类讨论法解决元素与集合关系问题
1．(北京市第十五中学南口学校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题)已知M=1,2,a2−3a−1，N=1,3，且N⫋M，则a的值为( )
A．−1 B．4
C．−1或4 D．1或−4
【答案】C
【分析】根据集合间的关系和元素与集合的关系，可知a2−3a−1=3，解方程即可得出答案．
【解析】因为M=1,2,a2−3a−1，N=1,3，且N⫋M，
所以a2−3a−1=3，解得：a=−1或a=4，
故选：C．
2．[多选](四川省成都市树德中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题)下列四个命题：其中不正确的命题为( )
A．已知集合A=yy=x2+1，集合B=xy=x2+1，则A∩B=∅
B．集合x∈N|5x+1∈N中有两个元素
C．由方程x2−2x+1=0的所有实根构成的集合中的元素之和为2
D．记A=x|x=2k+1,k∈Z,B=x|x=4n±1,n∈Z，则A=B
【答案】AC
【分析】利用集合的定义可判断对错．
【解析】A=y|y≥1,B=R,A∩B=x|x≥1，所以A选项错误；
因为集合x∈N|5x+1∈N=0,4，所以B选项正确；
由于x|x2−2x+1=0=1，集合中只有一个元素，和为1，所以C选项错误；
对于集合A，当k=2n时，x=4n+1,n∈Z，当k=2n−1时，x=4n−1,n∈Z，即A=x|x=4n±1,n∈Z=B，所以D选项正确．
故选:AC．
3．(河南省南阳市六校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题)已知集合A=1,2,3，B=1,m,n，若2−m∈A，n+2∈A，则m+n=______．
【答案】−1
【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到m=0n=−1或m=−1n=0，即可得到答案．
【解析】因为2−m∈A，所以2−m=1或2−m=2或2−m=3，
解得m=1或m=0或m=−1，
因为n+2∈A，所以n+2=1或n+2=2或n+2=3，
解得n=−1或n=0或n=1，
又因为B={1,m,n}，所以m=0n=−1或m=−1n=0，即m+n=−1．
故答案为：−1
4．(1)设集合A＝{a2，a＋1，−1}，B＝{2a－1，|a－2|，3a2＋4}，A∩B＝−1，求实数a的值．
(2)设集合A＝x2，2x−1，−4，B＝x−5，1−x，9，若A∩B＝9，求实数x的值．
【答案】(1)a＝0；(2)x＝−3
【分析】根据A∩B的结果，对A、B的元素分类讨论即可
【解析】(1)∵A∩B＝−1，∴−1∈B，而|a－2|≥０，3a2＋4＞０，∴2a－1＝－1，则a＝0，
此时A＝{0，1，－1}，B＝｛－1，2，4｝，A∩B＝−1，符合题意．
故a＝0；
(2)因为A＝x2，2x−1，−4，B＝x−5，1−x，9，A∩B＝9，
若x2＝9，则x＝±3，
当x＝3时，x−5＝1−x＝−2，不满足题意；
当x＝−3时，A＝{9，−7，−4}，B＝{−8，4，9}，A∩B＝9，满足题意；
若2x−1＝9，则x＝5，此时A＝25，9，−4，B＝0，−4，9，则A∩B＝{9，−4}，不满足题意；
综上，x＝−3．
必会题型六：根据集合包含关系求参数值或范围
1． (山东省菏泽市2022-2023学年高一上学期期中数学试题)设集合A=x−1≤x≤4，集合B=xx≥a，若A⊆B，则a的取值范围为( )
A．a≥4 B．−1≤a≤4
C．a<−1 D．a≤−1
【答案】D
【分析】根据集合的包含关系即可得解．
【解析】因为集合A=x−1≤x≤4，集合B=xx≥a，A⊆B，
所以a≤−1．
故选：D．
2．(辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题)集合A=xx<−1或x≥3，B=xax+1≤0若B⊆A，则实数a的取值范围是( )
A．−13,1 B．−13,1
C．−∞,1∪0,+∞ D．−13,0∪0,1
【答案】A
【分析】根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．
【解析】∵B⊆A，
∴①当B=∅时，即ax+1≤0无解，此时a=0，满足题意．
②当B≠∅时，即ax+1≤0有解，
当a>0时，可得x≤−1a，
要使B⊆A，则需要a>0−1a<−1，解得0
要使B⊆A，则需要a<0−1a≥3，解得−13≤a<0，
综上，实数a的取值范围是−13,1．
故选：A．
3．(辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题)已知集合A=x2a+1≤x≤3a−5，B={xx<−1或x>16} ．
(1)若A为非空集合，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
【答案】(1)a≥6
(2)a<6或a>152
【分析】(1)由条件可知，2a+1≤3a−5，即可求解不等式；
(2)分A=∅和A≠∅两种情况，列不等式求解．
【解析】(1)若A为非空集，则2a+1≤3a−5，解得：a≥6；
(2)若A∩B=A，则A⊆B，
当A=∅时，2a+1>3a−5，解得：a<6，
当A≠∅时，2a+1≤3a−53a−5<−1 ，解得：∅
或2a+1≤3a−52a+1>16，解得：a>152
所以实数a的取值范围是a<6或a>152
4．(山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题)已知集合．A=x|a−2≤x≤a+2，B={x|x≤−1或x≥2}．
(1)当a=3时，求A∩B，A∪∁RB；
(2)若A∪B=R，求实数a的取值范围
【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤5}，A∪∁RB= {x−1
【分析】(1)应用集合的交、并、补运算求集合即可；
(2)根据并集结果得a−2≤−1a+2≥2，即可求参数范围．
【解析】(1)a=3时，A={x|1≤x≤5}，所以A∩B={x|2≤x≤5}，
因为∁RB= x−1
5．(江苏省苏州市吴县中学教育集团2022-2023学年高一上学期10月学业质量阳光指标调研数学试题)设全集为U=R，集合A={x|−2
(1)求如图阴影部分表示的集合；
(2)已知集合C={x|a0}，若B∩C=∅，求实数a的取值范围．
【答案】(1)x|−2
(2)依题意可得a>02a≤6，解得即可．
【解析】(1)解：因为A={x|−2
所以图中阴影部分表示∁AA∩B=x|−20}，B={x|x≤−3或x≥6}且B∩C=∅，
所以a>02a≤6，解得0
(1)若a=−1，求A∪∁RB；
(2)若A∩B=∅，求a的取值范围．
【答案】(1)A∪CRB=x−2≤x≤5
(2)x−12≤a≤2或a>3
【分析】(1)根据题意，先求出集合A的补集，再利用集合的并集运算求解即可；
(2)根据集合的包含关系分A=∅和A≠∅两种情况进行讨论即可求解．
【解析】(1)若a=−1，则集合A=x−2≤x≤2，
所以∁RB=x−1≤x≤5，
所以A∪CRB=x−2≤x≤5；
(2)因为集合A=x2a≤x≤a+3，B={x|x<−1或x>5}，
因为A∩B=∅，所以分以下两种情况：
若A=∅，即2a>a+3，解得a>3，满足题意，
若A≠∅，则2a≥−1a+3≤52a≤a+3
解得−12≤a≤2，
综上所述a的取值范围为x−12≤a≤2或a>3
7．已知A=xx2−2x−3≤0，B=xx−a≤1，a∈R．
(1)若A∪B=A，求出实数a的取值范围；
(2)若a∈A，求A∩B．
【答案】(1)0≤a≤2
(2)答案见解析
【分析】(1)求出集合AB，然后根据并集结果列不等式求解即可；
(2)分a−1<−1
B=xx−a≤1，a∈R=−1+a，1+a
∵A∪B=A，∴B⊆A∴−1+a≥−11+a≤3
解得0≤a≤2
(2)由(1)A=−1，3，B=−1+a，1+a，a∈−1，3，
当a−1<−1
(1)若a=1，求A∪B；
(2)求实数a的取值范围，使___________成立．
从①A⊆∁RB，②B⊆∁RA，③∁RA∩B=∅中选择一个填入横线处求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)x0
选2，a≤0或a≥6；
选3，2≤a≤4．
【分析】(1)根据对数函数的单调性求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合并集的概念和运算即可得出结果；
(1)根据(1)和补集的概念和运算求出∁RA和∁RB，利用集合间的包含关系和交并补的运算即可求出对应条件的参数．
【解析】(1)A={xlog2(x−1)<2}={x0
若选①，A⊆∁RB，则a+1≤1或a−1≥5，
解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6；
若选②，B⊆∁RA，则a+1≤1或a−1≥5，
解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6；
若选③，(∁RA)∩B=∅，则1≤a−1a+1≤5，
解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．
第1讲 集合 期末大总结
目 录 速 览
第一部分：必会知识结构导图
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：集合的含义与表示
必会题型二：集合间的基本关系
必会题型三：集合的基本运算
必会题型四：Venn图法解决集合运算问题
必会题型五：分类讨论法解决元素与集合关系问题
必会题型六：根据集合包含关系求参数值或范围
第一部分：知识结构导图速看
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
1．集合与元素的概念
(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．
2．元素与集合的关系
(1)属于：若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a∉A．
3．集合中元素的特性
(1)确定性；(2)互异性(元素互不相同)；
(3)无序性：如{1，2，3}和{3，2，1}表示同一个集合．
4．集合的表示
(1)列举法：列举法是把集合中的元素一一列举出来并用大括号“{}”括起来的方法(元素之间用“，”隔开)，如{1，2，3}．
(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法。它的一般形式为{x∈A|p(x)}，如{(x，y)|xy＝0}、{x|(x＋1)(x－3)＝0}、{y|y＝x2}．
5．常用数集及表示符号：
自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q；实数集R。
6．集合的分类
(1)有限集：我们把含有限个元素的集合叫有限集．
(2)无限集：含无限个元素的集合叫无限集．
(3)空集：我们把不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅．
7．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合这种图称为Venn图(可以是圆，椭圆，矩形等封闭曲线)。
8．集合相等、子集、真子集 [包含于(⊆)，包含(⊇)，真包含于()，真包含()]
概念
定义
符号表示
图形表示
集合相等
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，称集合A与集合B相等
A＝B
子集
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素(若a∈A则a∈B )，那么集合A称为集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)
真子集
如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集
AB或(BA)
9．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作AB(或BA)．
10．常用结论
(1)对于集合A，B，如果A⊆B且B⊆A则A＝B．
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C(注意A＝∅)．
(3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC．
(4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即对任何一个集合A，都有∅⊆A．
(5)空集只有一个子集，即它本身；空集无真子集．
11．n个元素的集合有
(1)2n个子集； (2)2n－1个真子集；
(3)2n－1个非空子集；(4)2n－2个非空真子集．
12．并集、交集与补集
并集A∪B
交集A∩B
补集∁U
文字符号语言
集合A和B的元素合并在一起组成的集合。
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
集合A和B的公共元素组成的集合。
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
全集U中不属于A的所有元素构成的集合。
∁U A＝{x|x∈U且x∉A}
图形语言
常用运算
A∪∅＝A；
A∪B⊇A；B⊆A∪B
A∪B＝A⇔B⊆A
(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；
A∩∅＝∅；
A∩B⊆A；A∩B⊆B；
A∩B＝A⇔A⊆B
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；
∁UU＝∅；∁U∅＝U；
∁U(∁UA)＝A；
A∪∁UA＝U；
A∩∁UA＝∅
A⊆B⇔∁UB⊆∁UA．
13．知识拓展
(1)集合的分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
(2)德·摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) [“交的补”等于“补的并”]；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB) [“并的补”等于“补的交”]
德·摩根法则的理解如图：
(3)全集与补集各部分的韦恩图表示(如图)
(4)容斥定律(求集合元素的个数)：设有限集A的元素个数为card(A)，例如集合A＝{a，b，c}，则card(A)＝3；则在求集合元素个数时常用到以下公式及图形解释(如图)
①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)
②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩B)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：集合的含义与表示
1． (2022·重庆市第二十九中学校高一期中)已知集合A={0，1，2}，B={x|x=ab，a∈A，b∈A}，则集合B中有( )个元素．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据集合B的定义，求得集合B，即可求得结果．
【解析】根据题意可得，集合B={0，1，2，4}，故其元素有4个．
故选：D．
2．(2022·海南华侨中学高一期中)已知集合A=xx=2k，k∈Z，B=xx=2m+1，m∈Z，C=xx=4n+1，n∈Z，若a∈A，b∈B，则必有( )
A．a+b∈A B．a+b∈B
C．a+b∈C D．a+b不属于集合A、B、C中的任何一个
【答案】B
【分析】设出a，b的表示形式，计算a+b后比较各集合的代表元形式可得．
【解析】由题意设a=2k，b=2m+1，其中k，m都是整数，
则a+b=2k+2m+1=2(k+m)+1，其中k+m是整数，可以是奇数也可以是偶数，
∴a+b∈B，
故选：B．
3．[多选](2022·贵州·贵阳一中高一阶段练习)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4． 下列结论正确的是( )
A．2 022∈[2]
B．－3∈[3]
C．Z=0∪1∪2∪3∪4
D．整数a，b属于同一个“类”的充要条件是a−b∈[0]
【答案】ACD
【分析】根据“类”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解析】2022=404×5+2，所以2022∈2，A选项正确．
−3=−5+2，所以−3∈2，B选项错误．
整数是由5的倍数、5的倍数加1、5的倍数加2、5的倍数加3、5的倍数加4所构成，
所以Z=0∪1∪2∪3∪4，C选项正确．
当a，b属于同一个“类”时，设a=5n1+k，b=5n2+k，n1，n2∈Z，k=0，1，2，3，4，
所以a−b=5n1−n2∈0；
当a−b∈[0]时，a−b=5n，n∈Z，所以a=5n+b，a=5n+b=b，
即a被5除所得余数和b被5除所得余数相等，也即a，b属于同一个“类”．
综上所述，整数a，b属于同一个“类”的充要条件是a−b∈[0]，D选项正确．
故选：ACD
4．(2022·海南华侨中学高一期中)设集合A＝−1，0，1，集合B＝x∈N|6x+1∈N
(1)用列举法写出集合B
(2)定义：A∗B＝x，yx∈A∩B，y∈A∪B，求A∗B中元素的个数．
【答案】(1)B＝0，1，2，5 (2)10
【分析】(1)由x∈N，6x+1∈N，解得x；
(2)先求出A∩B＝0，1，A∪B＝−1，0，1，2，5，根据定义求出A∗B，继而得解．
【解析】(1)由x∈N，6x+1∈N，所以x可以取0，1，2，5，所以B＝0，1，2，5．
(2)由题意可知：B＝0，1，2，5．
∴A∩B＝0，1，A∪B＝−1，0，1，2，5
∵A∗B＝(x，y)x∈A∩B，y∈A∪B
∴A∗B＝(0，−1)，0，0，0，1，0，2，0，5，1，−1，1，0，1，1，1，2，1，5．
∴A∗B中元素的个数为10．
必会题型二：集合间的基本关系
1．(2022·上海市彭浦中学高一期中)下列表示错误的是( )
A．0∉∅ B．∅⊆1，2
C．x，y2x+y=103x−y=5=3，4 D．若A⊆B，则A∪B=B
【答案】C
【分析】由元素与集合的关系可判断A；由集合与集合的包含关系可判断B；由描述法可判断C；由集合的包含关系与并集的定义可判断D
【解析】对于A：因为空集没有任何元素，故0∉∅，故A正确；
对于B：因为空集是任何集合的子集，故∅⊆1，2，故B正确；
对于C：x，y2x+y=103x−y=5表示2x+y=10与3x−y=5的交点所构成的集合，
所以x，y2x+y=103x−y=5=3，4，故C错误；
对于D：若A⊆B，则A∪B=B，故D正确；
故选：C
2．[多选]已知集合A=0，a+b，ab，A=2，2-b，c若A=B，则a+b+c的值可能为( )
A．32 B．2 C．232 D．12
【答案】ABD
【分析】根据A=B，得到2-b=0或c=0，分类讨论得到a的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出a+b+c的值．
【解析】因为A=B，所以2-b=0或c=0．
①当b=2时，A=0，a+2，a2，B=2，0，c，
所以a+2=2或a2=2，得a=0或4．
当a=0时，A=0，2不合题设，舍去．
当a=4时，A=0，6，2，c=6，此时a+b+c=12．
②当c=0时，A=0，a+b，ab，B=2，2-b，0，
所以a+b=2ab=2-b或a+b=2-bab=2，解得：a=0b=2或a=1b=1或a=1b=12
当a=0时，A=0，2不合题设，舍去．
当a=1b=1时，A=B=0，2，1，此时a+b+c=2．
当a=1b=12时，A=B=0，32，2，此时a+b+c=32．
故选：ABD
3．已知集合A满足1，2⊆A⊆1，2，3，4，5，2，3⊆A⊆1，2，3，5，6，则满足条件的集合A的个数为( )
A．8个 B．4个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据给定的条件，确定集合A中元素即可求解作答．
【解析】因1，2⊆A⊆1，2，3，4，5，2，3⊆A⊆1，2，3，5，6，则有1，2，3都是集合A中元素，4，6都不在A中，5可以在A中，
因此集合A可以是{1，2，3}或{1，2，3，5}，
所以满足条件的集合A的个数为2．
故选：C
4．(2022·上海·华师大二附中高一期中)已知集合A=xax2+3x−2=0有且仅有两个子集，则满足条件的实数a组成的集合是___________
【答案】−98，0
【分析】根据集合A的子集的个数得到集合A中只有一个元素，然后分a=0和a≠0两种情况求解即可．
【解析】因为集合A有且仅有两个子集，所以集合A中只有一个元素，即方程ax2+3x−2=0只有一个解，
当a=0时，3x−2=0，只有一个解，满足要求；
当a≠0时，Δ=9+8a=0，解得a=−98，所以a=−98或0．
故答案为：−98，0．
必会题型三：集合的基本运算
1．(广东省深圳科学高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题)若全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,5},B={1,2,4,6,7,8}，则∁UA∪∁UB=( )
A．∅ B．{3,4,5,6,7,8,9} C．{9} D．{1,2}
【答案】B
【分析】由补集与并集的概念求解，
【解析】由题意得∁UA={4,6,7,8,9}，∁UB={3,5,9}，∁UA∪∁UB={3,4,5,6,7,8,9}
故选：B
2．(2022·陕西·渭南市瑞泉中学高一阶段练习)已知集合M＝x−1
【答案】A
【分析】由定义域得到不等式，解不等式求出N＝−1，32，从而求出交集．
【解析】3+x−2x2≥0，解得：−1≤x≤32，所以N＝−1，32，
所以M∩N＝−1，1∩−1，32＝−1，1．
故选：A
3．[多选](辽宁省名校联盟2022-2023学年高一11月选科适应性考试数学试题)对于集合M，N，定义M−N={xx∈M且x∉N}，设全集U=x∈Z−3
C．M−N={−2} D．∁U(N−M)={−2,−1,2,3}
【答案】CD
【分析】根据集合的新定义以及交并补运算，即可求解．
【解析】根据集合的互异性，即可判断A错，
M的非空真子集个数为23−2=6，即可判断B错，
根据M−N={xx∈M且x∉N}，即可判断C对，
N−M={0,1},∁U(N−M)={−2,−1,2,3}，即可判断D对，
故选：CD．
4．(湖南省衡阳市田家炳实验中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题)已知集合A=x3
(2)求：∁RA∪B，A∪(∁RB)．
【答案】(1)xx<2或x>10，xx≤3或x≥5；
(2)R，xx<2或3
【分析】根据集合的交、并、补运算求解即可．
【解析】(1)由题意，A∪B={x|2≤x≤10}，A∩B={x|3
(2)由题意，∁RA =xx≤3或x≥5，∁RB= xx<2或x>10，
故∁RA∪B=R，A∪(∁RB)= xx<2或3
5．(浙江省台州市三门第二高级中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题)已知集合A=xa−1
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
【答案】(1)A∪B=x−2≤x<7，∁RA∩B=x−2≤x≤1
(2)a≤−4或−1≤a≤12
【分析】(1)代入a=2，得到集合A，根据集合运算的概念求解即可；
(2)由已知可得，A⊆B，对A=∅与A≠∅分别求解．
【解析】(1)当a=2时，集合A=x1
又U=R，∴∁RA=x|x≤1或x≥7，
∴∁RA∩B=x−2≤x≤1．
(2)若A∩B=A，则A⊆B，
当a−1≥2a+3，即a≤−4时，A=∅，满足题意；
当A≠∅，即a>−4时，应满足a−1≥−22a+3≤4，解得−1≤a≤12；
综上知，实数a的取值范围是a≤−4或−1≤a≤12．
必会题型四：Venn图法解决集合运算问题
1．(2022·陕西·交大附中高一期中)已知集合A＝x∈N1≤x≤6，B＝xx2−x−6≤0，则如图中阴影部分表示的集合为( )．
A．0，1，2 B．1，2，3 C．−3，0，1，2 D．−2，0，1，2，3
【答案】B
【分析】由自然数集N的定义化简集合A，解二次不等式化简集合B，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为A∩B，由此得解．
【解析】易知A＝x∈N1≤x≤6＝1，2，3，4，5，6，
由x2−x−6≤0得x−3x+2≤0，故−2≤x≤3，则B＝x−2≤x≤3，
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为A∩B，而A∩B＝1，2，3，
所以图中阴影部分表示的集合为1，2，3．
故选：B．
2．(重庆市璧山区2022-2023学年高一上学期10调研数学试题)图中阴影部分表示的集合为( )
A．∁UA∩B B．A∩∁UB C．∁UA∩∁UB D．∁U(A∩B)
【答案】A
【分析】根据集合的交并补运算逐个选项验证即可．
【解析】根据补集和交集的概念可知A选项的∁UA∩B符合题意；
由图可知，阴影部分为集合B的子集，而∁UB不是B的子集，故排除选项B、C；
∁U(A∩B)表示的区域如图：
所以D不符题意；
故选：A．
3．[多选](江苏省苏州市第五中学2022-2023学年高一上学期10月阶段性测试数学试题)正确表示图中阴影部分的是( )
A．∁UM∩∁UN B．∁UM∪N
C．∁UM∩N D．∁UM∪N
【答案】AD
【分析】根据阴影位于M与N并集的外部即可作出判断．
【解析】根据图中阴影可知，∁UM∪N符合题意，
又∁UM∪N=∁UM∩∁UN．
故选：AD
4．某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛有40人，参加物理竞赛有45人，参加化学竞赛有30人，同时参加物理、化学竞赛有15人，同时参加数学、物理竞赛有20人，同时参加数学、化学竞赛有10人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有______名．
【答案】10
【分析】利用容斥原理即可求解．
【解析】设三个学科竞赛都参加的学生为x人，
结合已知条件可知，
只参加物理、化学两个科目竞赛的学生为15−x人，
只参加数学、物理两个科目竞赛的学生为20−x人，
只参加数学、化学两个科目竞赛的学生为10−x人，
只参加物理竞赛的学生为45−(15−x)−x−(20−x)＝10+x人，
只参加化学竞赛的学生为30−(15−x)−x−(10−x)＝5+x人，
只参加数学竞赛的学生为40−(20−x)−x−(10−x)＝10+x人，
如下图所示：
故45−20−15−x+40−20−10−x+30+20−x＝80，解得x＝10，
故都参加的学生人数为10人，
故答案为：10．
必会题型五：分类讨论法解决元素与集合关系问题
1．(北京市第十五中学南口学校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题)已知M=1,2,a2−3a−1，N=1,3，且N⫋M，则a的值为( )
A．−1 B．4
C．−1或4 D．1或−4
【答案】C
【分析】根据集合间的关系和元素与集合的关系，可知a2−3a−1=3，解方程即可得出答案．
【解析】因为M=1,2,a2−3a−1，N=1,3，且N⫋M，
所以a2−3a−1=3，解得：a=−1或a=4，
故选：C．
2．[多选](四川省成都市树德中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题)下列四个命题：其中不正确的命题为( )
A．已知集合A=yy=x2+1，集合B=xy=x2+1，则A∩B=∅
B．集合x∈N|5x+1∈N中有两个元素
C．由方程x2−2x+1=0的所有实根构成的集合中的元素之和为2
D．记A=x|x=2k+1,k∈Z,B=x|x=4n±1,n∈Z，则A=B
【答案】AC
【分析】利用集合的定义可判断对错．
【解析】A=y|y≥1,B=R,A∩B=x|x≥1，所以A选项错误；
因为集合x∈N|5x+1∈N=0,4，所以B选项正确；
由于x|x2−2x+1=0=1，集合中只有一个元素，和为1，所以C选项错误；
对于集合A，当k=2n时，x=4n+1,n∈Z，当k=2n−1时，x=4n−1,n∈Z，即A=x|x=4n±1,n∈Z=B，所以D选项正确．
故选:AC．
3．(河南省南阳市六校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题)已知集合A=1,2,3，B=1,m,n，若2−m∈A，n+2∈A，则m+n=______．
【答案】−1
【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到m=0n=−1或m=−1n=0，即可得到答案．
【解析】因为2−m∈A，所以2−m=1或2−m=2或2−m=3，
解得m=1或m=0或m=−1，
因为n+2∈A，所以n+2=1或n+2=2或n+2=3，
解得n=−1或n=0或n=1，
又因为B={1,m,n}，所以m=0n=−1或m=−1n=0，即m+n=−1．
故答案为：−1
4．(1)设集合A＝{a2，a＋1，−1}，B＝{2a－1，|a－2|，3a2＋4}，A∩B＝−1，求实数a的值．
(2)设集合A＝x2，2x−1，−4，B＝x−5，1−x，9，若A∩B＝9，求实数x的值．
【答案】(1)a＝0；(2)x＝−3
【分析】根据A∩B的结果，对A、B的元素分类讨论即可
【解析】(1)∵A∩B＝−1，∴−1∈B，而|a－2|≥０，3a2＋4＞０，∴2a－1＝－1，则a＝0，
此时A＝{0，1，－1}，B＝｛－1，2，4｝，A∩B＝−1，符合题意．
故a＝0；
(2)因为A＝x2，2x−1，−4，B＝x−5，1−x，9，A∩B＝9，
若x2＝9，则x＝±3，
当x＝3时，x−5＝1−x＝−2，不满足题意；
当x＝−3时，A＝{9，−7，−4}，B＝{−8，4，9}，A∩B＝9，满足题意；
若2x−1＝9，则x＝5，此时A＝25，9，−4，B＝0，−4，9，则A∩B＝{9，−4}，不满足题意；
综上，x＝−3．
必会题型六：根据集合包含关系求参数值或范围
1． (山东省菏泽市2022-2023学年高一上学期期中数学试题)设集合A=x−1≤x≤4，集合B=xx≥a，若A⊆B，则a的取值范围为( )
A．a≥4 B．−1≤a≤4
C．a<−1 D．a≤−1
【答案】D
【分析】根据集合的包含关系即可得解．
【解析】因为集合A=x−1≤x≤4，集合B=xx≥a，A⊆B，
所以a≤−1．
故选：D．
2．(辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题)集合A=xx<−1或x≥3，B=xax+1≤0若B⊆A，则实数a的取值范围是( )
A．−13,1 B．−13,1
C．−∞,1∪0,+∞ D．−13,0∪0,1
【答案】A
【分析】根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．
【解析】∵B⊆A，
∴①当B=∅时，即ax+1≤0无解，此时a=0，满足题意．
②当B≠∅时，即ax+1≤0有解，
当a>0时，可得x≤−1a，
要使B⊆A，则需要a>0−1a<−1，解得0
要使B⊆A，则需要a<0−1a≥3，解得−13≤a<0，
综上，实数a的取值范围是−13,1．
故选：A．
3．(辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题)已知集合A=x2a+1≤x≤3a−5，B={xx<−1或x>16} ．
(1)若A为非空集合，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
【答案】(1)a≥6
(2)a<6或a>152
【分析】(1)由条件可知，2a+1≤3a−5，即可求解不等式；
(2)分A=∅和A≠∅两种情况，列不等式求解．
【解析】(1)若A为非空集，则2a+1≤3a−5，解得：a≥6；
(2)若A∩B=A，则A⊆B，
当A=∅时，2a+1>3a−5，解得：a<6，
当A≠∅时，2a+1≤3a−53a−5<−1 ，解得：∅
或2a+1≤3a−52a+1>16，解得：a>152
所以实数a的取值范围是a<6或a>152
4．(山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题)已知集合．A=x|a−2≤x≤a+2，B={x|x≤−1或x≥2}．
(1)当a=3时，求A∩B，A∪∁RB；
(2)若A∪B=R，求实数a的取值范围
【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤5}，A∪∁RB= {x−1
【分析】(1)应用集合的交、并、补运算求集合即可；
(2)根据并集结果得a−2≤−1a+2≥2，即可求参数范围．
【解析】(1)a=3时，A={x|1≤x≤5}，所以A∩B={x|2≤x≤5}，
因为∁RB= x−1
5．(江苏省苏州市吴县中学教育集团2022-2023学年高一上学期10月学业质量阳光指标调研数学试题)设全集为U=R，集合A={x|−2
(1)求如图阴影部分表示的集合；
(2)已知集合C={x|a
【答案】(1)x|−2
(2)依题意可得a>02a≤6，解得即可．
【解析】(1)解：因为A={x|−2
所以图中阴影部分表示∁AA∩B=x|−2
所以a>02a≤6，解得0
(1)若a=−1，求A∪∁RB；
(2)若A∩B=∅，求a的取值范围．
【答案】(1)A∪CRB=x−2≤x≤5
(2)x−12≤a≤2或a>3
【分析】(1)根据题意，先求出集合A的补集，再利用集合的并集运算求解即可；
(2)根据集合的包含关系分A=∅和A≠∅两种情况进行讨论即可求解．
【解析】(1)若a=−1，则集合A=x−2≤x≤2，
所以∁RB=x−1≤x≤5，
所以A∪CRB=x−2≤x≤5；
(2)因为集合A=x2a≤x≤a+3，B={x|x<−1或x>5}，
因为A∩B=∅，所以分以下两种情况：
若A=∅，即2a>a+3，解得a>3，满足题意，
若A≠∅，则2a≥−1a+3≤52a≤a+3
解得−12≤a≤2，
综上所述a的取值范围为x−12≤a≤2或a>3
7．已知A=xx2−2x−3≤0，B=xx−a≤1，a∈R．
(1)若A∪B=A，求出实数a的取值范围；
(2)若a∈A，求A∩B．
【答案】(1)0≤a≤2
(2)答案见解析
【分析】(1)求出集合AB，然后根据并集结果列不等式求解即可；
(2)分a−1<−1
B=xx−a≤1，a∈R=−1+a，1+a
∵A∪B=A，∴B⊆A∴−1+a≥−11+a≤3
解得0≤a≤2
(2)由(1)A=−1，3，B=−1+a，1+a，a∈−1，3，
当a−1<−1
(1)若a=1，求A∪B；
(2)求实数a的取值范围，使___________成立．
从①A⊆∁RB，②B⊆∁RA，③∁RA∩B=∅中选择一个填入横线处求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)x0
选2，a≤0或a≥6；
选3，2≤a≤4．
【分析】(1)根据对数函数的单调性求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合并集的概念和运算即可得出结果；
(1)根据(1)和补集的概念和运算求出∁RA和∁RB，利用集合间的包含关系和交并补的运算即可求出对应条件的参数．
【解析】(1)A={xlog2(x−1)<2}={x0
若选①，A⊆∁RB，则a+1≤1或a−1≥5，
解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6；
若选②，B⊆∁RA，则a+1≤1或a−1≥5，
解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6；
若选③，(∁RA)∩B=∅，则1≤a−1a+1≤5，
解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．
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