2023年中考数学一轮复习 考点23 相似三角形

2023年中考数学一轮复习

考点23  相似三角形

一、选择题

1．若，则的值为（　　）

A．    B．    C．    D．1

2．已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（　　）

A．  B．

C． D．

3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），BC＝3，则EF的长为（　　）

A．2   B．4.5   C．4   D．6

4．如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒处准备了一支蜡烛，蜡烛长为，纸筒的长度为，则这支蜡烛所成像的高度为（　　）

A． B． C． D．

5．如图，△ABC与△DEF位似，点O位似中心，若BE＝3OB，S△ABC＝3，则S△DEF等于（　　）

A．48  B．36  C．27  D．9

6．如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，的三个顶点和线段的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点也在等边三角形的顶点上，能使与相似的点有（   ）个．             

A．1  B．2  C．3  D．4

7．如图，已知P、Q是边AB的三等分点，△ABC的面积为27，现从AB边一点D，沿平行BC的方向剪下一个面积为7的三角形，则点D在（ ）

A．线段AP上

B．线段PQ上，且靠近P点

C．线段PQ上，且靠近Q点

D．线段BQ上

8．如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则下列说法中正确的是（  ）

A．大鱼与小鱼的相似比是

B．对应点到位似中心的距离比是

C．大鱼与小鱼的面积比是

D．若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是（，）

9．如图1，线段长为2，点是线段上一动点（不与端点重合），设长为，如图2，在同一直角坐标系中甲表示的值随的变化情况，乙表示的值随的变化情况，则点所对应的值为（  ）

A．  B．1  C．  D．

10．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．

甲方案：如图1所示，最大值为16；

乙方案：如图2所示，最大值为16．

下列选项中说法正确的是（  ）

A．甲方案正确，周长和的最大值错误

B．乙方案错误，周长和的最大值正确

C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确

D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误

二、填空题

11．若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝40°，∠B＝100°，则∠C'的度数为 　  　．

12. 如图，点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，AA1＝2OA，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为 　   　．

13．点P是Rt△ABC的斜边AB上异于A、B的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线有 　   　条．

14．如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面AB＝　  　．

15. 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 　   　．

三、解答题

16．如图，△ABC在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（4，6）．以原点O为位似中心，在第三象限画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2，并写出点C的对应点C1的坐标．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D在AB上．

（1）当△ABC∽△CBD时，求BD的长；

（2）在（1）中的CD是否平分∠ACB？如果平分，说明理由；如果不平分，利用备用图，画出∠ACB的平分线CD（CD交AB于D），并求BD的长．

19．如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度．

步骤一：在地面BC上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线；

步骤二：从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线．

下面是某同学根据测量结果，计算清虚阁的高度时的部分过程：

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

......

任务：

(1)请根据上面的思路，补充剩余的解答过程．

(2)该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）

参考答案

一、选择题

1~5  CBBBA  6~10  DCCCD

二、填空题

11． 40° 12． 45 13． 3  14． 3cm  15．3秒或4.8秒

三、解答题

16．解：如图所示，△A1B1C1即为所求，点C的对应点C1的坐标为（﹣2，﹣

3）．

17．解：如图，点D即为所求．

18．解：（1）∵△ABC∽△CBD，

∴，

∵BC＝4，AB＝6，

∴，

解得BD.

（2）在（1）中的CD不平分∠ACB，

理由是：过B作BE∥DC，交AC的延长线于E，如图1.

∵DC∥BE，

∴∠E＝∠ACD，∠DCB＝∠CBE，，

∵BD，AD＝AB﹣BD＝6，AC＝6，

∴，

∴CE＝4.8，

∵BC＝4.

∴CE≠BC，

∴∠E≠∠CBE，即∠ACD≠∠DCB，

∴CD不平分∠ACB.

当CD平分∠ACB时，如图2.

∵DC∥BE，

∴∠E＝∠ACD，∠DCB＝∠CBE，，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴∠E＝∠CBE，

∴CE＝BC＝4，

∵，

∴，

解得BD＝2.4．

19.解：（1）∵，

即，

∴，解得.

∴，即，

∴.

（2）没有太阳光，或测量楼阁的影子长度有困难（答案不唯一）