高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 圆锥曲线中的一类对称问题 素材

圆锥曲线中的一类对称问题 圆锥曲线上存在两点关于直线对称问题是高考中的一类热点问题，该问题集直线与圆锥曲线位置关系，点与圆锥曲线的位置关系，中点弦，方程与不等式等数学知识于一体，经常在知识网络交汇处、思想方法的交汇线和能力层次的交叉区设置问题，一般问题的综合性较强，但难度不是很大，具有很好的选拔功能，对学生的知识和能力的考察情况也较好。下面本文就这一类问题的解决方法，结合下面的例题，谈一下自己的看法。例：已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称。 法一：利用判别式及韦达定理来求解 两点关于直线对称，对称中体现的两要点：垂直和两点连线中点在对称直线上，因此使用这种方法求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就说明三个确保的实施。解:椭圆上存在两点关于直线对称设直线为:    (确保垂直).则直线与椭圆有两个不同的交点   (确保存在)即：        ①两点的中点的横坐标为纵坐标为则点在直线上,.   (确保平分)把上式代入①中,得：法二：点差法 点差法是解决中点弦问题的一种常见方法，对称问题符合点差法的应用条件，过程如下解:设椭圆上关于对称的两点分别为，弦的中点为，代入椭圆方程后作差，得            ①由点在直线上，得       ②由①②解得因为点在椭圆的内部所以 解得 法三：利用根的分布求解 上存在不同的两点关于直线对称，等价于上存在被垂直平分的弦，即等价于的适合条件的弦所在的直线方程，与曲线的方程组成的方程组在某确定的区间上有两不同的解，因此可利用一元二次方程根的分布来求解，过程如下。解：由解法二，知中点的坐标为，所以直线的方程为代入椭圆方程整理得此方程在上有两个不等实根令，则           解得   法四： 平行弦中点轨迹法寻求有关弦中点轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围。解：设椭圆上关于对称的两点分别为，弦的中点为，将坐标代入椭圆方程后作差，得            所以以为斜率的平行弦的中点轨迹是直线在椭圆内的一段，不包括端点。将与椭圆联立得两交点所以问题可以转化为直线与线段  有交点。易得的取值范围是以上方法在处理其它圆锥曲线时同样适用，但在处理非封闭曲线时，应注意对是否存在的验证。以上是笔者对这类问题的一点拙见，方法总结未必全面，希望能给各位读者带来帮助，也希望各位读者批评指正。