2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（08）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（08），共31页。试卷主要包含了2＝x﹣3的根是　 　等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（08）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列解方程的结果正确的是（　　）
A．x2＝﹣11，解得x=±11
B．（x﹣1）2＝4，解得x﹣1＝2，所以x＝3
C．x2＝7，解得x=±7
D．25x2＝1，解得25x＝±1，所以x=±125
2．（3分）AB是⊙O的弦，∠AOB＝160°，则AB所对的圆周角是（　　）
A．40° B．40°或140° C．20° D．80°或100°
3．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是s甲2＝0.25，s乙2＝0.3，s丙2＝0.4，s丁2＝0.35，你认为派谁去参赛更合适（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币2021次，正面朝上最有可能接近的次数为（　　）
A．800 B．1000 C．1200 D．1400
5．（3分）一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（　　）
A．22 B．32 C．42 D．52
6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，下列式子一定能成立的是（　　）
A．a＝csinB B．a＝bcosB C．c＝atanB D．a＝btanA
7．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且满足△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则CE的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）下列图形中阴影部分的面积相等的是（　　）

A．甲乙 B．乙丙 C．丙丁 D．甲丁
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
9．（4分）抛物线y＝4﹣x2的顶点坐标　 　．
10．（4分）方程（x﹣3）2＝x﹣3的根是　 　．
11．（4分）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在字母C的方砖上的概率是 　 　．

12．（4分）某校九（1）班10名同学进行“引体向上”训练，将他们做的次数进行统计，制成下表，则这10名同学做的次数组成的一组数据中，中位数为 　 　．
次数
4
5
6
7
8
人数
2
3
2
2
1
13．（4分）把一个半径为12，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥（按缝处不重叠），那么这个圆锥的高是　 　．
14．（4分）如图，⊙O与等边三角形ABC的两边AB，BC都相切，连结OC．已知⊙O的半径为3，△ABC的边长为8，则tan∠OCB＝　 　．

15．（4分）如图，在平面直角坐标系中直线y=−34x+6与x轴、y轴分别交于点B、A，C为OA上一点，且OC＝2，点E是线段BC上一点，连接AE并延长交OB于点D，若∠AEC＝45°时，则OD的长是 　 　．

16．（4分）如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为　 　．

三．解答题（共10小题，满分84分）
17．（8分）（1）计算：（3﹣π）0+4sin45°−8+|1−3|；
（2）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（8分）某商场招聘员工一名，现有甲、乙、丙三人竞骋．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成缋（百分制）如下表所示．若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占50%，30%，20%，计算三名应试者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
应试者
计算机
语言
商品
知识
甲
70
50
80
乙
90
75
45
丙
50
60
85
19．（6分）四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（1，3）、B（5，2）、C（8，4）、D（6，9），以原点为位似中心，相似比为12的位似图形A1B1C1D1，且四边形A1B1C1D1在第一象限．写出各点坐标．
20．（8分）体育课上，小明、小强、小华三人在足球场上练习足球传球，足球从一个人传到另个人记为踢一次．如果从小强开始踢，请你用列表法或画树状图法解决下列问题：
（1）经过两次踢球后，足球踢到小华处的概率是多少？
（2）经过三次踢球后，足球踢回到小强处的概率是多少？
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点G为边BC上一点，过点G作GE⊥AG，且GE＝2AG，GE交DC于点F，连接AE．

（1）求证：△ABG∽△GCF；
（2）连接CE，求证：∠DCE＝∠AEG；
（3）当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．
22．（8分）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠BAD＝∠B＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．

23．（8分）图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD是取暖器的主体，四边形BEFC是底座．已知BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，烘干架连杆GH可绕边CD上一点H旋转，以调节角度．已知CD＝52cm，BC＝8cm，EF＝20cm，DH＝12cm，GH＝16cm．
（1）求BE的长．（精确到0.1cm，3≈1.73）
（2）当∠GHD＝53°时，求点G到地面EF的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

24．（8分）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地AEGH，为美化环境，用总长为121米的篱笆围成5块矩形花圃，其中除矩形ABCD外，其它4个矩形的周长都相等，若AD：AB＝2：3，设AD＝x米，DP＝y米．
（1）求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，矩形DPNC的面积有最大值？最大值是多少？

25．（10分）问题提出：
若任意两个正数的积是一个固定的数值，则它们的和会存在怎样的规律呢？
特例研究：
（1）若两个正数的积是4，则这两个正数是：1和4，2和2，12和8，35和203，…，它们的和分别是5，4，812，7415，…，初步判断：当这两个正数是2和2时，两数的和有最小值为4；
（2）若两个正数的积是8，则这两个正数是：1和8，2和4，12和16，22和22，2和42⋯，它们的和分别是9，6，1612，42，52，…，初步判断：当这两个正数是22和22时，两数的和有最小值为42．
方法迁移：
若a，b为正数，∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab．
∴对于任意正数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当a＝b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．
问题解决：
仿照上面的方法说明：对于正数a，b，若ab是一个固定的数值，当a，b满足什么数量关系时，a+b存在一个最小值，最小值是多少？
类比应用：
利用上面所得到的结论，完成填空：
（1）已知函数y1＝x（x＞0）与函数y2=1x（x＞0），则当x＝　 　时，y1+y2取得最小值为　 　；
（2）已知函数y1＝x+2（x＞﹣2）与函数y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2），则当x＝　 　时，y2y1的最小值为　 　；
（3）当x＞1时，代数式x+6x−1有最　 　值为　 　；
（4）如图，已知P是反比例函数y=1x（x＞0）图象上任意一动点，O（0，0），A（﹣1，1），试求△POA的最小面积．

26．（12分）【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是　 　；

【问题探究】如图2所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得△PEF周长的最小值为　 　km；
【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在AB上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．
①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）
②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．
请问：在AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．

答案与解析

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列解方程的结果正确的是（　　）
A．x2＝﹣11，解得x=±11
B．（x﹣1）2＝4，解得x﹣1＝2，所以x＝3
C．x2＝7，解得x=±7
D．25x2＝1，解得25x＝±1，所以x=±125
试题分析：根据一元二次方程的解法即可求出答案．
答案详解：解：A．x2＝﹣11，原方程无实数根，故不符合题意，
B．（x﹣1）2＝4，解得x﹣1＝±2，得出x＝3或x＝﹣1，故不符合题意；
C．x2＝7，解得x=±7，故符合题意；
D.25x2＝1，解得5x＝±1，所以x=±15，故不符合题意．
所以选：C．
2．（3分）AB是⊙O的弦，∠AOB＝160°，则AB所对的圆周角是（　　）
A．40° B．40°或140° C．20° D．80°或100°
试题分析：此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．
答案详解：解：如图：

当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：
∠ACB=12∠AOB=12×160°＝80°；
当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：
∠ADB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°；
所以弦AB所对的圆周角是80°或100°．
所以选：D．
3．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是s甲2＝0.25，s乙2＝0.3，s丙2＝0.4，s丁2＝0.35，你认为派谁去参赛更合适（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
试题分析：根据方差越小，成绩越稳定即可判断．
答案详解：解：因为方差越小成绩越稳定，
所以选甲．
所以选：A．
4．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币2021次，正面朝上最有可能接近的次数为（　　）
A．800 B．1000 C．1200 D．1400
试题分析：先求出抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率即可解答．
答案详解：解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是12，
∴2021×12≈1010，
∴抛掷一枚质地均匀的硬币2021次，正面朝上最有可能接近的次数为1000次，
所以选：B．
5．（3分）一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（　　）
A．22 B．32 C．42 D．52
试题分析：根据正方形与圆的性质得出AB＝BC，以及AB2+BC2＝AC2，进而得出正方形的边长即可．
答案详解：解：如图所示：⊙O的半径为4，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴AC＝2×4＝8，
∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴AB2+BC2＝64，
解得：AB＝42，
即⊙O的内接正方形的边长等于42．
所以选：C．

6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，下列式子一定能成立的是（　　）
A．a＝csinB B．a＝bcosB C．c＝atanB D．a＝btanA
试题分析：根据三角函数的定义就可以解决．
答案详解：解：根据锐角三角函数的概念可得：
a＝c•sinA；a＝b•tanA；b＝atanB．
故A，B，C均错误，D正确．
所以选：D．
7．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且满足△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则CE的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
试题分析：根据相似及角相等，推对应线段成比例，再把已知线段的长代入求出AE，进而求出CE．
答案详解：解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，
∴ADAC=AEAB，
∴48=AE10，
∴AE＝5，
∴CE＝AC﹣AE＝3，
所以选：B．
8．（3分）下列图形中阴影部分的面积相等的是（　　）

A．甲乙 B．乙丙 C．丙丁 D．甲丁
试题分析：首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．
答案详解：解：甲：直线y＝﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=12×2×2＝2；
乙：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；
丙：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=12×2×1＝1；
丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=12xy=12×2＝1；
因此丙、丁的面积相等，
所以选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
9．（4分）抛物线y＝4﹣x2的顶点坐标　（0，4）　．
试题分析：根据二次函数的性质解答即可．
答案详解：解：抛物线y＝4﹣x2＝﹣x2+4的顶点坐标（0，4），
所以答案是：（0，4）．
10．（4分）方程（x﹣3）2＝x﹣3的根是　x1＝3，x2＝4　．
试题分析：把（x﹣3）看作整体，移项，分解因式求解．
答案详解：解：（x﹣3）2＝x﹣3，
（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣1）＝0，
∴x1＝3，x2＝4．
11．（4分）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在字母C的方砖上的概率是 　13　．

试题分析：因为方砖共有3×5＝15块，其中字母C的方砖有5块，而停在任何一块砖的机会相同，根据概率的含义即可求得停在字母C的方砖上的概率．
答案详解：解：∵方砖共有3×5＝15块，其中字母C的方砖有5块，
而停在任何一块砖的机会相同，
∴停在字母C的方砖上的概率是515=13．
所以答案是13．
12．（4分）某校九（1）班10名同学进行“引体向上”训练，将他们做的次数进行统计，制成下表，则这10名同学做的次数组成的一组数据中，中位数为 　5.5　．
次数
4
5
6
7
8
人数
2
3
2
2
1
试题分析：根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
答案详解：解：10名同学做的次数的中位数是5+62=5.5，
所以答案是：5.5．
13．（4分）把一个半径为12，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥（按缝处不重叠），那么这个圆锥的高是　119　．
试题分析：设这个圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=150⋅π⋅12180，然后求出r后利用勾股定理计算圆锥的高．
答案详解：解：设这个圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=150⋅π⋅12180，解得r＝5，
所以圆锥的高=122−52=119．
所以答案是119．
14．（4分）如图，⊙O与等边三角形ABC的两边AB，BC都相切，连结OC．已知⊙O的半径为3，△ABC的边长为8，则tan∠OCB＝　35　．

试题分析：过点O作OP⊥BC于点P，OQ⊥AB与点Q，连接BO，可知△OBP为含30°角的直角三角形，进而可求出BP，得出结果．
答案详解：解：如图，过点O作OP⊥BC于点P，OQ⊥AB与点Q，连接BO，

∵OP＝OQ，BO＝BO，
∴Rt△BOP≌Rt△BOQ（HL），
∴∠OBP＝∠OBQ＝30°，
∵OP=3，
∴BP=3OP=3，
∴CP＝BC﹣BP＝5，
∴tan∠OCB=OPPC=35，
所以答案是：35．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中直线y=−34x+6与x轴、y轴分别交于点B、A，C为OA上一点，且OC＝2，点E是线段BC上一点，连接AE并延长交OB于点D，若∠AEC＝45°时，则OD的长是 　10　．

试题分析：过点A作AF⊥AD，交BC的延长线于点F，过点A作x轴的平行线MN，交过点E与y轴的平行线于点M，交过点F与y轴的平行线于点N，得到△AEF为等腰直角三角形，再证明△EMA≌△ANF（AAS），求出点E的坐标，进而求出直线AE的表达式，进一步即可求解OD的长．
答案详解：解：过点A作AF⊥AD，交BC的延长线于点F，过点A作x轴的平行线MN，交过点E与y轴的平行线于点M，交过点F与y轴的平行线于点N，
∵直线y＝﹣34x+6与x轴、y轴分别交于点B、A，
∴B（8，0），A（0，6），
∴OA＝6，OB＝8，
∵C为OA上一点，且OC＝2，
∴C（0，2），
∴直线BC的表达式为y=−14x+2，
设E（m，−14m+2），
∵∠EAF＝90°，∠AEC＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE，
∵∠FAN+∠AFN＝90°＝∠FAN+∠EAM，
∴∠AFN＝∠EAM，
在△EMA和△ANF中，
∠AFN=∠EAM∠ANF=∠EMA=90°AF=EA，
∴△EMA≌△ANF（AAS），
则AN＝ME＝6+14m﹣2=14m+4，NF＝AM＝m，
则点F的坐标为（−14m﹣4，6﹣m），
将点F的坐标代入y=−14x+2得6﹣m=−14（−14m﹣4）+2，
解得m=4817，
故点E的坐标为（−8017，5417），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y=−35x+6，
令y=−35x+6＝0，解得x＝10，
故OD＝10，
所以答案是：10．

16．（4分）如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为　154　．

试题分析：在三角形中由同底等高，同底倍高求出S△ADC=32，根据三角形相似的判定与性质的运用，等距平行线间的对应线段相等求出S△BDC=94，最后由三角形的面积的和差法求得S△ABC=154．
答案详解：解：连接DC，设平行线间的距离为h，
AD＝2a，如图所示：

∵S△DEF=12DE⋅2ℎ=DE⋅ℎ，
S△ADE=12DE⋅2ℎ=DE⋅ℎ，
∴S△DEF＝S△DEA，
又∵S△DEF＝1，
∴S△DEA＝1，
同理可得：S△DEC=12，
又∵S△ADC＝S△ADE+S△DEC，
∴S△ADC=32，
又∵平行线是一组等距的，AD＝2a，
∴BD＝3a，
又∵S△ADC=12AD⋅k=ak，
S△BDC=12BD⋅k=32ak，
∴S△BDC=32×32=94，
又∵S△ABC＝S△ADC+S△BDC，
∴S△ABC=94+32=154，
所以答案是154．
三．解答题（共10小题，满分84分）
17．（8分）（1）计算：（3﹣π）0+4sin45°−8+|1−3|；
（2）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．
试题分析：（1）原式利用算术平方根定义，特殊角的三角函数值，绝对值以及零指数幂法则计算即可求出值；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
答案详解：解：（1）原式＝1+4×22−22+3−1
＝1+22−22+3−1
=3；
（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
18．（8分）某商场招聘员工一名，现有甲、乙、丙三人竞骋．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成缋（百分制）如下表所示．若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占50%，30%，20%，计算三名应试者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
应试者
计算机
语言
商品
知识
甲
70
50
80
乙
90
75
45
丙
50
60
85
试题分析：根据加权平均数的计算公式分别列出算式，再进行计算即可．
答案详解：解：甲成绩：70×50%+50×30%+80×20%＝66（分），
乙成绩：90×50%+75×30%+45×20%＝76.5（分），
丙成绩：50×50%+60×30%+85×20%＝60（分），
因此乙成绩最高，应被录取．
19．（6分）四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（1，3）、B（5，2）、C（8，4）、D（6，9），以原点为位似中心，相似比为12的位似图形A1B1C1D1，且四边形A1B1C1D1在第一象限．写出各点坐标．
试题分析：根据位似变换后的图形的对应点的坐标等于原图形对应的坐标常用位似比，将A、B、C、D的横纵坐标乘以12即可得到新图形的各顶点的坐标．
答案详解：解：∵以圆点为位似中心，位似比为12，
∴对应的点的比为12，
∵A（1，3）、B（5，2）、C（8，4）、D（6，9），
∴A1（0.5，1.5）B1（2.5，1）C1（4，2）D1（3，4.5）．
20．（8分）体育课上，小明、小强、小华三人在足球场上练习足球传球，足球从一个人传到另个人记为踢一次．如果从小强开始踢，请你用列表法或画树状图法解决下列问题：
（1）经过两次踢球后，足球踢到小华处的概率是多少？
（2）经过三次踢球后，足球踢回到小强处的概率是多少？
试题分析：（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和足球踢到小华处的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和足球踢到小强处的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
答案详解：解：（1）画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，经过两次踢后，足球踢到了小华处的有1种情况，
∴P（经过两次踢球后，足球踢到小华处）=14．

（2）画树状图得：

由树状图可知，P（经过三次踢球后，足球踢回到小强处）=14．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点G为边BC上一点，过点G作GE⊥AG，且GE＝2AG，GE交DC于点F，连接AE．

（1）求证：△ABG∽△GCF；
（2）连接CE，求证：∠DCE＝∠AEG；
（3）当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．
试题分析：（1）根据两组对应角相等的三角形相似进行判定即可；
（2）连接AC，交GE于M点，先证明△AGE∽△ABC得∠AEG＝∠ACB，进一步证得△AME∽△GMC和△AMG∽△EMC，得到∠ECM＝90°，最终根据余角性质推出∠ACB＝∠DCE，即可得证；
（3）作EH⊥BC的延长线于H点，设BG＝x，根据△ABG∽△GHE，分别表示出EH、BH，再通过△DCB∽△EHB建立方程求解并检验即可．
答案详解：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵GE⊥AG，
∴∠AGB+∠CGF＝90°，
∴∠BAG+∠AGB＝90°，
∴∠BAG＝∠CGF，
∴△ABG∽△GCF；
（2）如图所示，连接AC，交GE于M点，

∵GE＝2AG，BC＝2AB，
∴GEBC=AGAB，
又∵∠AGE＝∠B＝90°，
∴△AGE∽△ABC，
∴∠AEG＝∠ACB，
∵∠AME＝∠GMC，
∴△AME∽△GMC，
∴AMGM=MEMC，
又∵∠AMG＝∠EMC，
∴△AMG∽△EMC，
∴∠AGM＝∠ECM＝90°，
即：∠BCD＝∠ECM＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠AEG＝∠DCE；
（3）如图，作EH⊥BC的延长线于H点，设BG＝x，

∵△ABG∽△GHE，GE＝2AG，
∴EH＝2BG＝2x，GH＝2AB＝4，
则BH＝BG+GH＝4+x，
∵△DCB∽△EHB，
∴DCBC=EHBH=12，
∴2x4+x=12，
解得：x=43，
经检验，x=43是原分式方程的解，
∴BG的长为43．
22．（8分）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠BAD＝∠B＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．

试题分析：（1）连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出BD，分别求出三角形ODB和扇形ODC的面积，即可求出答案．
答案详解：（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，∠BAD＝30°，
∴∠ADO＝∠BAD＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝30°+30°＝60°，
∵∠B＝30°，
∴∠ODB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，OD＝6，
∴OB＝2OD＝12，由勾股定理得：BD=OB2−OD2=122−62=63，
∴阴影部分的面积S＝S△OBD﹣S扇形ODC=12×6×63−60π⋅62360=183−6π．

23．（8分）图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD是取暖器的主体，四边形BEFC是底座．已知BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，烘干架连杆GH可绕边CD上一点H旋转，以调节角度．已知CD＝52cm，BC＝8cm，EF＝20cm，DH＝12cm，GH＝16cm．
（1）求BE的长．（精确到0.1cm，3≈1.73）
（2）当∠GHD＝53°时，求点G到地面EF的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

试题分析：（1）根据BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，BC＝8cm，EF＝20cm，可以求得EN的长，然后根据锐角三角函数即可得到BE的长；
（2）先作GM⊥DC于点M，然后根据锐角三角函数可以求得MH的长，从而可以得到点M到地面的距离，即点G到EF的距离．
答案详解：解：（1）作BN⊥EF于点N，
∵BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，BC＝8cm，EF＝20cm，
∴EN=EF−BC2=20−82=6（cm），
∵cos∠BEN=ENBE，
∴cos30°=6BE，
解得BE≈6.9cm；
（2）作GM⊥DC于点M，
∵GH＝16cm，∠GHD＝53°，cos∠GHM=MHGH，
∴cos53°=MH16，
解得MH≈9.6cm，
∵BN＝EN•tan30°＝6×33≈3.5（cm），CD＝52cm，DH＝12cm，
∴MC＝CD﹣DM＝CD﹣（DH﹣MH）＝52﹣（12﹣9.6）＝49.6（cm），
∴点M到地面EF的距离是49.6+3.5＝53.1（cm），
即点G到地面EF的距离约为53.1cm．

24．（8分）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地AEGH，为美化环境，用总长为121米的篱笆围成5块矩形花圃，其中除矩形ABCD外，其它4个矩形的周长都相等，若AD：AB＝2：3，设AD＝x米，DP＝y米．
（1）求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，矩形DPNC的面积有最大值？最大值是多少？

试题分析：（1）根据4个矩形的周长都相等，得出PD+CD＝BM+BE，AD＝x，求出BE＝x，再根据篱笆总长为121米，即4AB+3BE+4BM＝121，即可得出y与x的函数关系式以及自变量的取值范围；
（2）由（1）中解析式，再根据矩形DPNC的面积＝DP•CD，列出二次函数解析式，化成顶点式，根据 函数的性质求最值．
答案详解：解：（1）∵AD：AB＝2：3，AD＝x，
∴AB＝CD=32x，
由题意得：HP＝DP＝y，
∴BM=HD+AD2=2y+x22，
∵4个矩形的周长都相等，
∴PD+CD＝BM+BE，
∴y+32x=2y+x2+BE，
∴BE＝x，
∵篱笆总长为121米，
∴4AB+3BE+4BM＝121，
∴4×32x+3x+4×2y+x2=121，
∴y=121−11x4（0＜x＜11）；
（2）设矩形DPNC的面积为S平方米，
S＝DP•CD=121−11x4•3x2=−338（x−112）2+399332（0＜x＜11），且二次项系数为−338＜0，
∴当x=112时，矩形DPNC 的面积有最大值，最大值为399332平方米．
25．（10分）问题提出：
若任意两个正数的积是一个固定的数值，则它们的和会存在怎样的规律呢？
特例研究：
（1）若两个正数的积是4，则这两个正数是：1和4，2和2，12和8，35和203，…，它们的和分别是5，4，812，7415，…，初步判断：当这两个正数是2和2时，两数的和有最小值为4；
（2）若两个正数的积是8，则这两个正数是：1和8，2和4，12和16，22和22，2和42⋯，它们的和分别是9，6，1612，42，52，…，初步判断：当这两个正数是22和22时，两数的和有最小值为42．
方法迁移：
若a，b为正数，∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab．
∴对于任意正数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当a＝b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．
问题解决：
仿照上面的方法说明：对于正数a，b，若ab是一个固定的数值，当a，b满足什么数量关系时，a+b存在一个最小值，最小值是多少？
类比应用：
利用上面所得到的结论，完成填空：
（1）已知函数y1＝x（x＞0）与函数y2=1x（x＞0），则当x＝　1　时，y1+y2取得最小值为　2　；
（2）已知函数y1＝x+2（x＞﹣2）与函数y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2），则当x＝　1　时，y2y1的最小值为　6　；
（3）当x＞1时，代数式x+6x−1有最　小　值为　26　；
（4）如图，已知P是反比例函数y=1x（x＞0）图象上任意一动点，O（0，0），A（﹣1，1），试求△POA的最小面积．

试题分析：问题解决：仿照方法迁移中的方法，运用完全平方公式进行变形即可；
类比应用：
（1）将函数y1＝x（x＞0）与函数y2=1x（x＞0）代入y1+y2，根据a+b≥2ab即可得出答案；
（2）将函数y1＝x+2（x＞﹣2）与函数y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2）代入y2y1，变形后可以根据a+b≥2ab，得出答案；
（3）当x＞1时，代数式x+6x−1=x﹣1+6x−1+1，从而x﹣1与6x−1可以按照a+b≥2ab得出最小值，再加上1即为原式的最小值；
（4）过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，过点P作PC⊥x轴，交x轴于点C，如图，设点P的坐标为（m，n），则由点P是反比例函数y=1x（x＞0）图象上任意一动点，得出mn＝1，再根据S△POA＝S梯形ABCP﹣S△AOB﹣S△POC得出关于m和n的代数式，然后根据a+b≥2ab即可得出答案．
答案详解：解：问题解决：
∵a，b都是正数，
∴(a−b)2≥0，
∴a﹣2ab+b≥0，
∴a+b≥2ab，
∵ab是一个固定的数值，
∴a+b存在一个最小值，最小值是2ab．
类比应用：
（1）∵y1＝x（x＞0），y2=1x（x＞0），
∴y1+y2＝x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即当x＝1时，y1+y2取得最小值为2；
所以答案是：1，2；
（2）∵y1＝x+2（x＞﹣2），y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2），
∴y2y1=(x+2)2+9x+2=x+2+9x+2≥2(x+2)⋅9x+2=6，
∴当且仅当x+2=9x+2，即当x＝1时，y2y1的最小值为6；
所以答案是：1，6；
（3）∵x+6x−1=x﹣1+6x−1+1≥2(x−1)⋅6x−1+1＝26+1，
∴代数式x+6x−1有最小值为26+1．
所以答案是：小，26+1；
（4）过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，过点P作PC⊥x轴，交x轴于点C，如图，

设点P的坐标为（m，n），
∵点P是反比例函数y=1x（x＞0）图象上任意一动点，
∴mn＝1，
∴S△POA＝S梯形ABCP﹣S△AOB﹣S△POC
=12（AB+PC）×BC−12AB×OB−12PC×OC
=12（1+n（1+m）−12−12mn
=12（m+n）
≥12×2mn
＝1，
∴△POA的最小面积为1．
26．（12分）【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是　25　；

【问题探究】如图2所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得△PEF周长的最小值为　321−9　km；
【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在AB上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．
①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）
②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．
请问：在AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．
试题分析：【问题发现】如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O＝r＝5，求出此时△P'AB的面积即可；
【问题探究】如图2，假设P点即为所求，分别作点P关于AB、AC的对称点P'、P''，连接PP'，分别交AB、AC于点E、F，连接PE，PF，由对称性可知，PE+EF+PF＝P'E+EF+FP''＝P'P''，且P'、E、F、P''在一条直线上，P'P''即为最短距离，其长度取决于PA的长度，作出BC的圆心O，连接AO，与BC交于P，P点即为使PA最短的点，求出此时线段P'P''的长度即可；
【拓展应用】①如图3﹣1，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交AB于点E′，则此时△CDE的面积最大，可求出其值；作E′H⊥OB，垂足为H，证△COD∽△OHE'，即可求出E′H的长，即可写出结论；
②铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE），如图3﹣2，连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，推出QE＝2DE，所以CE+2DE＝CE+QE，问题转化为求CE+QE的最小值，连接CQ，交AB于点E′，此时CE+QE取得最小值为CQ，可求出CQ的长度及总造价最小值；作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，设E′H＝x，则QH＝3x，由勾股定理可求出x的值，即出口E距直线OB的距离．
答案详解：解：【问题发现】如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O＝r＝5，
此时△PAB的面积最大值，
∴S△P'AB=12×10×5＝25，
所以答案是：25；

【问题探究】如图2，假设P点即为所求，分别作点P关于AB、AC的对称点P'、P''，
连接PP'，分别交AB、AC于点E、F，连接PE，PF，
由对称性可知，PE+EF+PF＝P'E+EF+FP''＝P'P''，且P'、E、F、P''在一条直线上，
∴P'P''即为最短距离，其长度取决于PA的长度，
作出BC的圆心O，连接AO，与BC交于P，P点即为使PA最短的点，
∵AB＝6，AC＝3km，∠BAC＝60°，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝33，
∵BC所对的圆心角为60°，
∴△OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝33，
∴∠ABO＝90°，AO＝37，PA＝37−33，
∵∠P'AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP''，
∴∠P'AP''＝2∠ABC＝120°，P'A＝AP''，
∴∠AP'E＝∠AP''F＝30°，
∵P'P''＝2P'A•cos∠AP'E=3P'A＝321−9，
∴△PEF周长的最小值为321−9，
所以答案是：321−9；

【拓展应用】①如图3﹣1，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交AB于点E′，则此时△CDE的面积最大，
∵OA＝OB＝12，AC＝4，点D为OB的中点，
∴OC＝8，OD＝6，
在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，
∴GE′＝12﹣4.8＝7.2，
∴四边形CODE面积的最大值为S△CDO+S△CDE′=12×6×8+12×10×7.2＝60；
作E′H⊥OB，垂足为H，
∵∠E'OH+∠OE'H＝90°，∠E'OH+∠ODC＝90°，
∴∠OE'H＝∠ODC，
又∵∠COD＝∠E'HO＝90°，
∴△COD∽△OHE'，
∴ODCD=E'HOE'，
∴610=E'H12，
∴E′H＝7.2；
∴出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米；

②铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE），
如图3﹣2，连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，
在△EOD与△QOE中，∠EOD＝∠QOE，且ODOE=OEOQ=12，
∴△EOD∽△QOE，故QE＝2DE，
∴CE+2DE＝CE+QE，问题转化为求CE+QE的最小值，
连接CQ，交AB于点E′，此时CE+QE取得最小值为CQ，
在Rt△COQ中，CO＝8，OQ＝24，
∴CQ＝810，故总造价的最小值为160010元；
作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，
设E′H＝x，则QH＝3x，
∵在Rt△E′OH中，OH2+HE'2＝OE'2，
∴（24﹣3x）2+x2＝122，
解得，x1=36−665，x2=36+665（舍去），
∴总造价的最小值为160010元，出口E距直线OB的距离为36−665米．