2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（15）

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2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（15）
考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考试范围：第1章-第8章
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•江夏区期中）在一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0中，二次项系数和常数项分别是（　　）
A．2，5 B．2，﹣5 C．2，1 D．2，﹣1
2．（2分）（2020秋•海珠区校级期中）二次函数y＝﹣2x2+4x+1的对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．x＝﹣1，（1，3） B．x＝﹣1，（﹣1，3）
C．x＝1，（﹣1，3） D．x＝1，（1，3）
3．（2分）（2022•淮安区模拟）两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（　　）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
4．（2分）（2022•无为市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB＝，则线段CD长为（　　）

A．2 B．4 C． D．
5．（2分）（2021•南海区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，且∠ADC＝105°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
6．（2分）（2022•大同模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径作半圆O，与边BC相切于点D，与边AB的另一个交点为E，与边AC相交于点F，连接AD．若BE＝AO＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2005•枣庄）方程x2﹣4x﹣3＝0的解为　 　．
8．（2分）（2021秋•台安县期中）已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝　 　．
9．（2分）（2021秋•揭西县期末）小明某学期的数学平时成绩90分，期中考试80分，期末考试95分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时成绩：期中成绩：期末成绩＝3：3：4，则小明总评成绩是 　 　分．
10．（2分）（2020•宁波模拟）箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球．它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大，则m的值是　 　．
11．（2分）（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为 　 　米．

12．（2分）如图，△ABC与△A'B'C'相似，AD，BE是△ABC的高，A'D'，B'E'是△A'B'C'的高，若AD＝4，BE＝3，A'D'＝2，则B'E'的长为 　 　．

13．（2分）（2011秋•绍兴县校级月考）现有一个圆心角为90°，半径为10的扇形纸片，用它恰好卷成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的底面半径为　 　．
14．（2分）（2021秋•岳阳楼区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根为1，则方程另一个根为 　 　．
15．（2分）（2021•潮阳区模拟）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
﹣1
0
5
9
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是　 　．
16．（2分）（2020秋•通河县期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC和CD上，若∠CEF＝2∠BAE，CE＝3BE，CF＝4，则线段AE的长为 　 　．

三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（6分）（2021秋•巴南区期末）解下列方程：
（1）2x2+3x+1＝0； （2）x（x﹣3）＝3﹣x．



18．（6分）（2011•潘集区二模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C，若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明．




19．（8分）（2017秋•新城区校级月考）如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕与边BC交于点O．
（1）求证：△OCP∽△PDA．
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：2，求边AB的长．





20．（8分）（2018秋•大东区期末）甲乙两名运动员进行射击选拔赛，每人射击10次，其中射击中靶情况如表：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
第九次
第十次
甲
7
10
8
10
9
9
10
8
10
9
乙
10
7
10
9
9
10
8
10
7
10
（1）选手甲的成绩的中位数是　 　分；选手乙的成绩的众数是　 　分；
（2）计算选手甲的平均成绩和方差；
（3）已知选手乙的成绩的方差是15，则成绩较稳定的是哪位选手？请直接写出结果．



21．（8分）（2021•陕西模拟）《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．
（1）若从八卦中任取一卦，求这一卦的三个爻均是阳爻的概率．
（2）若从震、巽、离、坤四卦中任取两卦，请用画树状图或列表的方法求这两卦均只有一个阴爻的概率．




22．（8分）画△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°．





23．（8分）（2020•渝中区校级三模）2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．
（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；
（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包价格在3月的基础上，每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？





24．（10分）（2014•松山区校级模拟）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日净收入，（日净收入＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每分套餐的售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？


25．（8分）（2022•秦淮区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．
（1）求证：△ADE∽△BDF；
（2）当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．




26．（10分）（2021•贺兰县模拟）综合与探究：
如图，抛物线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，当OE＝4DF时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

27．（8分）（2021•庐江县模拟）如图，△ABC≌△DEF，且AB＝AC＝5，BC＝6．下面将△ABC不动，△DEF运动，并始终满足：点E在边BC上，点A在边DE上，EF与AC交于点M．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．


答案与解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•江夏区期中）在一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0中，二次项系数和常数项分别是（　　）
A．2，5 B．2，﹣5 C．2，1 D．2，﹣1
解：一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的二次项系数和常数项分别是2和﹣1，
故选：D．
2．（2分）（2020秋•海珠区校级期中）二次函数y＝﹣2x2+4x+1的对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．x＝﹣1，（1，3） B．x＝﹣1，（﹣1，3）
C．x＝1，（﹣1，3） D．x＝1，（1，3）
解：∵二次函数y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，3），
故选：D．
3．（2分）（2022•淮安区模拟）两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（　　）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
解：∵两个相似多边形的相似比是2：3，
∴这两个多边形的周长为2：3．
故选：D．
4．（2分）（2022•无为市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），AB＝，则线段CD长为（　　）

A．2 B．4 C． D．
解：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，A的坐标为（1，2），点C的坐标为（2，4），
∴△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，
∴＝，
∵AB＝，
∴CD＝2，
故选：D．
5．（2分）（2021•南海区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，且∠ADC＝105°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
解：连接BD，DE，
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠ADC＝105°，
∴∠BDC＝105°﹣45°＝60°，
∵点E为的中点，
∴＝，
∴∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝30°，
∴∠BAE＝∠BDE＝30°，
故选：B．

6．（2分）（2022•大同模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径作半圆O，与边BC相切于点D，与边AB的另一个交点为E，与边AC相交于点F，连接AD．若BE＝AO＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
解：如图，连接OF、OD．

由题意可知：S阴影＝S△ABC﹣S△OBD﹣S△AOF﹣S扇形DOF，
∵AO＝BE＝2，
∴DO＝2，BO＝4，
∵圆O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BD，
∴△BOD为直角三角形，
∴BD＝＝＝2，
∴S△BOD＝2×2＝2，
根据Rt△BOD的三边关系，可知：∠BOD＝60°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴AC＝AB＝3，BC＝3，
∴△AOF和△DOF均为等边三角形，
∴S△AOF＝2×＝，
∵S扇形DOF＝＝，
∴S阴影＝3×3﹣2﹣﹣＝﹣．
故选C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2005•枣庄）方程x2﹣4x﹣3＝0的解为　x1＝2+，x2＝2﹣　．
解：x＝＝2
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
8．（2分）（2021秋•台安县期中）已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝　4　．
解：∵抛物线y＝ax2开口向上，
∴a＞0，
∵|a|＝4，
∴a＝4，
故答案为4．
9．（2分）（2021秋•揭西县期末）小明某学期的数学平时成绩90分，期中考试80分，期末考试95分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时成绩：期中成绩：期末成绩＝3：3：4，则小明总评成绩是 　89　分．
解：小明总评成绩是＝89（分），
故答案为：89．
10．（2分）（2020•宁波模拟）箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球．它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大，则m的值是　6　．
解：∵箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球，从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，
∴m＜7，
∵同时又比白球的可能性大，
∴5＜m，
∴5＜m＜7，
∴m＝6．
故答案为：6．
11．（2分）（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为 　3　米．

解：过O作OC⊥AB于D，连接OA，如图所示：
则AD＝BD＝AB＝4（米），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3（米），
即圆心O到水面AB的距离为3米，
故答案为：3．

12．（2分）如图，△ABC与△A'B'C'相似，AD，BE是△ABC的高，A'D'，B'E'是△A'B'C'的高，若AD＝4，BE＝3，A'D'＝2，则B'E'的长为 　1.5　．

证明：∵△ABC∽A′B′C′，
∴∠ABD＝∠A′B′D′，
∵AD和A′D′是高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′，
∴△ABD∽△A′B′D，
∴＝，
同理可得＝，
∴＝，
∴＝，
∴B′E′＝1.5，
故答案为：1.5．
13．（2分）（2011秋•绍兴县校级月考）现有一个圆心角为90°，半径为10的扇形纸片，用它恰好卷成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的底面半径为　2.5　．
解：扇形的弧长＝＝5π，
∴圆锥的底面半径为5π÷2π＝2.5，
故答案为2.5．
14．（2分）（2021秋•岳阳楼区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根为1，则方程另一个根为 　2　．
解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1×t＝2，
解得t＝2．
即方程的另一个根为2．
故答案为：2．
15．（2分）（2021•潮阳区模拟）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
﹣1
0
5
9
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是　x＜﹣1或x＞4　．
解：∵当x＝﹣1时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；
∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），
而﹣1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是：x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
16．（2分）（2020秋•通河县期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC和CD上，若∠CEF＝2∠BAE，CE＝3BE，CF＝4，则线段AE的长为 　　．

解：作EG平分∠CEF交CD与点G，作GH⊥EF于点H，则GC＝GH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ECG＝90°，
设BE＝a，则CE＝3a，
∴AB＝BC＝4a，
∵EG平分∠CEF，∠CEF＝2∠BAE，
∴∠CEG＝∠FEG＝∠BAE，
∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECG，
∴，
即，
解得CG＝a，
∴GH＝a，
∵∠GHF＝∠C＝90°，∠HFG＝∠CFE，
∴△FHG∽△FCE，
∴，
即，
解得HF＝1，
∵∠C＝∠GHE＝90°，EG＝EG，GH＝GC，
∴EC＝EH＝3a，
∴EF＝3a+1，
∵∠C＝90°，
∴EC2+CF2＝EF2，
即（3a）2+42＝（3a+1）2，
解得a＝，
∴AB＝4a＝10，BE＝，
∴AE＝＝＝，
故答案为：．

三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（6分）（2021秋•巴南区期末）解下列方程：
（1）2x2+3x+1＝0；
（2）x（x﹣3）＝3﹣x．
解：（1）（2x+1）（x+1）＝0，
2x+1＝0或x+1＝0，
所以x1＝﹣，x2＝﹣1；
（2）x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
18．（6分）（2011•潘集区二模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C，若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明．

解：AB＝AC．
证法一：
连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
∵AD为公共边，BD＝DC，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS）．
∴AB＝AC．

证法二：
连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
又BD＝DC，∴AD是线段BD的中垂线．
∴AB＝AC．

19．（8分）（2017秋•新城区校级月考）如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕与边BC交于点O．
（1）求证：△OCP∽△PDA．
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：2，求边AB的长．

证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，PO＝BO，
∴∠APD+∠CPO＝90°．
∵∠APD+∠DAP＝90°，
∴∠DAP＝∠CPO，
∴△OCP∽△PDA；
（2）∵△OCP与△PDA的面积比为1：2，△OCP∽△PDA，
∴＝，
∴AD＝CP，DP＝CO，AP＝PO，
∴CP＝4，
∵PO2＝CO2+CP2，
∴（8﹣CO）2＝CO2+32，
∴CO＝2，
∴DP＝CO＝2，
∴CD＝CP+DP＝6，
∴AB＝6．
20．（8分）（2018秋•大东区期末）甲乙两名运动员进行射击选拔赛，每人射击10次，其中射击中靶情况如表：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第八次
第九次
第十次
甲
7
10
8
10
9
9
10
8
10
9
乙
10
7
10
9
9
10
8
10
7
10
（1）选手甲的成绩的中位数是　9　分；选手乙的成绩的众数是　10　分；
（2）计算选手甲的平均成绩和方差；
（3）已知选手乙的成绩的方差是15，则成绩较稳定的是哪位选手？请直接写出结果．
解：（1）甲的中位数＝＝9分，乙的众数为10分．
故答案为9，10．

（2）甲的平均成绩＝（7+10+8+10+9+9+10+8+10+9）＝9，
甲的方差＝[（7﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]＝1．

（3）∵1＜15，
∴甲的成绩比较稳定．
21．（8分）（2021•陕西模拟）《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．
（1）若从八卦中任取一卦，求这一卦的三个爻均是阳爻的概率．
（2）若从震、巽、离、坤四卦中任取两卦，请用画树状图或列表的方法求这两卦均只有一个阴爻的概率．

解：（1）若从八卦中任取一卦，这一卦的三个爻均是阳爻的概率为；
（2）将震、巽、离、坤四卦分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有12个等可能的结果，其中这两卦均只有一个阴爻的有2种结果，
∴这两卦均只有一个阴爻的概率为＝．
22．（8分）画△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°．
解：如图，△ABC即为所求作．

23．（8分）（2020•渝中区校级三模）2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．
（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；
（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包价格在3月的基础上，每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
解：（1）设2、3这两个月的月平均增长率为x．
由题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝25%，x2＝﹣225%（舍去），
即2、3这两个月的月平均增长率为25%，
即a的值是25；

（2）设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元．
根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4620，
解得：m1＝4，m2＝﹣69（舍去），
答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元．
24．（10分）（2014•松山区校级模拟）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日净收入，（日净收入＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每分套餐的售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？
解：（1）由题意得：
y＝，
即：y＝；

（2）由题意得：
400x﹣2600≥800
解得：x≥8.5
∴每份售价最少不低于9元．
25．（8分）（2022•秦淮区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．
（1）求证：△ADE∽△BDF；
（2）当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．

证明：（1）连接CE，

∵四边形ABCD是正方形，且BD是对角线，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE，
∵B，E，F，C共圆，
∴∠FBE＝∠FCE，
即∠DBF＝∠DCE，
∴∠DAE＝∠DBF，
又∵∠ADE＝∠BDF＝45°，
∴△ADE∽△BDF；
（2）连接OE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF＝∠BAD＝90°，
∴BF是⊙O的直径，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠DAE＝∠DBF，
∴∠DAE＝∠OEB，
∵BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠OEB＝90°，
即∠OEA＝90°，
又∵OE是⊙O的半径，
∴直线AE是⊙O的切线．
26．（10分）（2021•贺兰县模拟）综合与探究：
如图，抛物线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，当OE＝4DF时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）当时，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）；
当x＝0时，，
∴C（0，﹣2）；
（2）∵点D是第一象限内抛物线上的点，
∴设点D坐标为，
∵DE⊥x轴于点E，
∴OE＝d，．
设直线BC解析式为y＝kx﹣2，把点B代入得：4k﹣2＝0，
解得：，
∴直线BC：，
∵DE交BC于点F，
∴，
∴，
∵OE＝4DF，
∴，
解得：d1＝0（舍去），d2＝5，
∴，，
∴，，BE＝OE﹣OB＝5﹣4＝1，
∴S四边形DOBF＝S△OED﹣S△BEF＝•DE•OE﹣•BE•EF＝×5×﹣×1×＝；
（3）存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线：，
∴xN＝1；
①如图1，BD∥MN，四边形BMND是平行四边形．

∴DN∥BM，DN＝BM，
∴DN向下平移个单位，向左平移1个单位可得BM，
∴xM＝xN﹣1＝0，
∴M（0，﹣2）；
②如图2，BD∥MN，四边形BDMN是平行四边形．

∴DM∥BN，DM＝BN，
∴BN向上平移个单位，向右平移1个单位可得DM，
∴xM＝xN+1＝2，
∴M（2，﹣2）；
③由图可知，以BD为对角线时，点M的横坐标为8，
∴M（8，10）
综上所述，符合条件的点M的坐标为（0，﹣2）或（2，﹣2）或（8，10）．
27．（8分）（2021•庐江县模拟）如图，△ABC≌△DEF，且AB＝AC＝5，BC＝6．下面将△ABC不动，△DEF运动，并始终满足：点E在边BC上，点A在边DE上，EF与AC交于点M．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠CEM＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）能．
∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF
∴AE≠AM；
当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，
当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM，
即∠CAB＝∠CEA，
∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE＝，
∴BE＝6﹣＝；
∴BE＝1或．
（3）设BE＝x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴，
即：，
∴CM＝﹣+x＝﹣（x﹣3）2+，
∴AM＝5﹣CM＝（x﹣3）2+，
∴当x＝3时，AM最短为，
又∵当BE＝x＝3＝BC时，
∴点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，CE＝3，
∴AE＝＝＝4，
此时，EF⊥AC，
∴EM＝＝＝，
S△AEM＝＝