数学九年级下册6.7用相似三角形解决问题同步训练题

这是一份数学九年级下册6.7用相似三角形解决问题同步训练题，共13页。试卷主要包含了7 用相似三角形解决问题，如图，身高1等内容，欢迎下载使用。

课时练
6.7 用相似三角形解决问题
一、单选题
1.在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（   ）

A. 20m                                    B. 16m                                    C. 18m                                    D. 15m
2.一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（   ）
A. 一种                                     B. 两种                                     C. 三种                                     D. 四种
3.如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（    ）.

A. 3.4m                                   B. 4.7 m                                   C. 5.1m                                   D. 6.8m
4.如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 A→B 的方向行走4.5米至点F，此时影子 NF 为1米，则路灯BM的高度为（   ）

A. 3米                                     B. 3.5米                                     C. 4.5米                                     D. 6米
5.一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ）


A. 第4张                                  B. 第5张                                  C. 第6张                                  D. 第7张
6.如图，锐角三角形 ABC ，边 BC=6 ，高 AD=4 ，其内接的正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB ， AC 上，则正方形的边长 EF 为（    ）

A. 2.6                                         B. 2.4                                         C. 3                                         D. 1.2
7.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（   ）

A. 24m                                    B. 22m                                    C. 20m                                    D. 18m
8.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为(   )

A. 5.5m                                   B. 6.2m                                   C. 11m                                   D. 2.2m
9.如图，路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌（不用考虑牌子的厚度）．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点，已知BC=5米，正方形边长为2米，DE=4米．则此时电线杆的高度是（　　）米．



A. 8                                           B. 7                                           C. 6                                           D. 5
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，⊙C的圆心为点C(-1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E ， 则△ABE面积的最大值是


A. 2                                     B. 83                                     C. 2+22                                     D. 2-22
二、填空题
11.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于________m

12.如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是      米．

13.如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为________m2 ．

14.相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面________米

15.如图，一电线杆 AB 的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起 1 米高的直杆 MN ，量得其影长 MF 为 0.5 米，量得电线杆 AB 落在地上的影子 BD 长 3 米，落在墙上的影子 CD 的高为 2 米，则电线杆 AB 的高为________米．

16.如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下1.6m宽的亮区DE  ， 已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3.6m，窗高AB=1.2m，那么窗口底边离地面的高度BC=      m．

17.如图1，长、宽均为3高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为________．

18.如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM=       cm，AB=       cm．


三、解答题
19.某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路.上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是6m/s，假设AB // PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.

20.在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高.

21.如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 DE=40cm ， EF=30cm ，测得 AM=10m ，边DF离地面的高度 DM=1.5m ，求树高AB.

22.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．

23.李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在 C' 处，人在 F' 处正好看到树尖A.已知李师傅眼睛距地面的高度为 1.7m ，量得 CC' 为 12m ， CF 为 1.8m ， C'F' 为 3.84m ，求树高.

24.学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；

（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；
（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．
25.如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m.

（1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长.
26.如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m.

（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；
（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长.
27.如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，AB=4.若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合).

（1）求证：△ABE∽△DCA；
（2）若BE·CD=k（k为常数），求k的值；
（3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么（2）中k的值是否发生了变化?为什么?
28.已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC.

（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；
（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证： BEDE = 23+3 ；
（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ.
①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；
②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由.

参考答案
一、单选题
1. C
2. B
3. C
4. D
5. C
6. B
7. A
8. A
9. D
10. D
二、填空题
11. 40
12. 18
13. 0.81π
14. 125
15. 8
16. 1.5
17. 245
18. 5；13
三、解答题
19. 解：如图，过点C作 CD⊥PQ 于点D，交AB于点E，

根据题意， DE=10m ， AB=12m ， PQ=3×6=18m ，
∵ AB//PQ ，
∴ △ABC∼△PQC ，
∴ ABPQ=BCQC ，
∵ △BDC∼△QEC ，
∴ BCQC=DCEC ，
∴ ABPQ=DCEC ，则 1218=DCDC+10 ，解得 DC=20m ，
∴CE=CD+DE=30m，
答：小芳所在C处到公路南侧PQ的距离是30m .
20. 解：设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）.

因为CE∥AB
所以△AGF∽△EHF.
因为，FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，
所以，EH=3.5-1.5=2，AG=x-1.5.
由△AGF∽△EHF，
得 AGEH=GFHF ,
即 x-1.52=303 ，
所以，x-1.5=20，
解得，x=21.5（米）
答：旗杆的高为21.5米.
21. 解： DE=40cm=0.4m ， EF=30cm=0.3m .
由题意得 CD=AM=10m ， AC=DM=1.5m .
∵ ∠BCD=∠DEF=90° ， ∠BDC=∠FDE ，
∴ △DCB∽△DEF .
∴ BCEF=CDDE .
∴ BC0.3=100.4 ，
∴ BC=7.5 .
∴ AB=BC+AC=7.5+1.5=9(m) .
22. 解：过C作CE⊥AB于E，

∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，
∴ 11.5=x21 ，
解得：x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
23. 解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴ {1.7x=1.8y1.7x=3.8412+y
解得 {x=10y=18017 .
∴这棵古树的高为10m.
24. （1）∵AB⊥OM，PO⊥OM，
∴ △MAB∼△MOP ，
∴ ABOP=AMOM ，
∴ 1.6OP=520+5 ，
∴OP=8，
即路灯距地面的高度为8米

（2）∵CD⊥OM，PO⊥OM，
∴ △NCD∼△NOP ，
∴ CDOP=CNON ，
∵OC=OA-AC=20-7=13，CD=1.5，OP=8， 
∴ 1.58=CN13+CN ，
∴CN=3，
即小龙的身影的长度为3米
25. （1）解：∵AB∥CD，
∴△CDF∽△ABF，
∴CD：AB=DF：BF，
∴1.6：AB=3：12，
解得：AB=6.4.
答：灯杆AB的高度为6.4米.

（2）解：假设全部在地上，设影长为x，
则CD：AB=DF：BF，
∴1.6：6.4=x：(9+7+x)，
解得：x= 163 ，而9+7+ 163 -18= 103 ＞0.故有部分影子落在墙上.
因为超过的影长为 103 ，相当于墙上影长在地上的投影，故设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= 103 ：( 103 +18)，解得：y=1.
故落在墙上的影子长为1米.
26. （1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影.


（2）解：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴AB：DE=BC：EF，
∵AB=5m，BC=3m，EF=6m，
∴5：DE=3：6，
∴DE=10m.
27. （1）证明：∵三角形ABC和三角形AFG是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠FAG=∠ACB=45°，∠B=∠C=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+∠B =∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
∴△ABE∽△DCA，

（2）解：由（1）可知△ABE∽△DCA，
∴ BECA=BACD ，
∴ BE·CD=BA·CA
又∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=4，
∴AB=CA=4，
∴ BE·CD=BA·CA=4×4=16 ，
即 k=16 ，

（3）解：不变．
∵∠BEA=∠EAC+∠C =∠EAC+45°，
∠CAD=∠FAG +∠EAC=45°+∠EAC
∴∠BEA=∠CAD，
又∵∠ABE=∠DCA=45°，
∴△EBA∽△ACD，
∴ BECA=BACD ，
∴ k=BE·CD=BA·CA=4×4=16 ，
28. （1）解：如图1，作PF⊥BC于点F.

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4.
∵PM∥AB，
∴∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，
∠PMF =∠ABC=60°，
∴PM=BM=1，
∴MF= 12 PM= 12 ，PF= 32  ，
FC=BC-BM-MF=4-1- 12 = 52 ，
∴PC= PF2+FC2 = 7

（2）证明：如图2，作PG⊥BC于点G.

∵∠PCM=45°，
∴∠CPG=∠PCM=45°，
∴PG=GC.
设MG=x，由（1）可知：
BM=PM=2x，GC=PG= 3 x，
由BM+MG+GC=BC得：2x+x+ 3 x=4，
∴x= 43+3 ，∴BM= 83+3 .
∵四边形ABCD是菱形，∴BM∥AD，
∴△BEM∽△DEA，
∴ BEDE=BMDA=83+34= 23+3

（3）解：①如图3，延长MQ与CD交于点H，连接AH,AC.

∵PM∥AB∥CD，
∴∠PMQ=∠CHQ，∠MPQ=∠HCQ.
∵Q是PC的中点，
∴PQ=CQ，
∴△PMQ≌△CHQ，
∴PM=CH=BM，MQ=HQ.
由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABM=∠ACH=60°，
∴△ABM≌△ACH，
∴AM=AH，∠BAM=∠CAH，
∴∠MAH=∠BAC=60°，
∴△AMH为等边三角形，
∴AQ⊥MH，∠MAQ= 12 ∠MAH=30°，
∴AQ= 3 MQ.
②△AMQ的面积有最小值，最小值为 323 .