黑龙江省齐齐哈尔市龙江县育英学校2022-2023学年上学期八年级数学期末试卷(含答案)

龙江县育英学校2022-2023学年度上学期期末

八年级数学试卷

考试范围：八年级上册；考试时间：90分钟；满分：120分

一、单选题

1．下列图形是轴对称图形的有（　　）

A．个 B．个 C．个 D．个

2．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列变形中，从左到右不是因式分解的是（    ）

A． B．

C． D．

4．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（    ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

5．下列说法正确的是（    ）

A．等腰三角形两边长为4，9，则三角形的周长为17或22

B．四边形共有4条对角线

C．n边形的外角和为180°

D．在三角形、四边形、五边形中只有三角形具有稳定性

6．下列式子运算结果为的是（    ）

A． B． C． D．

7．如图所示，在中，垂直平分，交于点E，垂足为D，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．如图，等腰中，分别为上的点，且，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

9．为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，是等边三角形，，于点，于点，点在的平分线上；则下列结论：①，②，③，④，正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅为米，将这个数用科学记数法表示为______．

12．已知，，那么________．

13．若，则a的值是______．

14．已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________．

15．有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰钝角三角形纸片的顶角度数为______．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知，在第一象限内的点C，使是以为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为_____．

三、解答题

17．分解因式：

(1)；                               (2)．

18．（1）化简：    

（2）解方程：

19．先化简，再求值，其中．

20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(2，3)，点C的坐标是(0，3)．

(1)尺规作图：作出四边形OABC关于y轴对称的图形，并写出点B对应点的坐标．

(2)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小．（不要求写作法，保留作图痕迹）

21．如图，点E是边上的点，，．试判断点E是否为线段的中点，并说明理由．

22．如图，在中，，点D，E分别为上的点，，若，求证：．

23．甲乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍．两人各加工900个这种零件，甲比乙少用5天．

（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这样的零件．

（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这样的零件加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过5400元，那么甲至少加工了多少天？

24．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．

（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；

（2）若AC=2，求四边形DECF面积．

25．如图所示，点P在内，点M，N分别是点P关于，的对称点，分别交，于点E，F．

（1）若，则_____，_______（用含的代数式表示）；

（2）①若的周长是，求的长．

②若，，直接写出的周长的最小值（用含x的代数式表示）

参考答案：

1．C

【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可求解．

【详解】解：图1有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图2不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；

图3有两条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图4有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图5有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．

故轴对称图形有个．

故选：C

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形定义是如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．熟知轴对称图形的定义是解题关键．

2．D

【分析】根据幂的运算的计算法则，即可求出答案．

【详解】A、，该选项错误，不符合题意；

B、，该选项错误，不符合题意；

C、，该选项错误，不符合题意；

D、，该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是掌握幂的运算的相关计算法则．

3．D

【分析】根据因式分解的定义即可求解．

【详解】解：把一个多项式在实数范围内化为几个整式的积的形式，

∴选项是提取公因式，属于因式分解，不符合题意；

选项是完全平方公式，属于因式分解，不符合题意；

选项是平方差公式，属于因式分解，不符合题意；

选项不是因式分解，符合题意；

故选：．

【点睛】本题主要考查因式分解的定义，掌握因式分解的方法是解题的关键．

4．B

【分析】根据三角形三边关系定理，计算判断选择即可．

【详解】解：、，不能组成三角形，不符合题意；

、，能组成三角形，符合题意；

、，不能组成三角形，不符合题意；

、，不能组成三角形，不符合题意．

故选：．

【点睛】本题考查了三角形的存在性问题，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．

5．D

【分析】选项A根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系判断即可；选项B根据多边形的对角线的定义判断即可；选项C根据多边形的外角和是360°判断即可；选项D根据三角形具有稳定性，四边形，五边形不具有稳定性判断即可．

【详解】解：A、等腰三角形两边长为4，9，

当腰长为4时，三边为4，4，9，而，不能组成三角形，舍去，

当腰长为9时，三边为4，9，9，而，能组成三角形，则三角形的周长为22，故本选项不合题意；

B、四边形共有2条对角线，故本选项不合题意；

C、三角形的外角和为360°，故本选项不合题意；

D、在三角形，四边形，五边形中，只有三角形具有稳定性，说法正确，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了多边形的对角线，等腰三角形的性质，多边形的外角和以及三角形的三边关系，掌握相关定义是解答本题的关键．

6．C

【分析】根据分式的运算法则逐项计算即可．

【详解】A.，故不符合题意；

B.，故不符合题意；

C.，故符合题意；

D.，故不符合题意．

故选C．

【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．

7．D

【分析】由垂直平分线的性质，得到AE，再由直角三角形的性质即可求出AC的长度．

【详解】解：∵垂直平分，

∴．

∵在中，，

∴；

故选：D．

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质定理，30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出AC的长度．

8．A

【分析】可设∠A=x，根据在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，再利用已知得出△BDQ为等边三角形，进而得出x的角度，即可得出答案．

【详解】如图，在上取点D，使，连接．设，则．

，

．

又，

，

，

，

，

为等边三角形，

，

，，

，

．

故选A．

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，此题的关键是正确作出辅助线，得出△BDQ为等边三角形．

9．A

【分析】甲型机器人每台万元,根据万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同,列出方程即可.

【详解】解：设甲型机器人每台万元，根据题意，可得 ，

故选：A．

【点睛】本题考查的是分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程.

10．D

【分析】根据角平分线的性质即可判断结论①；先根据直角三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质即可得判断结论②；先根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得判断结论③；先根据三角形的外角性质可得，再根据等边三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可判断结论④．

【详解】解：是等边三角形，

，

是的角平分线，且，

，结论①正确；

在和中，，

，

，结论②正确；

，

，

，

，结论③正确；

，

，

在和中，，

，结论④正确；

综上，正确的有4个，

故选：D．

【点睛】本题考查了角平分线的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．

11．

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．

【分析】根据完全平方公式变形即可求解．

【详解】解：∵，，

∴

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．

13．或##-2或-1

【分析】可以考虑三种情况：①零指数幂；②底数为1；③-1的偶数次方，分别解答即可．

【详解】解：当，时，；

当时，；

当时，，此时，，不符合题意；

综上，或．

故答案为：或

【点睛】本题考查零指数幂，有理数的乘方，体现分类讨论的数学思想，解题时注意不要漏解．

14．且

【分析】首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围．

【详解】解：去分母，得：，

去括号，得：，

移项，得：，

合并同类项，得：，

化系数为1，得：，

∵原分式方程得解为正数，且，

∴，且，

解得：且．

故答案为：且．

【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不能为0．

15．

【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠BAC与∠B的关系，再根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数．

【详解】解：如图，

，

．

设．

，

，

，

．

，

，

，

．

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．正确画出图形是解题关键．

16．（7，2）或（5，7）

【分析】分别从当∠ABC=90°，AB=BC时，当∠BAC=90°，AB=AC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．

【详解】如图①，

当∠ABC=90°，AB=BC时，

过点C作CD⊥x轴于点D，

∴∠CDB=∠AOB=90°，

∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBD=90°，

∴∠OAB=∠CBD，

在△AOB和△BDC中，

，

∴△AOB≌△BDC（AAS），

∴BD=OA=5，CD=OB=2，

∴OD=OB+BD=7，

∴点C的坐标为（7，2）；

如图②，

当∠BAC=90°，AB=AC时，

过点C作CD⊥y轴于点D，

同理可证得：△OAB≌△DCA，

∴AD=OB=2，CD=OA=5，

∴OA=OA+AD=7，

∴点C的坐标为（5，7）；

综上所述点，点C的坐标为（7，2）或（5，7）．

【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

17．(1)

(2)

【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案；

（2）首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．

【详解】（1）原式

（2）原式

．

【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用平方差公式和完全平方公式是解题关键．

18．（1）；（2）

【分析】（1）先分子分母因式分解，除法改成乘法，再约分化简即可；

（2）两边同时乘以，将分式方程化成一元一次方程，再解这个一元一次方程并检验即可．

【详解】解：（1）原式

；

（2）

两边同时乘以，得，

去括号得：，

移项，合并同类项得：，

系数化为1得：．

经检验：是原分式方程的根．

【点睛】本题考查分式的化简与解分式方程，掌握分式的加减乘除运算法则，解分式方程的步骤是解题的关键．注意分式方程都要检验．

19．，-5

【详解】解：原式

，

把代入原式，

原式

．

20．(1)画图见解析，(-2，3)；

(2)画图见解析

【分析】（1）延长BC至B′，使B′C=BC，在x轴负半轴上截取OA′，使OA′=OA，然后顺次连接A′B′CO即可，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等写出点B的对应点的坐标；

（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接AB′与y轴的交点即为点P．

(1)

解：四边形OABC关于y轴对称的图形如图所示：

点B的对应点的坐标为(-2，3)；

(2)

解：连接点B关于y轴的对称点为B′，线段AB′与y轴的交点即为点P的位置，点P即为使得PA+PB最小的点，如图所示．

【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质找出对应点的位置是解题的关键．

21．点E是线段的中点，理由详见解析

【分析】先根据平行线的性质证明，再根据“AAS”证明△BME≌△CNE即可

【详解】证明：点E是线段的中点．理由：

，

．

在和中

，

，

，即点E为线段中点．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了平行线的性质．

22．详见解析

【分析】先根据条件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根据ASA判定△ACD≌△BDE，即可得到CD=DE；

【详解】证明：，，

．

，

．

在和中，

，

．

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等．

23．（1）甲每天加工90个零件，乙每天加工60个零件；（2）20天

【分析】（1）设乙每天加工数量是x个零件，根据题意列出分式方程，求解并检验即可；

（2）设甲加工x天，乙加工y天，根据题意得出方程及不等式，求解即可．

【详解】（1）设乙每天加工数量是x个零件，根据题意得

，

解得，

经检验，是原分式方程的解，

∴，

∴甲每天加工90个零件，乙每天加工60个零件；

（2）设甲加工x天，乙加工y天，根据题意得

由①得③，

将③代入②中得，

当时，，符合实际意义，

∴甲至少加工了20天．

【点睛】本题主要考查分式方程及不等式，读懂题意列出方程及不等式是关键．

24．（1）证明见解析（2）1

【详解】试题分析：

（1）如图，连接CD，由已知条件易得：∠A=∠DCF=45°，CD=AD，结合AE=CF即可证得△ADE≌△CFD，从而可得DE=DF，∠ADE=∠CDF，结合∠ADE+∠EDC=90°即可得到∠EDF=90°，从而可得DE⊥DF；

（2）由（1）中所得△ADE≌△CFD可得四边形DECF的面积=△ADC的面积，而△ADC的面积=△ABC面积的一半，结合△ABC是等腰直角三角形及AC=2即可求出所求面积了.

试题解析：

（1）如图，连接CD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，

∵D为BC中点，

∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．

∴∠DCF=45°，

在△ADE和△CFD中，，

∴△ADE≌△CFD（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF．

（2）∵△ADE≌△CFD，

∴S△AED=S△CFD，

∴S四边形CEDF=S△ADC，

∵D是AB的中点，

∴S△ACD=S△ACB=××2×2=1．

∴S四边形CEDF=1．

25．（1），180°－；（2）①MN＝10cm；②△PEF的周长的最小值是cm．

【分析】（1）如图，连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得△OMP和△EMP都是等腰三角形，且∠MOA＝∠AOP，进而可根据等腰三角形的性质得∠OME＝∠OPE，同理可得∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，于是可推得∠MON＝2∠AOB，∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；

（2）①根据轴对称的性质可推出MN＝△PEF的周长，进而可得结果；

②易得△OMN是等腰直角三角形，且OM=ON=OP=x，从而可根据勾股定理求出MN，而由轴对称的性质可知MN即为的周长的最小值，于是可得结果．

【详解】解：（1）如图，连接OP、OM、ON．

∵M是点P关于AO的对称点，

∴OP＝OM，ME＝PE，∠MOA＝∠AOP，

∴∠OMP＝∠OPM，∠EMP＝∠EPM，

∴∠OME＝∠OPE，

同理可得：OP＝ON，∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，

∴OM=ON，∠MON＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB=；

∴∠OMN+∠ONM=180°－∠MON＝180°－，

∴∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM=180°－，

故答案为：，180°－；

（2）①∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，

∴ME＝PE，NF＝PF，

∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，

∵△PEF的周长等于10cm，

∴MN＝10cm；

②∵∠AOB=45°，OM=ON=OP=x，

∴∠MON=2∠AOB=90°，，

∵MN＝△PEF的周长，且△PEF的周长的最小值为MN的长，

∴△PEF的周长的最小值是cm．

【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．