2021-2022学年湖北省武汉市第三寄宿中学八年级（下）月考数学试卷（6月份）-普通用卷(解析版)

2021-2022学年湖北省武汉市第三寄宿中学八年级（下）月考数学试卷（6月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算：，，，，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 数据，，，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 中南商场对上周女装的销售情况进行了统计，销售情况如表：

经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

5. 如图，矩形中，，，点，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列各组数中，是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7. 如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点小正方形的顶点的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在过定点的直线两侧的格点数相同，则的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一次函数与的图象如图所示，则的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在平行四边形中，，于点，点、分别是、的中点，连接、、，下列结论：；四边形是菱形；；其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，点从原点出发向轴正方向运动，同时，点从点出发向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动，若点与点的速度之比为：，则下列说法正确的是(    )
     

A. 线段始终经过点 B. 线段始终经过点
C. 线段始终经过点 D. 线段不可能始终经过某一定点

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 已知正比例函数经过点其中为常数，，则该正比例函数解析式为______．
12. 在九年级体育考试中，某班参加仰卧起坐测试的名女生成绩如下单位：次分：，，，，，，，，则这组数据的平均数为______．
13. 小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为______
14. 由于四边形具有不稳定性，如图，将正方形向下挤压变形后得到菱形若，则菱形与原正方形的面积之比为______．

15. 一次函数与交于点，下列结论一定正确的有______填序号即可．
    关于的方程的解为；；若，则；将直线沿轴向下平移后得到直线，交于点，若点的纵坐标为，当以时，则．
16. 在中，，，为形内一点，以为腰作等腰，使，连接、，若、分别是、的中点，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，在四边形中，，点，分别在边，上，．
    求证：四边形是平行四边形；
    当与满足数量关系______时，四边形是矩形．

19. 本小题分
    中央电视台的朗读者节目发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是本，最多的是本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表．
    
    扇形统计图中的______，______；
    扇形统计图中课外阅读本的扇形的圆心角大小为______；
    求被调查学生课外阅读的平均本数；
    若该校八年级共有名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少本的人数．
20. 本小题分
    如图是由边长为的小正方形构成的格，每个小正方形的点做格点．四边形的顶点是格点，点是边与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
    过点画线段，使，且；
    在边上画一点，使直线平分四边形的面积；
    过点画线段，使，且．

21. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知点、点，一次函数的图象与直线交于点．
    求点的坐标．
    若点是轴上一点，且的面积为，求点的坐标．
    若直线与三条边只有两个公共点，求的取值范围．

22. 本小题分
    某商场电饭煲的销售价为每台元，豆浆机的销售价为每台元．每台电饭煲的进价比每台豆浆机的进价多元，商场用元购进电饭煲的数量与用元购进豆浆机的数量相等．
    求每台电饭煲与豆浆机的进价分别是多少？
    现在商场准备一次购进这两种家电共台，设购进电饭煲台，这台家电的销售总利润为元．要求购进豆浆机数量不超过电饭煲数量的倍，总利润不低于元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润．
    实际进货时，厂家对电饭煲出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及中条件，设计出使这台家电销售总利润最大的进货方案．
23. 本小题分
    如图，正方形中，点、分别在边、上．
    若，，点为的中点，连接、．
    如图，求证：；
    如图，连接，分别交、于、，连接、，求四边形的面积；
    如图，过点作，垂足为，连接若，则的值为______直接写出结果．
     
24. 本小题分
    平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，且、满足．
    ______，______；
    如图，直线：，将线段沿某个方向平移，使点、对应的点、恰好分别在直线和直线上，请你判断四边形的形状，并说明理由；
    如图，若直线：过点且与直线相交的夹角为，求出此时的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，解得．
故选：．
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是同类二次根式，不能合并，则，故错误；
，故正确；
不是同类二次根式不能合并，故错误；
，故正确；
故选：．
根据合并同类二次根式的法则判断第一式；根据合并同类二次根式的法则计算第二式，进而判断；根据合并同类二次根式的法则判断第三式；根据二次根式的性质计算第四式，并判断．
本题考查了实数的运算，关键是熟记运用合并同类二次根式的法则和二次根式的性质解题．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，，按照从小到大排列是：，，，，，，，
故这组数据的中位数是，
故选：．
先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，求出所求数据的中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．
故选：．
商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
则，
点表示，
点表示，
故选：．
首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，故不是勾股数，故选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；
C、，故不是勾股数，故选项不符合题意；
D、，故不是勾股数，故选项不符合题意．
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线过定点，分布在直线两侧的格点数相同，
由正方形的对称性可知，直线两侧的格点数相同，
在直线和直线之间，两侧格点相同，如图
，，
，则．
故选：．
由正方形的对称性，要使两侧格点一样，直线要在正方形中心附近，结合图形，直线要在直线和直线之间运动，从而确定，进而求解．
本题主要考查了过定点的直线旋转，正方形的对称性．解题的关键是找到关键点，，这是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可得，当时，；
当时，；
不等式组的解集为，
故选：．
表示在轴的上方，且的图象在的图象的上边部分自变量的取值范围，依据函数图象中两直线的位置，即可得到不等式组的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解决问题的关键是掌握一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
根据平行四边形的性质得到，，由线段中点的定义得到，，于是得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质得到；故正确；根据，，得到，于是得到四边形是菱形，故正确；延长，交延长线于，根据全等三角形的性质得到，，推出
，根据直角三角形的性质得到，故正确；得到，推出，于是得到；故正确．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；故正确；
，，
，
四边形是菱形，故正确；
延长，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在和中，，
≌，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
；故正确，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一次函数图象上的点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
当时，点的坐标为，点的坐标为设直线的解析式为，利用待定系数法求出的解析式即可判断；
【解答】
解：当时，点的坐标为，点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入，
，解得：，
直线的解析式为．
时，，
直线始终经过，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：设正比例函数的解析式为，
图象经过点，
，
，
此函数的解析式是：；
故答案为：
把点其中为常数，代入正比例函数的解析式，即可求出未知数的值从而求得其解析式；
此题考查待定系数法确定函数关系式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：据的平均数．
故答案为：．
根据平均数的定义计算这组数据的平均数即可求解．
本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
 

13.【答案】 

【解析】解：在直角中，．
设河深，则米．
根据勾股定理得出：


解得：米．
故答案为：．
河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可知菱形的高等于，
菱形的面积为，正方形的面积为．
菱形的面积与正方形的面积之比是．
故答案为：．
根据，得所对的直角边等于斜边的，可知菱形的高等于，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．
本题主要考查了正方形与菱形的面积，熟知角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图象如图，
一次函数与交于点，
关于的方程的解为，故正确；
一次函数过点，
，
，
，
，
，故正确；
过点，
，
，
，
．
，
或，
，
，
或，
，
或，故错误；
直线沿轴向下平移后得到直线，交于点，若点的纵坐标为，如图，由图象可知，当时，，故正确；
故答案为：．
根据交点坐标即可判断；表示出，即可判断；根据，得出或，即可判断；根据图象即可判断．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，一次函数与不等式的关系，一次函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】如图，连接，取的中点，连接，，先证明≌，得，根据三角形的中位线定理可得，，由平行线的性质和三角形的内角和定理可得，所以是等边三角形，可得结论．
解：如图，连接，取的中点，连接，，

，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，，
，
同理得，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识的综合运用，解题的关键是证明是等边三角形．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先进行化简运算，再进行加减运算即可；
利用二次根式的乘法的法则进行运算，最后进行加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】 

【解析】证明：，
，

，
，
，
四边形是平行四边形．

解：结论：当时，四边形是矩形；
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
故答案为：．
想办法证明，推出，即可解决问题；
当时，四边形是矩形，想办法证明
此题主要考查了平行四边形的判定与性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分．
 

19.【答案】     

【解析】解：，
，
，
，
；
故答案为：、；
扇形统计图中课外阅读本的扇形的圆心角大小为，
故答案为：；
所有被调查学生课外阅读的平均本数为本；
该校八年级学生课外阅读本及以上的人数约为人．
根据题意列式计算即可；
用本所占的百分数即可得到结论；
利用加权平均数的概念求解可得；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查扇形统计图、条形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：如图，线段即为所求．
如图，直线即为所求．
如图，线段即为所求．
 

【解析】取格点，连接即可．
连接，交于点，作直线即可．
取格点，，连接得到格点，作线段即可．
本题考查作图应用与设计，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：、点，
直线的解析式为，
由，
解得，
．

设，
由题意：，
解得或，
或．

当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
若直线与三条边只有两个公共点，则有．
 

【解析】本题考查两直线相交问题，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
求出直线的解析式，构建方程组即可解决问题；
设，构建方程即可解决问题；
求出直线经过点或时的的值即可判断；
 

22.【答案】解：设每台豆浆机的进价为元，则每台电饭煲的进价元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，也符合题意，
元，
答：每台豆浆机的进价为元，每台电饭煲的进价元；
由题意，，
，
，
为正整数，
，，，
即：共有种方案；
合理的方案共有种，
即电饭煲台，豆浆机台；
电饭煲台，豆浆机台；
电饭煲台，豆浆机台；
，，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为：元，
答：当购进电饭煲台，豆浆机台获利最大，最大利润为元．
设厂家对电饭煲出厂价下调元后，这台家电的销售总利润为元，
，
当时，随的最大而增大，
时，取得最大值，
即：购进电饭煲台，豆浆机台，总利润最大，
当时，随的最大而减小，
时，取得最大值，
即：购进电饭煲台，豆浆机台，总利润最大，
当时，无论采取哪种方案，恒为元． 

【解析】用“用元购进电饭煲的数量与用元购进豆浆机的数量相等”建立方程即可；
建立不等式组求出的范围，代入即可得方案；再根据一次函数的性质即可解决最值问题
建立，分三种情况讨论即可．
此题是一次函数的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，找出相等关系是解本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：如图，四边形是正方形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
点为的中点，
，
，
；
解：如图，连接交于点，作于点，则，
，，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形的面积为．
解：如图，作交的延长线于点，则，
，
于点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
连接交于点，
，，
，
，
在上截取，连接，则，
，
，
，
设，则，
，
，
故答案为：．
由，，，证明≌，由勾股定理求得，则；
连接交于点，作于点，根据勾股定理求得，，由，求得，再证明≌，得，则，即可求得四边形的面积为；
作交的延长线于点，先证明≌，得，则，连接交于点，则，在上截取，连接，再证明，则，设，则，，即可求得．
此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度、二次根式的化简等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：．
，
，，
故答案为：，；

如图，作轴于点，
与轴交于点，
点坐标为，
与轴交于点，
点坐标为，
根据平移的性质，可得四边形是平行四边形，
设点坐标是，
则点坐标是，
点在直线上，
，
解得，
，，
点的坐标是，
，，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．

作于，以为直角边作等腰直角三角形，，作于，于则直线，直线与直线的夹角为满足条件．


直线的解析式为，，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，，
，
，
把点和代入，得，
解得，，
同法可得点坐标，把点、点坐标代入得
解得，
综上所述，满足条件的的值为或．
根据二次根式的性质求出、的值即可；
首先根据平移的性质，可得四边形是平行四边形；然后求出点的坐标，进而判断出，即可判断出四边形是菱形，据此解答即可；
作于，以为直角边作等腰直角三角形，，作于，于则直线，直线与直线的夹角为满足条件．
本题考查了一次函数综合题，二次根式的性质，菱形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，两直线垂直的乘积为等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，学会添加常用辅助线，构造等腰直角三角形解决问题，属于中考压轴题．