2021-2022学年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学九年级（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学九年级（下）月考数学试卷（6月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    在下列事件中，是随机事件的是(    )

A. 长为，，的三条线段组成一个三角形
B. 四边形的内角和为
C. 某年级人中至少有两个人的生日在同一天
D. 过马路时恰好遇到红灯

3.    下列抗疫宣传图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，底面是等边三角形的棱柱叫正三棱柱，下面的正三棱柱的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.    若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，一条笔直的公路上依次有、、三个村庄，甲从村匀速骑自行车到村，乙从村经村匀速骑摩托车到处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲骑车的时间为，甲、乙两人离村的距离为，与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是(    )

A. 乙先到村 B. 甲的速度为
C. 乙的速度为 D. 图中的值为

9.    如图，为直径，为圆上一点，为内心，交于，于，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算的结果是______．
12. 学校实行课后服务后，某班个兴趣小组的人数分别为，，，，，则这组数据的中位数是______．
13. 计算的结果是______．
14. 如图，某高速公路建设中需要测量一条江的宽度，飞机上的测量人员在处测得，两点的俯角分别为和，若飞机离地面的高度为米，且点，，在同一水平直线上，则这条江的宽度为______米已知，，结果用四舍五入法精确到个位．
15. 已知二次函数的图象与轴的交点为，顶点是，其中，则下列四个结论：
    ；；；点，在抛物线上，当时，则；其中正确的结论有______填序号．
16. 如图，为中点，经过点在的上方作动射线，射线与的夹角为，以射线为对称轴，作点关于直线的对称点，再以为斜边作等腰，若的面积与的度数的函数图象如图，则的长度的取值范围为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答．
    Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：
    
    Ⅳ原不等式组的解集为______．
18. 本小题分
    如图，，于，于，．
    求的度数；
    若平分，求的度数．

19. 本小题分
    某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，成绩分为整数，评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级．优秀、良好、合格、不合格分别用，，，表示，等级：，等级：，等级：，等级：该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
表中的______，______，______；
请补全条形图；
该校决定对，等级的学生进行安全再教育，提高学生安全系数，已知该校七年级共有名学生，求该校七年级进行安全再教育的学生有多少人？
 

20. 本小题分
    已知是的直径，、、是的三条切线，切点分别为、、，连．
    如图，求证：；
    如图，，，求图中阴影部分的面积．
     
21. 本小题分
    如图，在由边长为的小正方形组成的正方形网格中，、为格点，为与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线．
    在图中画菱形；
    在图中，在线段上找一点，使最小；
    在图中，以为边画矩形；
    在图中画的垂直平分线．
     
22. 本小题分
    某公司购买吨产品，准备一部分产品按方式一销售，一部分产品按方式二销售，已知按方式一销售产品吨与收益万元的函数关系如图所示，按方式二销售产品吨与收益万元的函数关系如图所示，其中是某抛物线的一部分，为抛物线的顶点，若规定按方式二销售的产品的数量不能超过按方式一销售的产品的数量．
    求按方式一销售产品吨与收益万元的函数关系式．
    求按方式二销售产品吨与收益万元的函数关系式．
    设两种方式销售的产品的总收益为万元，问如何销售，才能使这吨产品的总收益最大？

23. 本小题分
    问题背景如图，为上一点，，求证：．
    变式迁移如图，中，于，以为直角顶点在两侧分别作和，且，连交延长线于，求的值．
    拓展创新如图，，，，求的长．
     
24. 本小题分
    已知抛物线：经过点，与轴交于，两点，与轴交于点．
    求抛物线的解析式；
    如图，为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，若，求点坐标；
    如图，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
即．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的性质．
 

2.【答案】 

【解析】解：中的事件一定不发生，所以是不可能事件，
中事件一定发生，所以是必然事件，
中事件一定发生，所以是必然事件，
的事件有可能发生，有可能不发生，所以是随机事件．
故选：．
根据题意，结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义依次分析所给的个事件，即可得答案．
本题考查随机事件的定义，注意随机事件的分类，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的概念是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示的正三棱柱，其主视图是矩形，矩形中间有一条纵向的虚线．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又点，，在反比例函数的图象上，
点，在第四象限，点在第二象限，
，，
．
故选：．
根据反比例函数的增减性解答即可．
本题考查利用反比例函数的增减性质判断图象上点的坐标特征．注意反比例函数的性质的叙述必须是在同一个象限内，随的增大而增大．
 

7.【答案】 

【解析】解：将上部三张图片分别记作、、，下部三张图片记作、、，
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中这两张小图片恰好合成一张完整图片的有种结果，
所以这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为，
故选：．
将上部三张图片分别记作、、，下部三张图片记作、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察图象可知，乙先到村，A正确，不符合题意；
甲的速度：，B正确，不符合题意；
设甲，乙相遇，由图象可得：，，
则乙的速度：，C正确，不符合题意；
图中的值为：，D错误，符合题意．
故选：．
直接观察函数图象可判断；根据图象中的数据可计算出甲的速度，可判断；再计算出乙的速度，即可判断；根据图象甲乙两人相遇，从而可以计算出的值．
本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，，

为直径，
，
为的内心，
，，
，
，
，
，
，过，
，
，

．
故选：．
连接，，求出，根据内心求出，，求出，推出，求出，利用勾股定理得出，解直角三角形可求出答案．
本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，正确作出辅助线后求出是解此题的关键，有一定的难度．
 

10.【答案】 

【解析】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，
，，
、是方程的两个解，
方程整理得，，
，，
，，，






．
故选：．
由一次函数与反比例函数的图象交于，两点，可得出，，，，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征以及函数与方程的关系找出，，，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．
 

12.【答案】 

【解析】解：把这组数据从小到大排列为：，，，，，所以中位数为．
故答案为：．
根据中位数和平均数的求解即可．
此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：
异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
故答案为：．
由题意得：，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点为，，
图象顶点在第三象限，抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
抛物线开口向上，且抛物线经过，
，，即，正确，
，
，
抛物线经过，
，
，错误．
，，
，
，
，正确
抛物线开口向上，经过，，
当时，，或时，，
，
当时，，
，正确．
故答案为：．
由抛物线顶点坐标及抛物线与轴交点可得抛物线与轴另一交点坐标，从而判断，由及可判断，由抛物线对称轴可得与的关系，再由顶点坐标可判断，由抛物线与轴交点可求出及时的取值范围，从而可得的取值范围，进而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：由对称性质知，，，，
，
，
，
由函数图象知，当射线与的夹角为时，面积为，
此时，
，
，
，
为等腰直角三角形，，，
，
，
是的中位线，
，
，
，，
，
将绕点顺时针旋转，得，连接，，如图，

则，，
，即，
，
，
故答案为：．
根据对称性与函数图象得到，，再根据等腰直角三角形与三角形的中位线定理得，结合三角形三边关系求得，将绕点顺时针旋转，得，连接，，得，再由，得到，问题得以解决．
本题考查了函数图象的应用，旋转的性质，直角三角形的性质，关键是由函数图象获取信息和作辅助线．
 

17.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
又平分，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】易证，则，根据，可得，据此即可得解．
依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数．
本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：总人数：人，
等级的人数为：，
等级的频率为：，
等级的人数为：，
故答案为：，，；
由可知，本次调查共抽取了人，
等级有人，男生有人，
等级有人，女生有人，
补全条形统计图，如图所示，

人，
答：该校七年级进行安全再教育的学生有人．
由等级的人数除以它的频率即可求出总人数，用总人数乘以等级的频率即可求出的值，用减去其他各组的频率即可得到的值，用总人数乘以即可得到的值；
先求出等级男生的人数，等级女生的人数，即可补全条形统计图；
根据用样本估计总体的方法进行计算即可．
本题考查了条形统计图，统计表，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：证明：如图，连接，．

、、是的三条切线，切点分别为、、，
，，，
，，
，
平分角，
，
同理得，
，
，
，
，
，
∽，
，
；

如图，连接，点作于点，则四边形是矩形，

，，
、、是的三条切线，切点分别为、、，，，
，，
，，
，
，
的半径是，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据切线的性质得，，，由可得平分角，则，同理得，可得出，根据同角的余角相等得，证明∽，根据相似三角形的性质即可得出结论；
连接，点作于点，则四边形是矩形，可得，利用勾股定理求出，可得的半径是，，可求出，根据可求出答案．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，扇形的面积公式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及切线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图中，菱形即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，矩形即为所求；
如图中，直线即为所求．
 

【解析】作一个边长为的菱形即可；
连接交于点，连接，点即为所求；
作矩形，在上截取一点，使得，连接，四边形即为所求；
取的中点，连接，交于点，连接交于点，交于点，连接，延长交于点，作直线即可．
本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：由题意得：，
收益万元与按方式一销售产品吨的函数关系式；
当时，设收益万元与销售产品吨的函数关系式为，
抛物线过原点，
，
解得：，
；
当时，；
收益万元与销售产品吨的函数关系式为；
，，
，
当时，即，
解得：，
，
，
当时，最大，最大值为；
当时，即，
解得：，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
综上，当时，最大，最大值为万元．
按方式一销售吨，按方式二销售吨，才能使这吨产品的总收益最大． 

【解析】由图象直接求出函数解析式即可；
按分段函数求出解析式即可；
根据总收益两种收益之和，按分段函数列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据图象求出函数解析式．
 

23.【答案】证明：，，
，
，
∽，
；
过点作，交的延长线于点，过点作于点，则，

∽，
，
由同理得：∽，∽，
，，
，
，
，
；
如图，过点作，交的延长线于，交的延长线于，

，
，
，
≌，
，，
是等边三角形，
设，则，，，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，舍，
在中，，
． 

【解析】根据两角相等证明∽，即可解答；
过点作，交的延长线于点，过点作于点，则，证明∽，列比例式，根据中的一线三等角可得∽，∽，则，，结合已知可得，从而得结论；
如图，过点作，交的延长线于，交的延长线于，证明≌，得，，可得是等边三角形，设，则，，，证明∽，列比例式可得结论．
此题属于相似三角形的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质以及一线三等角的模型，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
解：如图，过点作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，把，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
，，，
，
轴，
是等腰直角三角形，
，，
又，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得：，，
为直线上方抛物线上的动点，
，
，
；
证明：如图，抛物线：，
将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，
抛物线的解析式为：，
设，，
则直线的解析式为，
直线经过定点，
，
，
直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
由，
解得：或，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得：，
，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
直线必过定点 

【解析】利用待定系数法即可求得答案；
如图，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，可证得：是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再由，建立方程求解即可得出答案；
先求得平移后的抛物线的解析式为：，设，，则直线的解析式为，由直线经过定点，可得，再由直线经过点，可得直线的解析式为，进而求得，再运用待定系数法求得直线的解析式为，当时，，即直线必过定点
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线的平移变换，直线恒过定点问题，解决本题的关键是可以通过直线与抛物线的图象只有一个交点得出直线和直线的与和的关系．