四川省南充高级中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份四川省南充高级中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省南充高级中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
2．在下列运算中，计算正确的是（　　）
A．（﹣a）2•（﹣a）3＝﹣a6 B．（ab2）2＝a2b4
C．a2+a2＝2a4 D．（a2）3＝a5
3．下列各式，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b﹣1）（a﹣b+1） B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）
C．（a+b2）（b2﹣a） D．（2x+y）（﹣2x﹣y）
4．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和乙和丙 D．甲和丙
5．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣12xy2□+12xy，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（　　）
A．+8x2y B．﹣8x2y C．+8xy D．﹣8xy2
6．若计算（3x2+2ax+1）•（﹣3x）﹣4x2的结果中不含有x2项，则a的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣ D．﹣
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，BD＝4，那么CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，在3×3的正方形网格中两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形（包括网格）构成一个轴对称图形，那么涂法共有（　　）

A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
9．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，以CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，以BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接BD、CD，再连接AD，与BC的延长线交于点H．
下列叙述正确的是（　　）

A．AC平分∠BAD B．BH垂直平分线段AD
C．S△ABC＝BC•AH D．AB＝AD
10．如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；⑥△CPQ为等边三角形；⑦CO平分∠AOE；正确的有（　　）个．

A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是　 　边形．
12．已知m+n＝mn，则（m﹣1）（n﹣1）＝　 　．
13．若（x﹣5）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣15，则m、n的值分别为 　 　．
14．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于　 　．

15．在△ABC中，AD平分∠BAE，AE平分∠CAD，AB＝EB＝DC＝AC，则∠ADE＝　 　．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为　 　．

三、解答题（共86分）
17．①（0.125）2021•（﹣8）2022+（π﹣3.14）0+（﹣3）3；
②（﹣36x4y3﹣24x3y2+6xy）÷6xy．
18．先化简，再求值：（2a+3b）2﹣3（2a﹣b）（2a+b）﹣4a（﹣2a﹣b），其中．
19．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）化简代数式|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　 　．
（2）若∠B＝∠A+18°，∠C＝∠B+18°，求△ABC的各内角度数．
20．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．

21．如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）作出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出点C关于x轴对称C2的坐标：　 　；
（3）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置．

22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）若∠ACB＝66°，且∠B＝∠CAD，求∠E的度数．

23．认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：　 　；方法2：　 　．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　 　；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝4，求阴影部分的面积．
24．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，
①求证：AF＝AE+AD；
②求证：AD∥BC．
（2）如图2，若AD＝AB，那么线段AF，AE，BC之间存在怎样的数量关系．

25．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．



参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．在下列运算中，计算正确的是（　　）
A．（﹣a）2•（﹣a）3＝﹣a6 B．（ab2）2＝a2b4
C．a2+a2＝2a4 D．（a2）3＝a5
【分析】对四个选项逐一计算，选出正确的答案．
解：①（﹣a）2•（﹣a）3＝﹣a5≠﹣a6，故不正确；
②（ab2）2＝a2b4，故正确；
③a2+a2＝2a2≠2a4，故不正确；
④（a2）3＝a6≠a5，故不正确，
故选：B．
【点评】本题考查的是幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
3．下列各式，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b﹣1）（a﹣b+1） B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）
C．（a+b2）（b2﹣a） D．（2x+y）（﹣2x﹣y）
【分析】平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，根据公式的特点逐个判断即可．
解：A、（a+b﹣1）（a﹣b+1）＝[a+（b﹣1）][a﹣（b﹣1）]，两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B、（﹣a﹣b）（﹣a+b）＝（﹣a+b）（﹣a﹣b），两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
C、（a+b2）（b2﹣a）＝（b2+a）（b2﹣a），两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
D、（2x+y）（﹣2x﹣y）＝﹣（2x+y）（2x+y），两数和乘以的不是这两个数的差，不能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解题的关键，注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
4．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和乙和丙 D．甲和丙
【分析】根据题目中的图形和全等三角形的判定方法可以解答本题．
解：根据AAS可以判定三角形甲和左侧的△ABC全等，
根据SAS可以判定三角形乙和左侧的△ABC全等，
根据ASA可以判定三角形丙和左侧的△ABC全等，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．
5．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣12xy2□+12xy，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（　　）
A．+8x2y B．﹣8x2y C．+8xy D．﹣8xy2
【分析】根据单项式乘多项式的乘法法则解决此题．
解：﹣4xy（3y﹣2x﹣3）＝﹣4xy•3y+4xy•2x+4xy×3＝﹣12xy2+8x2y+12xy．
∴□内应填写+8x2y．
故选：A．
【点评】本题主要考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
6．若计算（3x2+2ax+1）•（﹣3x）﹣4x2的结果中不含有x2项，则a的值为（　　）
A．2 B．0 C．﹣ D．﹣
【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含x2项，则其相应的系数为0，从而可求解．
解：（3x2+2ax+1）•（﹣3x）﹣4x2
＝﹣9x3﹣6ax2﹣3x﹣4x2
＝﹣9x3+（﹣6a﹣4）x2﹣3x
∵结果中不含有x2项，
∴﹣6a﹣4＝0，
解得a＝﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式乘多项式，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，BD＝4，那么CD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出AD的长及∠BAD的度数，进而可得出∠DAC的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°
∴∠B＝30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝4cm，
∴AD＝BD＝4cm，∠BAD＝∠B＝30°，
∴DE＝BD＝＝2，
BE＝2，
∴AB＝2BE＝4，
∴AC＝AB＝×＝2，
∴BC＝AC＝＝6，
∴CD＝CB﹣BD＝6﹣4＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
8．如图，在3×3的正方形网格中两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形（包括网格）构成一个轴对称图形，那么涂法共有（　　）

A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形．

故选：B．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
9．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，以CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，以BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接BD、CD，再连接AD，与BC的延长线交于点H．
下列叙述正确的是（　　）

A．AC平分∠BAD B．BH垂直平分线段AD
C．S△ABC＝BC•AH D．AB＝AD
【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
解：由作图可知，CA＝CD，BA＝BD，
∴BH垂直平分线段AD，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；⑥△CPQ为等边三角形；⑦CO平分∠AOE；正确的有（　　）个．

A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】由△ABC和△CDE是正三角形，其性质得三边相等，三个角为60°，平角的定义和角的和差得∠ACD＝∠BCE，边角边证明△ACD≌△BCE，其性质得结论①正确；角边角证明△ACP≌△BCQ得AP＝BQ，其结论③正确；等边三角形的判定得△PCQ是等边三角形，结论⑥正确；∠CPQ＝∠ACB＝60°判定两线PQ∥AE，结论②正确；角角边证明△ACM≌△BCN，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点C在∠AOE的平分线上，结论⑦正确；反证法证明命题DE≠DP，结论④错误；即正确结论共6个．
解：如图1所示：

∵△ABC和△CDE是正三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
又∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，
∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴结论①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BCD＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，PC＝QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠CPQ＝∠ACB＝60°，
∴PQ∥AE，
∴结论②、③、⑥正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BCE，
又∵∠ADC+∠DQO+∠DOQ＝180°，
∠QCE+∠CQE+∠QEC＝180°，
∠DQO＝∠CQE，
∴∠DOQ＝∠QCE＝60°，
又∵∠DOQ＝∠AOB，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴结论⑤正确；
若DE＝DP，
∵DC＝DE，
∴DP＝DC，
∴∠PCD＝∠DPC，
又∵∠PCD＝60°，
∴∠DPC＝60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立，
∴结论④错误；
过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点，
如图2所示：

∵CM⊥AD，CN⊥BE，
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
又∵OC在∠AOE的内部，
∴点C在∠AOE的平分线上，
∴结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
故选：C．
【点评】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是　十二　边形．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）＝360°×5，
解得n＝12．
故答案为：十二．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
12．已知m+n＝mn，则（m﹣1）（n﹣1）＝　1　．
【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代入计算．
解：（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1，
∵m+n＝mn，
∴（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1＝1，
故答案为1．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．
13．若（x﹣5）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣15，则m、n的值分别为 　﹣13，﹣3．　．
【分析】利用多项式乘多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．
解：∵（x﹣5）（2x﹣n）＝2x2﹣（n﹣10）x+5n＝2x2+mx﹣15，
∴n﹣10＝m，5n＝﹣15，
解得n＝﹣3，m＝﹣3﹣10＝﹣13．
故答案为：﹣13，﹣3．
【点评】本题考查多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等列式是求解的关键，明白乘法运算和分解因式是互逆运算．
14．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于　5　．

【分析】过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF＝DE，则可求得△BCE的面积．
解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴DE＝EF＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，
故答案为：5．

【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
15．在△ABC中，AD平分∠BAE，AE平分∠CAD，AB＝EB＝DC＝AC，则∠ADE＝　72°　．

【分析】设∠DAE＝x，由AD平分∠BAE，AE平分∠CAD，得∠BAD＝∠DAE＝x，∠CAE＝∠DAE＝x．根据等腰三角形的性质，由AB＝EB＝DC＝AC，得∠BAE＝∠AEB＝∠BAD+∠DAE＝2x，∠DAC＝∠ADC＝∠DAE+∠CAE＝2x．根据三角形的内角和定理，由∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，得x+2x+2x＝180°，那么x＝36°，从而解决此题．
解：设∠DAE＝x．
∵AD平分∠BAE，AE平分∠CAD，
∴∠BAD＝∠DAE＝x，∠CAE＝∠DAE＝x．
又∵AB＝EB＝DC＝AC，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠BAD+∠DAE＝2x，∠DAC＝∠ADC＝∠DAE+∠CAE＝2x．
∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，
∴x+2x+2x＝180°．
∴x＝36°．
∴∠ADE＝2x＝72°．
故答案为：72°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解决本题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为　7　．

【分析】如图，连接PA．利用三角形的面积公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PA，推出PB+PD＝PA+PD，由PA+PD≥AD，推出PA+PD≥4，推出PA+PD的最小值为4，由此即可解决问题．
解：如图，连接PA．

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝3，
∵S△ABC＝•BC•AD＝12，
∴AD＝4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB＝PA，
∴PB+PD＝PA+PD，
∵PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴PA+PD的最小值为4，
∴△PBD的最小值为4+3＝7，
故答案为7．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共86分）
17．①（0.125）2021•（﹣8）2022+（π﹣3.14）0+（﹣3）3；
②（﹣36x4y3﹣24x3y2+6xy）÷6xy．
【分析】①利用乘方运算和零指数幂运算计算；
②利用整式的除法运算去括号，再加减．
解：①（0.125）2021•（﹣8）2022+（π﹣3.14）0+（﹣3）3
＝（0.125）2021•（8）2021×8+1+（﹣27）
＝（0.125×8）2021×8+1﹣27
＝12021×8+1﹣27
＝8+1﹣27
＝18；
②（﹣36x4y3﹣24x3y2+6xy）÷6xy
＝（﹣36x4y3）÷6xy﹣24x3y2÷6xy+6xy÷6xy
＝﹣6x3y2﹣4x2y+1．
【点评】本题考查了实数的运算，整式的除法，解题的关键是掌握乘方运算和零指数幂运算，整式的除法运算．
18．先化简，再求值：（2a+3b）2﹣3（2a﹣b）（2a+b）﹣4a（﹣2a﹣b），其中．
【分析】先利用整式的乘法，去括号，合并同类项得出最简结果，算出a、b的值，代入即可．
解：原式＝4a2+12ab+9b2﹣3（4a2﹣b2）+8a2+4ab
＝4a2+12ab+9b2﹣12a2+3b2+8a2+4ab
＝16ab+12b2，
∵|a+2|+（b﹣）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣＝0，
∴a＝﹣2，b＝，
∴原式＝16×（﹣2）×+12×＝﹣13．
【点评】本题考查了整式的化简求值，解题关键：掌握整式中的多项式乘以多项式、平方差公式以及完全平方公式．
19．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）化简代数式|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　2b﹣2c　．
（2）若∠B＝∠A+18°，∠C＝∠B+18°，求△ABC的各内角度数．
【分析】（1）利用“三角形两边之和大于第三边”可得出|a+b﹣c|＝a+b﹣c，|b﹣c﹣a|＝（﹣b+c+a），再将其代入|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|中可得出|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝2b﹣2c；
（2）由∠B＝∠A+18°，∠C＝∠B+18°，结合∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠A的度数，再将其代入∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°中可求出∠B，∠C的度数．
解：（1）|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|
＝（a+b﹣c）﹣（﹣b+c+a）
＝a+b﹣c+b﹣c﹣a
＝2b﹣2c；
故答案为：2b﹣2c；
（2）∵∠B＝∠A+15°，∠C＝∠B+15°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+（∠A+18°）+（∠A+18°+18°）＝180°，
∴∠A＝42°，
∴∠B＝∠A+18°＝42°+18°＝60°，∠C＝∠B+18°＝60°+18°＝78°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形三边关系，解题的关键是：（1）牢记“三角形两边之和大于第三边”；（2）牢记“三角形内角和是180°”．
20．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．

【分析】（1）先根据角平分线的定义得出∠ACB＝∠FCE，再根据全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠FCE，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠FCE，
在△ABC与△FEC中，
，
∴△ABC≌△FEC（AAS），
∴AB＝FE；
（2）∵AB∥CE，
∴∠B＝∠FCE，
∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，
∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，
∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，
即3∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ABC与△FEC全等解答．
21．如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）作出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出点C关于x轴对称C2的坐标：　（﹣1，﹣1）　；
（3）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置．

【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）直接利用关于直线对称点的性质得出答案；
（1）连接AC1，与y轴的交点即为所求点P．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，

（2）如图所示：C2（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；

（3）如图所示：点P为所求，

【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）若∠ACB＝66°，且∠B＝∠CAD，求∠E的度数．

【分析】（1）由∠B＝35°，∠ACB＝85°，根据三角形内角和等于180°，可得∠BAC的度数，因为AD平分∠BAC，从而可得∠DAC的度数，进而求得∠ADC的度数，由PE⊥AD，可得∠DPE的度数，从而求得∠E的度数．
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．
解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∠B+∠ACB+∠BAC＝180°．
∴∠BAC＝60°．
∵AD平分∠BAC．
∴∠DAC＝∠BAD＝30°．
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°．
又∵PE⊥AD．
∴∠DPE＝90°．
∵∠PDE+∠DPE+∠E＝180°．
∴∠E＝25°；
（2）∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
设∠B＝α，
∴∠BAC＝2α，
∵∠ACB＝66°，
∴3α+66°＝180°，
∴α＝38°，
∴∠B＝∠BAD＝38°，
∴∠PDC＝∠B+∠BAD＝76°，
∵EP⊥AD，
∴∠EPD＝90°，
∴∠E＝90°﹣76°＝14°．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和的应用，关键是可以根据题意，灵活变化，最终求出所要求的问题的答案．
23．认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1：　a2+b2　；方法2：　（a+b）2﹣2ab　．
（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：
如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）用两个正方形面积相加或用大正方形面积减去两个矩形面积均可表示阴影部分面积；
（2）阴影部分面积相等即可得到等式；
（3）用m、n表示出阴影部分面积，再变形成含m+n和mn的形式，将m+n＝mn＝4代入即可得答案．
解：（1）阴影部分面积为两个正方形面积的和，即a2+b2；阴影部分面积为大正方形面积减去两个矩形面积，即（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）阴影部分面积相等，即得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）∵阴影部分的面积＝S正方形ABCD+S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF＝m2+n2﹣m2﹣（m+n）n，
∴阴影部分的面积＝m2+n2﹣mn＝（m2+n2）﹣mn＝[（m+n）2﹣2mn]﹣mn，
∵m+n＝mn＝4，
∴阴影部分的面积＝[（m+n）2﹣2mn]﹣mn＝×[42﹣2×4]﹣×4＝2，
答：阴影部分面积为2．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景及应用，解题的关键是将阴影部分面积用含m、n的代数式表示出来，再变形成含m+n和mn的形式．
24．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，
①求证：AF＝AE+AD；
②求证：AD∥BC．
（2）如图2，若AD＝AB，那么线段AF，AE，BC之间存在怎样的数量关系．

【分析】（1）①由“SAS”可证△BCE≌△ACD，可得AD＝BE，可得结论；
②由全等三角形的性质可得∠DAC＝∠EBC，由平行线的判定可得结论；
（2）如图2，在 FA 上截取 FM＝AE，连接 DM，由“SAS”可证△AED≌△MFD，可得DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，可证∠ADM＝∠BAC，由“SAS”可证△ABC≌△DAM，可得AM＝BC，可得结论．
【解答】证明：（1）①∵∠BAC＝∠EDF＝60°，AB＝AC，DE＝DF，
∴△ABC，△DEF 为等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE 和△ACD 中，

∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，
∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF，
即 AF＝AE+AD；
②∵△BCE≌△ACD，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠DAC＝60°，
∴∠EBC+∠EAC+∠DAC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）如图2，在 FA 上截取 FM＝AE，连接 DM，

∵∠BAC＝∠EDF，∠ANE＝∠DNF，
∴∠AED＝∠MFD，
在△AED 和△MFD 中，

∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，
即∠ADM＝∠EDF，
∴∠ADM＝∠BAC，
在△ABC 和△DAM 中，

∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM＝BC，
∴AE+BC＝FM+AM＝AF．
即 AF＝AE+BC．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．

【分析】（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD（ASA），即得CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，由∠DCE＝∠GCE＝45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE＝∠G，从而得到结论；
（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E，构建全等三角形：△CBE≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CE＝BO，BE＝AO＝4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPE≌△DPB，故BP＝EP＝2．
解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAF+∠BAO＝90°，
∴∠ACF＝∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
，
∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF＝OA＝1，
∴A（0，1）；

（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠AGC＝∠ADO，
在△ACG和△ABD中，，
∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，
∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，
∴∠DCE＝∠GCE＝45°，
在△DCE和△GCE中，
，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE＝∠G，
∴∠ADB＝∠CDE；

（3）BP的长度不变，理由如下：
如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABO＝90°．
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴CE＝BO，BE＝AO＝4．
∵BD＝BO，
∴CE＝BD．
∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，
∴△CPE≌△DPB（AAS），
∴BP＝EP＝2．



【点评】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．