四川省南充高级中学2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷 (含答案)

这是一份四川省南充高级中学2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷 (含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
四川省南充高级中学2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．2
3．一个三角形的三边长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则这个三角形的周长不可能是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，如果∠BAD＝56°，则∠ACD的大小为（　　）

A．34° B．46° C．56° D．44°
5．函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）

A．3 B．4 C． D．
7．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣3，则关于x方程ax2+bx﹣1＝﹣4的实数根的情况是（　　）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．有两个实根 D．没有实根
8．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．4 C．4 D．4
9．若关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2+x﹣4k2＝0的一个根为1，则k的值为（　　）
A． B．0或 C．1 D．0
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）4a+b＝0；（3）9a+c＞3b；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣0.5，y2）、点C（3.5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；其中正确的结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 　 　．
12．二次函数y＝x2+3x+a与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一个交点为 　 　．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为 　 　．

14．已知抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3（2≤x≤5），则函数的最小值为　 　．
15．如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为　 　．

16．如图，在正方形ABCD中，点G为CD边上一点，以CG为边向右作正方形CEFG，连接AF，BD交于点P，连接BG，过点F作FH∥BG交BC于点H，连接AH，交BD于点K，下列结论中：①HE＝CD；②△AHF是等腰直角三角形；③点P为AF中点；④PK＝BK+DP，错误的是 　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤。
17．（6分）解方程
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
18．（8分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，
问：（1）求∠AOB的度数；
（2）求弦BC的长．

19．（8分）如图，已知A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2．

20．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
21．（10分）如图，直线l经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y＝x2+1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象的顶点与点A、B组成的三角形的面积．

22．（10分）如图，AC是四边形ABCD外接圆O的直径，AB＝BC，∠DAC＝30°，延长AC到E使得CE＝CD，作射线ED交BO的延长线与F，BF交AD与G．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AO＝2，求△FGD的周长．

23．（10分）2022年北京冬奥会后，吉祥物“冰墩墩”与“雪容融”很受欢迎，非常畅销．小李用1200元批发了一批吉祥物销售，很快售完，他又用1200元批发同样的吉祥物销售，由于批发价上涨了20%，因此第二批吉祥物的数量比第一批少了10个．
（1）求每个吉祥物的批发原价是多少？
（2）调查发现，每个吉祥物的售价为40元时，每周可售出30个．小李为了增加销量，决定降价促销，若售价每降低1元，每周的销量可增加5个，每个吉祥物需要扣除2元的小店运营成本．求当吉祥物的售价为多少时每周的利润最大？最大利润是多少？（吉祥物的进价全部按涨价后的价格计算）．
24．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B＝∠E＝30°时，此时旋转角的大小为 　 　；
②当∠B＝∠E＝α时，此时旋转角的大小为 　 　（用含a的式子表示）．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．

25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点为M，直线y＝x+d经过C，M两点，并且与x轴交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若四边形CDAN是平行四边形，且点N在抛物线上，则点N的坐标为　 　；
（3）平面内是否存在点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


四川省南充高级中学2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度和原图形完全重合．
2．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．2
【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：如图：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝＝2，
故选：C．

【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
3．一个三角形的三边长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则这个三角形的周长不可能是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝5，再根据三角形三边的关系确定三角形的三边，然后计算出对应的三角形的周长，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝2，x2＝5，
当三角形三边分别为2、2、2时，三角形的周长为6；
当三角形三边分别为5、5、2时，三角形的周长为12；
当三角形三边分别为5、5、5时，三角形的周长为15．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
4．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，如果∠BAD＝56°，则∠ACD的大小为（　　）

A．34° B．46° C．56° D．44°
【分析】根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，∠ACD＝∠ABD，求出∠ABD的度数即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∠BAD＝56°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝34°，
∴∠ACD＝∠ABD＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的性质和圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
5．函数y＝ax﹣2（a≠0）与y＝ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．
【解答】解：∵在y＝ax﹣2，
∴b＝﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）

A．3 B．4 C． D．
【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA＝OC＝O'C＝1、OB⊥OC、O'B'⊥O'C、BC＝B′C，根据AB′＝5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，
∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，
∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，
∵AB′＝5，
∴，
∴，
∴，
即菱形ABCD的边长是，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．
7．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣3，则关于x方程ax2+bx﹣1＝﹣4的实数根的情况是（　　）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．有两个实根 D．没有实根
【分析】根据若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣3，结合函数图象即可推断．
【解答】解：抛物线的最小值为﹣3，则函数值是﹣4的x的值不存在，
则方程ax2+bx+c﹣1＝﹣4没有实数根，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数即为对应的一元二次方程根的个数是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
8．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．4 C．4 D．4
【分析】如图，连接OA，OC．设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，构建方程组求出r即可．
【解答】解：如图，连接OA，OC．

∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
9．若关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2+x﹣4k2＝0的一个根为1，则k的值为（　　）
A． B．0或 C．1 D．0
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝1代入（2k﹣1）x2+x﹣4k2＝0中求出k的值；然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
【解答】解：把x＝1代入（2k﹣1）x2+x﹣4k2＝0，得
2k﹣1+1﹣4k2＝0，
解得k1＝0，k2＝，
而2k﹣1≠0，
所以k≠．
所以k＝0符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）b2﹣4ac＞0；（2）4a+b＝0；（3）9a+c＞3b；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣0.5，y2）、点C（3.5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；其中正确的结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】抛物线交y轴于正半轴，c＞0，根据抛物线的对称轴为直线x＝2，则有4a+b＝0；观察函数图象得到当x＝﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；利用抛物线的对称性得到（，y3），然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线y＝﹣3，然后依据函数图象进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线交y轴于正半轴，c＞0，故①正确．
∵x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，故②正确．
由函数图象可知：当x＝﹣3时，y＜0，即9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故③错误．
∵抛物线的对称轴为x＝2，C（，y3），
∴（，y3）．
∵﹣3＜﹣＜，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1＜y2＜y3，故④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质以及数学结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 　2019　．
【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得到α2+2α﹣2021＝0，α+β＝﹣2，即可求得α2+2α＝2021，再根据α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）即可求出答案；
【解答】解：∵α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴α2+2α﹣2021＝0，α+β＝﹣2，
∴α2+2α＝2021，
∴α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021+（﹣2）＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的解是x1和x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．二次函数y＝x2+3x+a与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一个交点为 　（﹣2，0）　．
【分析】先确定抛物线的对称轴，然后利用二次函数的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
而抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0）．
故答案为（﹣2，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查二次函数的性质．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为 　128°　．

【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠DCE＝64°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝116°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝64°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝128°，
故答案为：128°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14．已知抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3（2≤x≤5），则函数的最小值为　﹣3　．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当2≤x≤5时，对应的最小值，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数图象开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的在增大而减小，
∵2≤x≤5，
∴当x＝2时，该函数取得最小值，此时y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为　3cm　．

【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），根据垂径定理及圆周角定理可得∠DOA′＝∠AOD＝60°，最后由勾股定理可得答案．
【解答】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），

∵|OA|＝|OB|＝|OA′|＝|CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，
∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，
∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，
∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，
∴△BOA′为等腰直角三角形，
∴AP+BP的最小值为：|A′B|＝＝3cm．
故答案为：3cm．
【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆满周角定理、垂径定理是解决此题关键．
16．如图，在正方形ABCD中，点G为CD边上一点，以CG为边向右作正方形CEFG，连接AF，BD交于点P，连接BG，过点F作FH∥BG交BC于点H，连接AH，交BD于点K，下列结论中：①HE＝CD；②△AHF是等腰直角三角形；③点P为AF中点；④PK＝BK+DP，错误的是 　④　．

【分析】①证明四边形BHFG为平行四边形，得BH＝GF＝CE，得BC＝HE，再由正方形的性质得HE＝CD，进而便可判断选项正误；
②证明△ABH≌△HEF，进而得出△AHF是等腰直角三角形，便可判断选项正误；
③过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，证明四边形EFMH为矩形，再证明△PAD≌△PFM得AP＝FP，便可判断选项正误；
④将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，证明△AQK≌△APK得AK＝PK，进而得BK2+DP2＝KP2，便可判断正误．
【解答】解：①∵四边形CEFG是正方形，
∴GF∥CE，GF＝CE，
∵BG∥HF，
∴四边形BHFG为平行四边形，
∴GF＝BH，
∴BH＝CE，
∴BC＝HE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD．
∴HE＝CD，
故①正确；
②∵ABCD是正方形，CEFG是正方形，
∴AB＝BC，CE＝EF，∠ABH＝∠HEF＝90°，
∵BC＝HE，BH＝CE，
∴AB＝HE，BH＝EF，
∴△ABH≌△HEF（SAS），
∴AH＝HF，∠BAH＝∠EHF，
∵∠BAH+∠AHB＝90°，
∴∠EHF+∠AHB＝90°，
∴∠AHF＝90°，
∴△AHF为等腰直角三角形，
故②正确；
③过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，则MH∥EF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠HBD＝∠ABC，
∴∠HBM＝45°，
∴BH＝MH，
∵△ABH≌△HEF，
∴BH＝EF，
∴MH＝EF，
∴四边形EFMH为矩形，
∴MF∥BE∥AD，MF＝HE，
∴∠DAP＝∠MFP，∠ADP＝∠FMP，
∵AD＝BC＝HE，
∴AD＝MF，
∴△PAD≌△PFM（ASA），
∴AP＝FP，
故③正确；
④将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，则AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴∠HAF＝45°，
∴∠QAK＝∠PAK＝45°，
∵AK＝AK，
∴△AQK≌△APK（SAS），
∴QK＝PK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
由旋转性质知，∠ABQ＝∠ADP＝45°，BQ＝DP，
∴∠QBK＝90°，
∴BK2+BQ2＝QK2，
∴BK2+DP2＝KP2，
故④错误；

故答案为：④．
【点评】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤。
17．（6分）解方程
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x＝3，
则x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
则x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（8分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，
问：（1）求∠AOB的度数；
（2）求弦BC的长．

【分析】（1）由OA⊥BC于H，先根据垂径定理得到BH＝CH，，再利用圆周角定理得到∠AOB＝60°；
（2）在Rt△OBH中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BC的长．
【解答】解：（1）如图，
∵OA⊥BC于H，
∴BH＝CH，，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°；
（2）在Rt△OBH中，OH＝OB＝1，
∴BH＝OH＝，
∴BC＝2BH＝2．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
19．（8分）如图，已知A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2．

【分析】（1）根据中心对称变换的小猪猪分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
20．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）Δ＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣4，
∴＝x1x2﹣4，
∴，
∴k＝5或k＝﹣3，
由（1）可知：k＝5舍去，
∴k＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型．
21．（10分）如图，直线l经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y＝x2+1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象的顶点与点A、B组成的三角形的面积．

【分析】（1）欲求△AOC的面积，根据三角形的面积公式，需求出OA的长度和C点的纵坐标．由A（3，0）可知OA＝3，要求C点的纵坐标可先用待定系数法求出直线AB的解析式，再与二次函数的解析式联立，求出方程组的解，可得C点的纵坐标的值．
（2）先求出D点坐标，再根据三角形的面积公式直接求出△ABD的面积．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入，得，
解得，
∴直线AB：y＝﹣x+3，
解方程组，
得C（1，2），
∴△AOC的面积为×3×2＝3．

（2）由顶点坐标公式得D（0，1），
∴S△ABD＝×2×3＝3．
【点评】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点坐标及三角形的面积公式．在求两个函数的交点时，只需将这两个函数的解析式联立，所得方程组的解即为交点坐标
22．（10分）如图，AC是四边形ABCD外接圆O的直径，AB＝BC，∠DAC＝30°，延长AC到E使得CE＝CD，作射线ED交BO的延长线与F，BF交AD与G．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AO＝2，求△FGD的周长．

【分析】（1）先证△OCD是等边三角形，可得∠ODC＝60°，可得∠ODE＝90°，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，可证△FGD是等边三角形，可得FD＝DG＝FG，由直角三角形的性质可求DG的长，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，
又∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO⊥AC，
∴∠AOG＝∠EOF＝90°，
∵∠DAC＝∠E＝30°，
∴∠AGO＝∠F＝60°，
∴∠F＝∠FGD＝60°，
∴△FGD是等边三角形，
∴FD＝DG＝FG，
∵AO＝2，∠DAC＝30°，∠ADC＝∠AOG＝90°，
∴AC＝4，DC＝AC＝2，AD＝DC＝2，AG＝2OG，AO＝OG，
∴OG＝，AG＝，
∴DG＝，
∴△FGD的周长＝3×DG＝2．
【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23．（10分）2022年北京冬奥会后，吉祥物“冰墩墩”与“雪容融”很受欢迎，非常畅销．小李用1200元批发了一批吉祥物销售，很快售完，他又用1200元批发同样的吉祥物销售，由于批发价上涨了20%，因此第二批吉祥物的数量比第一批少了10个．
（1）求每个吉祥物的批发原价是多少？
（2）调查发现，每个吉祥物的售价为40元时，每周可售出30个．小李为了增加销量，决定降价促销，若售价每降低1元，每周的销量可增加5个，每个吉祥物需要扣除2元的小店运营成本．求当吉祥物的售价为多少时每周的利润最大？最大利润是多少？（吉祥物的进价全部按涨价后的价格计算）．
【分析】（1）设每个吉祥物的批发原价是x元，则涨价后每个吉祥物的批发是x（1+0.2）元，根据用1200元批发同样的吉祥物销售，第二批吉祥物的数量比第一批少了10个列出方程，解方程即可；
（2）设每个吉祥物降价a元，根据每周利润＝单个利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设每个吉祥物的批发原价是x元，则涨价后每个吉祥物的批发是x（1+0.2）元，
根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的根，
答：每个吉祥物的批发原价是20元；
（2）设每个吉祥物降价a元，利润为w元，
则w＝（30+5a）（40﹣a﹣1.2×20﹣2）＝﹣5a2+40a+420＝﹣5（a﹣4）2+500，
∵﹣5＜0，
∴当a＝4时，w有最大值，最大值为500，
此时，40﹣a＝40﹣4＝36，
答：当吉祥物的售价为36元时每周的利润最大，最大利润是500元．
【点评】本题考查二次函数和分式方程的应用，关键是找到等量关系写出函数解析式和方程．
24．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B＝∠E＝30°时，此时旋转角的大小为 　60°　；
②当∠B＝∠E＝α时，此时旋转角的大小为 　2α　（用含a的式子表示）．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．

【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．
②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD＝2∠B即可解决问题．
（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣30°＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴旋转角为60°，
故答案为60°．

②如图2中，作CH⊥AD于H．

∵CA＝CD，CH⊥AD，
∴∠ACH＝∠DCH，
∵∠ACH+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，
∴∠ACH＝∠B，
∴∠ACD＝2∠ACH＝2∠B＝2α，
∴旋转角为2α．
故答案为2α．
（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC＝∠EMC＝90°，
∵△ACB≌△DCE，
∴BC＝EC，
在△CBN和△CEM中，
∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC，
∴△CBN≌△CEM（AAS），
∴BN＝EM，
∵S△BDC＝•CD•BN，S△ACE＝•AC•EM，
∵CD＝AC，
∴S△BDC＝S△ACE．
【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点为M，直线y＝x+d经过C，M两点，并且与x轴交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若四边形CDAN是平行四边形，且点N在抛物线上，则点N的坐标为　（2，3）　；
（3）平面内是否存在点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），再表示为顶点式，从而用a表示C、M点的坐标，然后把M（1，﹣4a），（0，﹣3a）代入y＝x+d中求出a得到抛物线解析式；
（2）先写出直线CD的解析式为y＝x+3和D（﹣3，0），C（0，3），利用平行四边形的性质得CN＝AD＝2，CN∥AD，从而可得到N点坐标；
（3）利用垂径定理得到点P在抛物线的对称轴上，作PE⊥CD于E，如图，设P（1，m），D（1，4），先确定∠PMD＝45°得到PE＝（4﹣m），再根据切线的性质得PE＝PA，即[（4﹣m）]2＝（1+1）2+m2，然后解关于m的方程即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
当x＝0时，y＝﹣3a，则C（0，﹣3a），
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴M（1，﹣4a），
把M（1，﹣4a），（0，﹣3a）代入y＝x+d得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）直线CD的解析式为y＝x+3，则D（﹣3，0），C（0，3），
∵四边形CDAN是平行四边形，
∴CN＝AD＝2，CN∥AD，
∴N（2，3）；
故答案为（2，3）；
（3）存在．
∵以点P为圆心的圆经过A、B两点，
∴点P在抛物线的对称轴上，
作PE⊥CD于E，如图，设P（1，m），D（1，4），
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴∠PMD＝45°，
∴PE＝PM＝（4﹣m），
∵⊙P与直线CD相切，
∴PE＝PA，
∴[（4﹣m）]2＝（1+1）2+m2，
整理得m2+8m﹣8＝0，解得m1＝﹣4+2，m2＝﹣4﹣2
∴P点坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的性质和切线的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．