2022-2023学年广东省佛山市第一中学高二上学期第一次段考试题（10月）数学Word版含答案

佛山一中2022~2023学年度高二上学期第一次段考试题

数　学

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.     对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则(    )

A. O，A，B，C四点共面 B. P，A，B，C四点共面
C. O，P，B，C四点共面 D. O，P，A，B，C五点共面

2.     点P’与P关于平面xOy对称，点P”与P’关于z轴对称，则点P”与P关于(    )对称.

A. x轴 B. 平面yOz C. 原点O D. 不是以上答案

3.     如果A，B是互斥事件，那么(    )

A. 是必然事件                 B . 与一定是互斥事件 

C. 与一定不是互斥事件         D. 是必然事件

4.     已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的法向量为，，，则(    )

A. 平面平面ABC B. 平面平面ABC
C. 平面、平面ABC相交但不垂直 D. 以上均有可能

5.     甲、乙两人每人可以用手出0，5，10三种数字，同时可以喊0，5，10，15，20五种数字。某人若所喊数字等于两人所出数字之和则胜。若甲喊10，乙喊15，则(    )

A. 甲胜的概率大   B. 乙胜的概率大   C. 甲、乙胜的概率一样大    D. 不能确定

6.     一次数学测试某班成绩的频率分布直方图如图所示；

则此次测试成绩的班级平均数与中位数分别为(    )

A. 115、115       B. 117.7、117.5       C. 114、117.5       D. 117.5、117.7

7.     如图，在一个的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且，，则CD的长为(    )

A. 2a      B.      C. a       D.

8.     如图，在平行四边形ABCD中，，，，沿对角线BD将折起到的位置，使得平面平面BCD，过BC的平面与PD交于M，则面积的最小值为(    )

A.      B.      C.    D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9.     若 ， ，，则事件A与B的关系错误是(    )

A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与B对立
C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B既互斥又独立

10. 下列说法正确的是(    )

A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是
C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32

11. 已知正三棱柱，，P点满足，其中 则下列说法正确的是(    )

A. 当时，的面积是定值  B. 当时，的周长是定值
C. 当时，的面积是定值  D. 当时，三棱锥的体积为定值

12. 如图，在正四面体ABCD中，M，N分别是线段AB，不含端点上的动点，则下列说法正确的是(    )

A. 对任意点M，N，都有MN与AD异面
B. 存在点M，N，使得MN与BC垂直
C. 对任意点M，存在点N，使得与，共面
D. 对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则__________.
14. 将一个骰子先后抛掷两次，事件A表示“第一次出现奇数点”，事件B表示“第二次的点数不小于5”，则__________ .
15. 如图，三棱锥中，，，的面积为8，则三棱锥外接球的表面积的最小值为__________.
16. 正方体棱长为1，M,N为该正方体外接球球O表面上的两点，P在正方体表面且不在直线MN上，若，则的最小值为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分10分）

如图，在四面体OABC中，，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．

(1)用，，表示向量；

(2)已知，，

求的大小．

18. （本小题满分12分）

在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题. 已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是. 若各家庭回答是否正确互不影响.

（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

（2）求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率.

19. （本小题满分12分）

如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，．

(1)用向量法求证：共面；

(2)当时，求异面直线MN与BC所成角的余弦值．

20. （本小题满分12分）

如图所示，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC，若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

21. （本小题满分12分）

小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一次骰子，向上的点数记为a，小李再掷一次骰子，向上的点数记为b，(a,b)表示一次游戏的结果.

（1）已知向量，, 求满足的概率；  

（2）规定：若方程在区间上有实数根，则小王赢；否则小李赢。试问这个游戏规则公平吗？请说明理由.

22. （本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面是直角梯形，

   （1）若M,N分别是PD，AB中点，求证：

（2）已知，， ，若，求二面角的余弦值.

佛山一中2022~2023学年度上学期第一次段考

数学参考答案与评分标准

第一部分　选择题、填空题答案与解析

12. 【解析】对于选项A，对任意点M，N，假设MN与AD共面，则M、N、A、D四点共面，
因为，则平面ADNM，同理得到平面ADNM，
则平面ADNM，又平面ADNM，
则A、B、C、D四点共面，不符合条件，故MN与AD异面，故A正确；
将正四面体放入正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，，，，因为M，N分别是线段AB，不含端点上的动点，可设，，其中，，
则，，，
，故与不垂直，故B错误；
假设与，共面，则存在实数x，y满足，
即，解得，
即对于任意实数b且，当时，总有，
即对于任意点M，存在点N，使得与，共面，故C正确；
设与的夹角为，与的夹角为，
则，，
可知、均为锐角，则直线MN与BC所成角为，直线MN与AD所成角为，
当时，，即，
即，可得，即MN与AD，BC所成的角相等，故D正确.  故选

16. 【解析】

第二部分　解答题答案与评分标准

17. 【解】(1)连接，因为N是棱BC的中点，

所以，  ------------------1分

因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以.

                         ----------------------------5分

(2) ------7分

因为，，

所以，故.                --------------------10分

18.【解】（1）记A=“甲家庭回答正确这道题”,  B=“乙家庭回答正确这道题”,  C=“丙家庭回答正确这道题”        -------------1分 

由于相互独立，所以由于和相互独立，          ---------------2分

则，所以

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为        ------------6分

（2）因为相互独立，且相互互斥，        ------------8分

所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为.              -------------------12分

19.【解】(1)证明：，               -------------------2分

，，                    -------------------4分

又，    共面．              ---------------6分

(2)设，当时，   ----7分

              -----------8分

，         -----------9分

         -----------10分

   ------------------11分

异面直线MN与BC所成角的余弦值为                       -----------------12分

20. 【解】　(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.   --------------1分

连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.                            ---------------2分

以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，B，C，

＝，＝，    --------------5分

则·＝0.  故OC⊥SD. 从而AC⊥SD.        ---------------6分

(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.        ---------------7分

理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，---8分

＝，＝.

设＝t，则＝＋＝＋t＝，  -------10分

而·＝0⇒t＝.  即当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS.               -------------11分

而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.                          --------------------12分

21.【解】Ω={(x，y)| x，y∈{1，2，3，4，5，6}}，n(Ω)=36           ------------2分

(1)    用A表示事件“”，即，                     -------------3分

则.                             ----------------5分

∴.                                           -------------------6分

(2) 用B表示事件“小王赢”，则表示事件“小李赢”．

设，   由题意知，，           

所以方程在区间上有实数根，等价于，即，

                                             -------------------------------------------8分

.    ，                             -------------------------10分

                                    ---------------------11分

则小王赢的概率小于小李赢的概率，所以这个游戏规则不公平.       --------------------12分

     --------------8分