2022-2023学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之用频率估计概率

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2022-2023学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之用频率估计概率
一．选择题（共7小题）
1．（2021春•靖边县期末）在一个不透明的盒子中装有若干个黑球和白球，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则摸到白球的概率约为（　　）
A．0.8 B．0.3 C．0.2 D．0.5
2．（2021春•陈仓区期末）在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（　　）
A．2个 B．4个 C．18个 D．16个
3．（2021春•盐湖区校级期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率．表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.30
0.50
0.36
0.42
0.38
0.41
0.39
0.40
0.40
A．掷一枚质地均匀的骰子向上面的点数是“5”
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
4．（2021春•富平县期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（　　）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
5．（2021春•晋中期末）下列说法错误的是（　　）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．概率很小的事件不可能发生
C．必然事件发生的概率是1
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算
6．（2021春•漳州期末）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（　　）
A．18张 B．16张 C．14张 D．12张
7．（2020秋•历下区期末）如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区城内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.8左右，据此可估计白色部分的面积为（　　）

A．0.4cm2 B．0.8cm2 C．1.6cm2 D．3cm2
二．填空题（共5小题）
8．（2021春•榆阳区期末）某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的菜种数
500
1000
2000
10000
发芽的频率
0.974
0.983
0.971
0.973
在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为 　 　．（精确到0.01）
9．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），小梅同学用随机模拟的方法求区域A的面积，若每次在正方形内随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数的平均值为6600个，则区域A的面积为 　 　．

10．（2021春•芝罘区期末）一个不透明的盒子里有若干个除颜色外其他完全相同的小球，其中12个红球．每次先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，那么估计盒子中小球的个数为 　 　．
11．（2021春•渭城区期末）对一批产品进行抽样调查，统计部分结果如下：
抽取的产品数
100
200
1000
2000
合格的产品数
94
187
936
1880
合格率
0.940
0.935
0.936
0.940
根据以上数据，随机抽取一个产品合格的概率大约是 　 　．（保留两位小数）
12．（2021春•新都区期末）在一个不透明的口袋中装有红、黄两种颜色的球，他们形状大小完全相同，其中5个红球，若干个黄球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，重复以上过程，经过多次实验发现摸到红球的频率稳定在0.2附近，据此估计袋中黄球的个数约为 　 　个．
三．解答题（共3小题）
13．（2021春•城固县期末）如表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数
200
500
1000
1500
2000
3000
合格品数
188
471
946
1425
1898
2850
合格品频率
0.94
0.942
0.946
0.95
a
b
（1）求表中a、b的值；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率约是多少？（精确到0.01）
14．（2021春•仪征市期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
65
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　 　（精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 　 　个；
（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　 　个或减少黑球 　 　个．
15．（2021•嘉峪关）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．

2022-2023学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之用频率估计概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2021春•靖边县期末）在一个不透明的盒子中装有若干个黑球和白球，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则摸到白球的概率约为（　　）
A．0.8 B．0.3 C．0.2 D．0.5
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：因为通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，
所以摸到白球的概率约为0.2，
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．（2021春•陈仓区期末）在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（　　）
A．2个 B．4个 C．18个 D．16个
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.2，
解得x＝16．
故选：D．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
3．（2021春•盐湖区校级期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率．表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.30
0.50
0.36
0.42
0.38
0.41
0.39
0.40
0.40
A．掷一枚质地均匀的骰子向上面的点数是“5”
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【考点】频数（率）分布表；利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.4左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的 骰子向上面的点数是“5”的概率是；不符合题意，
B、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，不符合题意；
C、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是0.4，符合题意；
D、三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率是，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
4．（2021春•富平县期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（　　）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】设袋中绿球有x个，根据经大量实验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2估计摸到绿球的频率为0.2，从而确定答案．
【解答】解：大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率，
∵经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，
∴摸到绿球的概率约为0.2，
故选：A．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．（2021春•晋中期末）下列说法错误的是（　　）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．概率很小的事件不可能发生
C．必然事件发生的概率是1
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算
【考点】随机事件；概率的意义；利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；随机事件、必然事件的可能性大小；古典概型的前提条件逐一判断即可．
【解答】解：A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，不符合题意；
B．概率很小的事件发生的可能性小，但不表示不可能发生，此说法错误，符合题意；
C．必然事件发生的概率是1，此说法正确，不符合题意；
D．投一枚图钉，由于图形的构造不均匀，“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算，此说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．（2021春•漳州期末）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（　　）
A．18张 B．16张 C．14张 D．12张
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设木箱中蓝色卡片有x个，根据题意得：
＝0.6，
解得：x＝12，
经检验x＝12是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有12张．
故选：D．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
7．（2020秋•历下区期末）如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区城内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.8左右，据此可估计白色部分的面积为（　　）

A．0.4cm2 B．0.8cm2 C．1.6cm2 D．3cm2
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】利用频率估计概率，可得到落入白色部分的概率，再乘以正方形的面积即可．
【解答】解：∵落入黑色部分的频率稳定在0.8左右，
∴落入白色部分的概率约为0.2，
∴估计白色部分的面积为2×2×0.2＝0.8（cm2），
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
二．填空题（共5小题）
8．（2021春•榆阳区期末）某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
试验的菜种数
500
1000
2000
10000
发芽的频率
0.974
0.983
0.971
0.973
在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为 　0.97　．（精确到0.01）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．
【解答】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量越多，用于估计概率越准确，
实验的菜种数10000最多，所以估计种一粒这样的菜种发芽的概率为0.973≈0.97，
故答案为0.97．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
9．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），小梅同学用随机模拟的方法求区域A的面积，若每次在正方形内随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数的平均值为6600个，则区域A的面积为 　5.94　．

【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求区域A的面积的估计值．
【解答】解：∵在正方形中随机产生了10000个点，落在区域A内点的个数平均值为6600个，
∴概率P＝＝0.66，
∵边长为3的正方形的面积为9，
∴区域A的面积的估计值为0.66×9＝5.94．
故答案为：5.94．
【点评】本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．（2021春•芝罘区期末）一个不透明的盒子里有若干个除颜色外其他完全相同的小球，其中12个红球．每次先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，那么估计盒子中小球的个数为 　40　．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】设盒子中球的个数为x，根据“量重复摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.3”列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：设盒子中球的个数为x，，
根据题意，得：＝0.3，
解得：x＝40，
经检验x＝40是原方程的解，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11．（2021春•渭城区期末）对一批产品进行抽样调查，统计部分结果如下：
抽取的产品数
100
200
1000
2000
合格的产品数
94
187
936
1880
合格率
0.940
0.935
0.936
0.940
根据以上数据，随机抽取一个产品合格的概率大约是 　0.94　．（保留两位小数）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．
【解答】解：根据给出的数据可得，该产品的合格率大约是0.94；
故答案为：0.94．
【点评】本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体的思想．
12．（2021春•新都区期末）在一个不透明的口袋中装有红、黄两种颜色的球，他们形状大小完全相同，其中5个红球，若干个黄球，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，重复以上过程，经过多次实验发现摸到红球的频率稳定在0.2附近，据此估计袋中黄球的个数约为 　20　个．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】设袋中黄球有x个，根据摸到红球的频率稳定在0.2附近列出关于x的方程，解之即可得出答案．
【解答】解：设袋中黄球有x个，
根据题意，得：＝0.2，
解得x＝20，
经检验x＝20是分式方程的解，
∴估计袋中黄球的个数约为20个，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
三．解答题（共3小题）
13．（2021春•城固县期末）如表是某口罩生产厂对一批N95口罩质量检测的情况：
抽取口罩数
200
500
1000
1500
2000
3000
合格品数
188
471
946
1425
1898
2850
合格品频率
0.94
0.942
0.946
0.95
a
b
（1）求表中a、b的值；
（2）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率约是多少？（精确到0.01）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据表中数据计算即可；
（2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为0.95；
【解答】解：（1）1898÷2000＝0.949，2850÷3000＝0.950；
（2）由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.95附近波动，
所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是0.95；
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
14．（2021春•仪征市期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
65
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　0.6　（精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 　30　个；
（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　10　个或减少黑球 　10　个．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到；
（2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数；
（3）使得黑球和白球的数量相等即可．
【解答】解：（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；

（2）黑球的个数为50×0.6＝30个，
故答案为：30；

（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，
即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个，
故答案为：10，10．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．（2021•嘉峪关）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【考点】用样本估计总体；列表法与树状图法；利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸到红球的概率为0.75，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，
根据题意，得：＝0.75，
解得x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
∴估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．

考点卡片
1．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
2．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
　　（3）将数据分组．
　　（4）列频率分布表．
3．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
4．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
5．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
6．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率