吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高三上学期第三次月考数学(文)试题（有答案）

四平市第一高级中学2021-2022学年度上学期第三次月考

高三数学试卷（文科）

考生注意：

1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡。

2、客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。

3、本试卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语、函数、导数及应用、三角函数与解三角形、平面向量、数列、不等式、推理证明、立体几何、直线与圆。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2.“直线的斜率不小于0”是“直线的倾斜角为锐角”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3.函数的最小值为（    ）

A.6 B. C.4 D.

4.圆上的点到直线的距离的最小值为（    ）

A.1 B.2 C.4 D.5

5.已知，，，则（    ）

A.2 B.3 C.5 D.6

6.函数的最大值为（    ）

A.16 B.27 C.32 D.40

7.观察下列等式：，，，，…，….根据规律，可推测（    ）

A. B. C. D.

8.设为等差数列的前项和，且，，则（    ）

A.34 B.35 C.36 D.37

9.设直线经过定点，轴上的两个动点与的距离为2，则的最小值为（    ）

A. B. C.2 D.3

10.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）。现有一个如图所示的曲池，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧长度为弧长度的3倍，且，则该曲池的体积为（    ）

A. B. C. D.

11.设函数（，）的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12.已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立。现有下列四个结论：①在上单调递增；②的图象与轴有2个交点；③；④不等式的解集为。其中所有正确结论的编号为（    ）

A.①② B.①④ C.②③ D.②③④

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应的位置上）

13.函数的定义域为________.

14.若球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到平面的距离为cm，则球的表面积为________。

15.在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃。《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上。现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异。已知第匹马的最长日行路程是第匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为________里。（取）

16.已知点为角终边上一点，，且，则___________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题10分）已知等差数列的首项为，且。

（1）求的通项公式及其前项和；

（2）求数列的前项和。

18.（本小题12分）如图，在四棱锥中，，，底面为矩形。

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求异面直线与所成角的大小。

19.（本小题12分），，分别为钝角内角，，的对边。已知。

（1）求；

（2）若，，求的取值范围。

20.（本小题12分）已知函数。

（1）若，证明：，，这三个数中至少有一个数不大于1；

（2）若，且，证明：。

21.（本小题12分）已知圆关于直线对称，且与直线相切于点。

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆相交于，两点。若，求直线的斜率。

22.（本小题12分）已知函数，。

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，证明：。

四平市第一高级中学2021-2022学年度上学期第三次月考

高三数学（理）试卷参考答案

一、选择题

二、填空题

13. 14. 15.4560 16.2

三、解答题

17.【解】（1）因为，所以。

所以的通项公式为，

其前项和为。

（2）因为

所以。

18.【解】（1）因为，，且，

所以平面。

因为平面，所以。

又底面为矩形，所以。

因为，所以平面。

又平面，所以平面平面。

（2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）。

由（1）知，平面，因为，所以平面。

因为平面，所以，从而。

因为平面，所以，所以。

故，从而异面直线与所成的角为60°。

19.【解】（1）因为，

所以，

即，

又，所以，且。

故。

（2）因为，所以为锐角。

又，所以。

因为为钝角三角形，所以为钝角。

因为

所以，解得。

20.【解】（1）因为，所以。

假设，，这三个数中没有一个数不大于1，即每个数都大于1，

即，，，则，，，

所以，这与矛盾，假设不成立，

所以，，这三个数中至少有一个数不大于1。

（2）因为，且，所以，且，。

要证明，

只需证，即证。

，

当且仅当，即时，等号成立。

因为，且，

所以，

即。

21.【解】（1）因为圆关于直线对称，所以，即

又圆与直线相切于点，所以，即

则，故圆的圆心为，半径。

则，则，故圆的方程为。

（2）①依题意可设直线，

联立方程组，整理得，

则，。

由，解得。

②假设存在定点，使得与互补。

设，因为与互补，且它们均不为直角，

所以，即。

所以

。

故当时，，即存在点，且的坐标为。

22.【解】（1）因为，所以，则，。

又，所以曲线在点处的切线方程为，即。

（2）证明：，

设函数，所以，

所以在上单调递增。

因为，所以，，

所以在上存在唯一零点，且，即。

当时，，；当时，，。

因此。

设函数，，则，

所以在上单调递减，从而。

即，故。