【期末总复习】人教版数学 九年级上学期-高分必刷解答题（一）20题

高分必刷解答题（一）20题

1．已知关于的方程，求证：不论取何值，这个方程都有两个实数根．

2．关于x的一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得x12+x22=16+x1x2成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

3．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．

（1）当某天客房全部住满时，这天客房收入为______元；

（2）设每间客房每天的定价增加元，则宾馆出租的客房为______间；

（3）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？

4．某医疗设备工厂生产的呼吸机一月份产量为80台，一月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对呼吸机需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从二月份起持续扩大产能，一、二、三月总产量共计560台．

（1）求呼吸机产量的月平均增长率．

（2）按照这个月平均增长率，求五月份产量为多少台？

5．南宁某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？

6．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．

（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；

（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？

7．位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．

（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

8．如图，抛物线y=﹣x2+x+2，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

9．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．

（3）求四边形ABOD的面积．

10．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即．

（1）在上面规定下，抛物线的顶点为      ，伴随直线为       ；

（2）若顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的左侧）．

①若求的值；

②如果点是直线BC上方抛物线的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求的值．

11．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．

（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；

（2）求两个数字的积为奇数的概率．

12．如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1，﹣2)，连结OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；

（3）设点P是直线AB上一动点，且＝S菱形OACD，求点P的坐标．

13．某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．设每天的总利润为元．

（1）根据图象求出与之间的函数关系式；

（2）请写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？

14．如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接 与的延长线相交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，求的长．

15．如图①，抛物线与轴交于两点，点是抛物线顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图②，连接．若点分别是抛物线对称轴和上动点，求的最小值；

（3）在（2）的条件下，点是轴上方抛物线上一点，点是轴上一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点坐标．

16．如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ．

（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；

（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ．

17．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．

（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？

（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？

18．如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，求的值．

19．如图，⊙O的直径，，，是线段的中点．

（1）试判断点与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点作，垂足为点，求证：直线是⊙O的切线．

20．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于、两点．与轴相交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与轴的交点的坐标和抛物线顶点坐标；

（3）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．

参考答案

1．

证明：.

∵，即，

∴不论取何值，这个方程都有两个实数根.

2．（1）∵一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根，

∴，

∴，

解得m<1；

（2）存在，

∵一元二次方程x2+2（m-1）+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2，

∴ =2-2m，，

若x12+x22=16+x1x2，则，

∴ ，

解得m=-1或m=9，

∵m<1，

∴m=9舍去，

即m=-1.

3．解：（1）（元．

故答案为：36000．

（2）如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租，且每间客房每天的定价增加元，

宾馆出租的客房为间．

故答案为：．

（3）设这天每间客房的定价增加元，则当天出租了间客房，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

当时，；

当时，．

答：这天每间客房的价格是200元或480元．

4．

解：（1）设呼吸机产量的月平均增长率为x，根据题意，得

80+80（1+x）+80（1+x）2＝560，

解得x1＝﹣4（舍去），x2＝1＝100%，

答：呼吸机产量的月平均增长率为100%．

（2）80×（1+1）4＝1280（台）．

答：五月份产量为为1280台．

5．

解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得     

5000（1－x）2= 4050              

解得：x1=10％，x2＝（不合题意，舍去）   

答：平均每次降价的百分率为10％．       

（2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元）

方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元）

∵396900＜401400

∴选方案①更优惠．

答：选方案①更优惠．

6．

（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，

则（40﹣x）x＝150，

解得：x＝10或30（舍去30），

故x＝10（m）；

∴AB＝15（m）．

答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2；

（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，

化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，

故不能围成矩形花园面积为210m2．

7．

解：（1）根据题意得，y＝200＋（60－x）×20＝－20x＋1400，

所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝－20x＋1400（40≤x≤60）；

（2）w＝（x－40）y

＝（x－40）（－20x＋1400）

＝－20x2＋2200x－56000，

所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式w＝－20x2＋2200x－56000；

（3）根据题意得56≤x≤60，

w＝－20x2＋2200x－56000

＝－20（x－55）2＋4500

∵a＝－20＜0，

∴抛物线开口向下，对称轴为x＝55，

∴当56≤x≤60时，w随x的增大而减小，

∴x＝56时，w有最大值，最大值＝－20（56－55）2＋4500＝4480（元）．

所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．

8．

（1）当y=0时，x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4

∴B（4，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，由B、C两点坐标，可得，

解得

∴直线BC的解析式为y=x+2；

（2）如图1，过点C作CM⊥EF于M，EF交x轴与点N，设E（a，a+2）

则F（a，a2+a+2）

∴EF=a2+a+2=a2+2a（0≤a≤4）

∵S△CBF=S△CEF+S△BEF=EF•CM+EF•BN=﹣a2+4a=+4

∴当a=2时，△CBF的面积最大为4

∴E（2，1）．

图1

（3）如图2，

∵抛物线的顶点坐标为

∴OD=

∵C（0，2）

∴OC=2，

在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD==

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=DP2=DP3=CD．

作CM⊥对称轴于M

∴MP1=MD=2

∴DP1=4

∴点P1（，4），P2（，）P3（，）．

图2

9．

解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），

∴设抛物线的解析式，

把点B（0，3）代入得，，

解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）如图，作点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），连接AB′与x轴的交点即为点P，

设直线AB′的解析式为，

，解得，

∴直线AB′的解析式为，

令，则，解得，

∵轴对称，

∴，

∴，即此时取最小值，

∴当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）；

（3）如图，连接AO、AB、AD，

当时，，解得，

∴抛物线与x轴的交点坐标为D（3，0），C（﹣1，0），

∴．

10．

（1）抛物的顶点坐标为(-1，-4)，伴随直线为，即，

故答案为：(-1，-4)；；

（2）当时，有，
解得：，
∴点C的坐标为(-1，0)，点D的坐标为(3，0)．
抛物线的伴随直线为，即，
联立，

解得：，，

①∵A(1，-4m)，B(2，-3m)，C(-1，0)，
∴，

，

．
∵∠CAB=90°，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴m的值为；

②过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，如图所示．

设直线BC的解析式为（k≠0），
将点B(2，-3m)、C(-1，0)代入，得：

，解得：，

∴直线AC的解析式为．
设点P的坐标为，则点Q的坐标为(，)，

∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，

∴，
∴S=，

∴当时，△PBC的面积有最大值，

依题意得：，

∴．

11．

解：（1）画树状图得：

则共有12种等可能的结果；

（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，

∴两个数字的积为奇数的概率为： ．

试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．

12．

解：（1）如图，连接AD，交x轴于点E，

∵D（1，2），

∴OE=1，ED=2，

∵四边形AODC是菱形，

∴AE=DE=2，EC=OE=1，

∴A（1，2），

将A（1，2）代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，

∴一次函数的解析式为：y=x+1，

将A（1，2）代入反比例函数y＝，可求得k=2；

∴反比例函数的解析式为：y＝；

（2）∵当x=1时，反比例函数的值为2，

∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，

此时x的取值范围为：x＜0或x＞1；

（3）∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，

∴S菱形OACD，

S△OAP=S菱形OACD，

∴S△OAP=2，

直线y=x+1与x轴交点M（-1，0）

设P点坐标为（x，x+1），

当点P在x轴下方时，

∴S△OAP =S△OAM +S△OMP=2，

∴，

解得x=-3，
∴P点坐标为（-3，-2）．

当点P在x轴上方时，

∴S△OAP = S△OMP -S△OAM =2，

∴，

解得x=5，

∴P点坐标为（5，6）．

．

13．【详解】

（1）设y=kx+b，将点、代入一次函数表达式得：

，

解得：，

∴函数的表达式为：；

（2）由题意得：，其中；

（3）∵w=（x-20）（-x+180）=-（x-100）2+6400，抛物线对称轴为，-1<0，

∴当时，随的增大而增大，而，

∴当时，有最大值，此时，，

故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元．

14．

解：（1）连接OC，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO＋∠OCB＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠ACO，

∵，

∴∠BCF＋∠OCB＝90°，

∴∠OCF＝90°，

∴OC⊥CF，

∴DF是⊙O的切线；

（2）∵点是劣弧中点，

∴OC⊥BD，

∵OC⊥CF，

∴BD∥CF，

∴∠F=∠ABD，

∵∠ABD=∠ACD，

∴；

（3）设OC交BD于点M，

∵，AC⊥BC，

∴，

∵点是劣弧中点，

∴，OC⊥BD，

∴∠CAB=∠CBD，

∴sin∠CAB=sin∠CBD，即，

∴CM=，

∴OM=5-=，

∵OM是∆ABD的中位线，

∴AD=2OM=．

15．

【详解】

（1）将代入解析式得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）由抛物线的对称性可知，为等腰三角形，即：，

如图所示，作于E点，交对称轴于P点，

此时，将E点关于对称轴对称至BC上D点，

∴此时最小，即为：BE的长，

∵，

∴，

由抛物线解析式可得：顶点，

∴，

由A、C坐标可得，

∴由，解得：，

∴的最小值为；

（3）设，，

由（2）可知，，，

∴△ABC为等边三角形，在（2）的条件下，D为BC的中点，

则D的坐标为，

①当BM为对角线时，如图所示，

根据平行四边形四个顶点的相对位置关系有：

，解得：或，

即：，；

②当BD为对角线时，如图所示，

根据平行四边形四个顶点的相对位置关系有：

，解得：或，

即：，；

16．

（1）抛物线的对称轴是直线，

，解得：，

抛物线的解析式为．

当时，，

解得：，，

点的坐标为，点的坐标为．

（2） 当时，，

点的坐标为．

设直线的解析式为．

将、代入，

，解得：，

直线的解析式为．

假设存在， 设点的坐标为，过点作轴， 交直线于点，则点的坐标为，如图所示 ．

，

．

，

当时，的面积最大， 最大面积是 16 ．

，

存在点，使的面积最大， 最大面积是 16 ．

（3） 设点的坐标为，则点的坐标为，

．

又，

．

当时， 有，

解得：，，

点的坐标为或；

当或时， 有，

解得：，，

点的坐标为，或，．

综上所述：点的坐标为，、、或，．

17

解：（1）设每箱应涨价x元，

则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元，

依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）=600，

整理，得x2﹣15x+50=0，

解这个方程，得x1=5，x2=10，

∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5，

答：每箱产品应涨价5元；

（2）设利润为y元，则y=（50﹣2x）（10+x）=﹣2x2+30x+500，

当x==﹣=7.5（元），

答：每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．

考点：1.二次函数的应用2.一元二次方程的应用．

18．

解：（1）是的切线，

证明：连接，

在和中

，

，

，

，

∵OD是圆的半径，

是的切线；

（2），

．

设，

在中，，

，

．

设的半径为，则，

在中，，

，

，

．

在中，，

．

19．

解：（1）点在上；

连接，过点作于点，如图：

在中，，，

，

，

．

在中，

，

点在上．

（2）是的中点，是的中点，

是的中位线

．

又，

又是的半径，

是的切线．

20．（1）；（2），；（3），有最大值为4

【分析】

（1）将点A与点C坐标代入可得关于a，b的方程组，解之可得；

（2）求出x=0时y的值可得点B的坐标，将解析式配方成顶点式可得其顶点坐标；

（3）连接OM，由S=S△AOM+S△BOM-S△AOB得出S关于m的函数解析式，配方成顶点式即可知其面积最大值．

【详解】

解：（1）将，两点代入函数解析式，得

解得：

所以此函数解析式为：；

（2）令，得

抛物线与轴的交点坐标是

把配方，得

抛物线的顶点坐标是；

（3）如图，连接OM，

点的横坐标为，

点在这条抛物线上，

点的坐标为：

，

当时，有最大值为：；