2022-2023学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（03）

这是一份2022-2023学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（03），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（03）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一个正数的两个平方根分别是3a﹣1与﹣a+3，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．一次函数y＝x+的图象与x轴的交点的坐标是（　　）
A．（0，） B．（﹣，0） C．（，0） D．（0，﹣）
4．若点P在一次函数y＝x+4的图象上，则点P一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a2＝c2﹣b2
C．∠B＝50°，∠C＝40° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
6．已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5
7．在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣2x+3沿x轴向右平移两个单位长度后．得到直线的函数关系式为（　　）
A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+7
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若BC＝15cm，则△DBC的周长为（　　）

A．25cm B．35cm C．30cm D．27.5cm
9．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①a+k＜0；②关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝﹣3；③当x＜3时，y1＜y2；④当k＝﹣1时，b﹣a＝6．其中正确的是（　　）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①④
10．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．例如，如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（　　）

A．0≤m≤ B．﹣2＜m≤ C．﹣2＜m≤2 D．﹣4＜m＜0
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．＝　 　．
12．已知点P（2a+2，3a﹣2）在y轴上，则点P的坐标为　 　．
13．等腰三角形周长为36，底边长为10，则这个等腰三角形底边上的高为 　 　．
14．如图，已知△ABC是等边三角形，AC＝AD，∠CAD＝90°，则直线AC与直线BD的夹角大小是 　 　．

15．如图，∠CAB＝30°，点D在射线AB上，且AD＝4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为　 　．

16．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C是线段AB的中点，则OC的长是 　 　．

17．已知点P（3，y1），Q（﹣2，y2）在一次函数y＝（﹣4m+1）x+2的图象上，若y1＜y2，则实数m的取值范围是 　 　．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共74分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19．（6分）（1）计算：+（）﹣2﹣（2022﹣π）0；
（2）已知（x+1）2﹣16＝0，求x的值．










20．（6分）如图，把一个长方形ABCD的纸片，其中AD∥BC，沿对角线BD折叠，BE交AD于点M，求证：BM＝DM．





21．（8分）如图，已知点A（﹣6，0）、点B（0，4）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在直线AB上有点P，满足点P到x轴的距离等于8，求点P的坐标．





22．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠EBC；
（2）如果AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想．





23．（10分）如图，已知CD是△ABC的角平分线．
（1）尺规作图：在BC边上找一点E，使得ED＝EC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，判断DE和AC的位置关系，并加以证明．





24．（10分）幸福村在推进美丽乡村建设中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小、规格的红色和蓝色地砖，经过调查，获取信息如下表：
类别
购买数量低于500块
购买数量不低于500块
红色地砖
原价销售
以八折销售
蓝色地砖
原价销售
以九折销售
若购买红色地砖400块，蓝色地砖600块，需付款8600元；若购买红色地砖1000块，蓝色地砖350块，需付款9900元．
（1）红色地砖和蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖1200块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过600块，如何购买付款最少？最少是多少元？请说明理由．







25．（12分）某景区门票价格80元/人，为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图．
（1）请写出y1与x之间的函数关系式为 　 　．
（2）求当x≥10时，y2与x之间的函数关系式．
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团（人数超过10人）到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？







26．（14分）思维启迪：
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 　 　米．
思维探索：
（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 　 　；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值．


答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
答案：D．
2．一个正数的两个平方根分别是3a﹣1与﹣a+3，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
解：根据题意得：3a﹣1+（﹣a+3）＝0，
解得：a＝﹣1，
答案：B．
3．一次函数y＝x+的图象与x轴的交点的坐标是（　　）
A．（0，） B．（﹣，0） C．（，0） D．（0，﹣）
解：当y＝0时，x+＝0，
解得x＝﹣，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣，0）．
答案：B．
4．若点P在一次函数y＝x+4的图象上，则点P一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵k＝1＞0，b＝4＞0，
∴一次函数y＝x+4的图象经过第一、二、三象限．
又∵点P在一次函数y＝x+4的图象上，
∴点P一定不在第四象限．
答案：D．
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a2＝c2﹣b2
C．∠B＝50°，∠C＝40° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
解：A、由a＝5，b＝12，c＝13得c2＝a2+b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a2＝c2﹣b2得c2＝a2+b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠B＝50°，∠C＝40°得∠A＝90°，故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形．
答案：D．
6．已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5
解：∵4＜＜5，
∴3＜﹣1＜4，
∴﹣1在3和4之间，即3＜a＜4．
答案：C．
7．在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣2x+3沿x轴向右平移两个单位长度后．得到直线的函数关系式为（　　）
A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+7
解：把直线y＝﹣2x+3沿x轴向右平移两个单位长度后．得到直线的函数关系式为：y＝﹣2（x﹣2）+3，即y＝﹣2x+7，
答案：D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若BC＝15cm，则△DBC的周长为（　　）

A．25cm B．35cm C．30cm D．27.5cm
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
又∵AB＝AC＝20cm，BC＝15cm，
∴△DBC的周长＝20+15＝35（cm）．
故△DBC的周长为35cm．
答案：B．
9．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①a+k＜0；②关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝﹣3；③当x＜3时，y1＜y2；④当k＝﹣1时，b﹣a＝6．其中正确的是（　　）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①④
解：∵直线y1＝kx+b经过第一、三象限，
∴k＜0，
∵直线y2＝x+a与y轴的交点在x轴下方，
∴a＜0，
∴k+a＜0，故①正确；
∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3，
∴关于x的方程kx+b＝x+a的解是x＝3，故②错误；
当x＞3时，y1＜y2，故③错误；
当k＝﹣1时，函数y1＝﹣x+b，
∵一次函数y1＝﹣x+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3，
∴关于x的方程﹣x+b＝x+a的解是x＝3，
∴﹣3+b＝3+a，
∴b﹣a＝6，故④正确；
答案：D．
10．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．例如，如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（　　）

A．0≤m≤ B．﹣2＜m≤ C．﹣2＜m≤2 D．﹣4＜m＜0
解：令±2x+4＝0，解得x＝2或﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0），
∵函数与x轴负半轴交点为A，与x轴正半轴交点记B，则﹣2＜m≤2；
从图象看，x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，故点C（1，2）．
当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，
当m≥0时，点C（m，4﹣2m），
将点C的坐标代入y＝x得：4﹣2m＝m，
解得m＝；
∴0≤m≤，
当m＜0时，m＝2m+4，
解得m＝﹣4，
∴﹣4＜m＜0．
又∵﹣2＜m≤2，
∴﹣2＜m＜0．
综上所述：m的取值范围是﹣2＜m≤．
答案：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．＝　4　．
解：∵4的立方为64，
∴64的立方根为4
答案：4．
12．已知点P（2a+2，3a﹣2）在y轴上，则点P的坐标为　（0，﹣5）　．
解：∵点P（2a+2，3a﹣2）在y轴上，
∴2a+2＝0，
解得：a＝﹣1，
∴3a﹣2＝﹣5，
故点P的坐标为：（0，﹣5）．
答案：（0，﹣5）．
13．等腰三角形周长为36，底边长为10，则这个等腰三角形底边上的高为 　12　．
解：如图：AB＝AC＝×（36﹣10）＝13，BC＝10．
在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝5．
在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，
由勾股定理，得：AD＝＝＝12．
答案：12．

14．如图，已知△ABC是等边三角形，AC＝AD，∠CAD＝90°，则直线AC与直线BD的夹角大小是 　75°　．

解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AC＝AD，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CAD+∠BAC＝90°+60°＝150°，
∴∠ADB＝×（180°﹣150°）＝15°，
∴AC与BD的夹角为：180°﹣∠CAD﹣∠ADB＝180°﹣90°﹣15°＝75°．
答案：75°．
15．如图，∠CAB＝30°，点D在射线AB上，且AD＝4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为　或2　．

解：当∠ADP＝90°时，△ADP是直角三角形，
∵∠CAB＝30°，
∴AP＝2PD，
∵AD2+PD2＝AP2，
∴42+PD2＝（2PD）2，
∴PD＝，
当∠APD＝90°时，△ADP是直角三角形，
∵∠CAB＝30°，
∴PD＝AD＝2，
综上所述，或2．
答案：或2．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C是线段AB的中点，则OC的长是 　10　．

解：令x＝0则y＝12，
令y＝0，则﹣x+12＝0，
解得x＝16，
所以，OA＝12，OB＝16，
由勾股定理，AB＝＝＝20，
∵点C是线段AB的中点，
∴OC＝AB＝×20＝10．
答案：10．
17．已知点P（3，y1），Q（﹣2，y2）在一次函数y＝（﹣4m+1）x+2的图象上，若y1＜y2，则实数m的取值范围是 　m＞　．
解：∵点P（3，y1），Q（﹣2，y2）在一次函数y＝（﹣4m+1）x+2的图象上，且y1＜y2，
∴当3＞﹣2时，由题意可知y1＜y2，
∴y随x的增大而减小，
∴﹣4m+1＜0，解得m＞，
答案：m＞．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是　9.6　．

解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点B作BD⊥AC，垂足为D．

∵AC＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝EC＝6，
在Rt△AEB中，＝＝8，
由三角形的面积公式可知：，即：，
∴BD＝9.6．
答案：9.6．
三、解答题（本大题共8小题，共74分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19．（6分）（1）计算：+（）﹣2﹣（2022﹣π）0；
（2）已知（x+1）2﹣16＝0，求x的值．
解：（1）+（）﹣2﹣（2022﹣π）0
＝﹣2+4﹣1
＝1；
（2）移项得，（x+1）2＝16，
开平方得，x+1＝±4，
解得x＝3或x＝﹣5．
20．（6分）如图，把一个长方形ABCD的纸片，其中AD∥BC，沿对角线BD折叠，BE交AD于点M，求证：BM＝DM．

证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵把一个长方形ABCD的纸片，沿对角线BD折叠，BE交AD于点M，
∴△BCD≌△BDE，
∴∠CBD＝∠EBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴BM＝DM．
21．（8分）如图，已知点A（﹣6，0）、点B（0，4）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在直线AB上有点P，满足点P到x轴的距离等于8，求点P的坐标．

解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A（﹣6，0）、点B（0，4），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为：y＝x+4；
（2）∵点P到x轴的距离等于8，
∴P的纵坐标为y＝±8，
当y＝8时，则8＝x+4，解得x＝6；
当y＝﹣8时，则﹣8＝x+4，解得x＝﹣18；
∴P的坐标为（6，8）或（﹣18，﹣8）．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠EBC；
（2）如果AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想．

（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠EBC+∠BCF＝180°﹣∠BFC＝90°，
∵∠ACB＝∠BCF+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠A＝∠EBC；
（2）解：CD＝BE．
过点D作DG⊥AC于点G，

∵DA＝DC，DG⊥AC，
∴AC＝2CG，
∵AC＝2BC，
∴CG＝BC，
∵∠DGC＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠DGC＝∠ECB，
在△DGC和△ECB中，
，
∴△DCG≌△EBC（ASA），
∴CD＝BE．
23．（10分）如图，已知CD是△ABC的角平分线．
（1）尺规作图：在BC边上找一点E，使得ED＝EC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，判断DE和AC的位置关系，并加以证明．

解：（1）如图，点E即为所求；

（2）DE和AC的位置关系为：DE∥AC，
证明：∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACB＝2∠DCB，
∵CD的垂直平分线交BC于点E，
∴ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠BED＝2∠DCB，
∴∠ACB＝∠BED，
∴DE∥AC．
24．（10分）幸福村在推进美丽乡村建设中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小、规格的红色和蓝色地砖，经过调查，获取信息如下表：
类别
购买数量低于500块
购买数量不低于500块
红色地砖
原价销售
以八折销售
蓝色地砖
原价销售
以九折销售
若购买红色地砖400块，蓝色地砖600块，需付款8600元；若购买红色地砖1000块，蓝色地砖350块，需付款9900元．
（1）红色地砖和蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖1200块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过600块，如何购买付款最少？最少是多少元？请说明理由．
解：（1）设红色地砖每块x元，蓝色地砖每块y元，由题意可得：
，解得，
答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；
（2）设红砖为a块，蓝砖为（1200﹣a）块，所需的总费用为y元，
由题意可得：，
解得：600≤a≤800，
当600≤a≤700时，
y＝8a×0.8+0.9×10（1200﹣a）＝10800﹣2.6a，
当a＝700时y有最小值为：10800﹣2.6×700＝8980，
当700＜a≤800 时，y＝8a×0.8+10（1200﹣a）＝﹣3.6a+12000，
当a＝800时，y有最小值为：﹣3.6×800+12000＝9120，
∵8980＜9120，
∴购买红色地砖700块，蓝色地砖500块，费用最少，最少费用为8980元．
25．（12分）某景区门票价格80元/人，为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图．
（1）请写出y1与x之间的函数关系式为 　y1＝48x　．
（2）求当x≥10时，y2与x之间的函数关系式．
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团（人数超过10人）到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？

解：（1）设y1＝k1x，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，480），
∴10k1＝480，
∴k1＝48，
∴y1＝48x；
（2）x＞10时，设y2＝kx+b，
∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440），
∴，
∴，
∴y2＝64x+160（x＞10）；
（3）0≤x≤10时，设y2＝k2x，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），
∴10k2＝800，
∴k2＝80，
∴y2＝80x，
设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n），
当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）＝3040，
解得n＝20（不符合题意舍去），
当n＞10时，80×10+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）＝3040，
解得n＝30，
则50﹣n＝50﹣30＝20．
∴A团有20人，B团有30人．
26．（14分）思维启迪：
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 　200　米．
思维探索：
（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 　PC＝PE，PC⊥PE．　；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值．

（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，
在△ABP和△DCP中，
，
∴△ABP≌△DCP（AAS），
∴DC＝AB．
∵AB＝200米．
∴CD＝200米，
答案：200．
（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．
理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，

同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（AAS），
∴PF＝PE，BF＝DE，
又∵AC＝BC，AE＝DE，
∴FC＝EC，
又∵∠ACB＝90°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴PC＝PE，PC⊥PE．
②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．
理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，

同①理，可知△FBP≌△EDP（AAS），
∴BF＝DE，PE＝PF＝，
∵DE＝AE，
∴BF＝AE，
∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，
∴ED∥AC，EA∥BC
∵FB∥AC，∠FBC＝90，
∴∠CBF＝∠CAE，
在△FBC和△EAC中，
，
∴△FBC≌△EAC（SAS），
∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴CP⊥EP，CP＝EP＝．
③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，
当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，
∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°
同②可得△FBP≌△EDP（AAS），
同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝，
在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，
∴HE＝，AH＝，
又∵AC＝BC＝3，
∴CH＝3+，
∴EC2＝CH2+HE2＝
∴PC2＝＝．