2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（03）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（03），共29页。
本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．一组数据0、﹣2、3、2、1的极差是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sinA的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根
4．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
5．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（ ）
A．98mB．78.4mC．49mD．36.2m
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若DE＝2，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．2
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，＝，DE∥BC，若△ADE的面积为6，则△ABC的面积等于（ ）
A．12B．18C．24D．54
9．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（ ）
A．64°B．32°C．26°D．23°
10．如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．S△DOE：S△BOC＝1：2D．△ADE∽△ABC
二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．如果，那么锐角A的度数为 ．
12．已知2a＝3b，其中b≠0，则＝ ．
13．科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是4cm，则蝴蝶身体的长度约为 cm（精确到0.1）．
14．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次（骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的点数为6的概率为 ．
15．如图，圆锥的母线长l为5cm，侧面积为10πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝ cm．
16．将二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象向右平移2个单位得到二次函数的表达式为 ．
17．二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，则t的取值范围是 ．
18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝42°，则∠D的度数是 °．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（1）计算：tan260°+4sin30℃s45°； （2）解方程：（x+3）2＝2x+14．
20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交
于点F．
（1）求证：△AEF∽△CBF；
（2）若BE⊥AC，求AE：ED．
21．在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
22．如图，某旅游景区观光路线是从山脚下的地面A处出发，沿坡度为1：的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．
（1）求山坡B距离山脚下地面的高度；
（2）求山顶D距离山脚下地面的高度；（精确到1m）（本题可参考的数据：sin19°30′≈0.33，cs19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
23．某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？
24．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连结AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）连结AD与OC、BC分别交于点F、H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
25．已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
（1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，连结CF．
①当m＝时，求线段CF的长；
②设CP＝n，请求出n与m的关系式；
（2）如图2，AF交CD于点Q，在△PQE中，设边QE上的高为h，求h的最大值．
26．如图，点A在抛物线上，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，点C为抛物线上的任一点．
（1）若点A的横坐标为﹣4，且△ABC为直角三角形时，求C点的坐标；
（2）当A点变化时，是否总存在C点，使得△ABC是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点A纵坐标m的取值范围；
（3）若△ABC为直角三角形，AB边上的高为h，
①h的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度；
②若将抛物线的关系式由换成y＝ax2（a≠0），其余条件不发生改变，试猜想h与a的关系，并证明．
答案与解析
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．一组数据0、﹣2、3、2、1的极差是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据极差的概念求解．
【解答】解：极差为：3﹣（﹣2）＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sinA的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，
∴sinA＝＝＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
3．一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根
【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程化为x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
4．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y＝x3，故不是二次函数；
B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y＝14πx2，故是二次函数；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则y＝，故不是二次函数；
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离﹣108x，故不是二次函数．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．
5．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（ ）
A．98mB．78.4mC．49mD．36.2m
【分析】把t＝4代入可得答案．
【解答】解：把t＝4代入得，
h＝9.8×42＝78.4m．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据题意把t＝4代入是解题关键
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若DE＝2，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到＝，＝，进而得到＝，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠BAC＝45°，
则＝，
同理：＝，
∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE＝2，
∴BC＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴以及抛物线与y轴的交点，即可判断①；由对称轴改善得到b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，即可判断②；由x＝﹣1时对应的函数值y＜0，可得出a﹣b+c＜0，得到a+c＜b，x＝1时，y＞0，可得出a+b+c＞0，得到|a+c|＜|b|，即可得到（a+c）2﹣b2＜0，即可判断③；由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最大值，即可判断④．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴b＞0
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，所以②错误；
③当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+mb+c，
即a+b≥m（am+b），所以④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，＝，DE∥BC，若△ADE的面积为6，则△ABC的面积等于（ ）
A．12B．18C．24D．54
【分析】利用DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，列出关系式即可求得结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴．
∵＝，
∴＝．
∴S△ABC＝9S△ADE＝54．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定方法得出△ADE∽△ABC是解题的关键．
9．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（ ）
A．64°B．32°C．26°D．23°
【分析】利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠BAC＝BOC，∠BOC＝64°，
∴∠BAC＝32°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解圆周角定理，属于中考常考题型．
10．如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．S△DOE：S△BOC＝1：2D．△ADE∽△ABC
【分析】根据中线BE、CD交于点O，可得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴＝，故A选项正确；
∵DE∥BC，
∴＝，故B选项正确；
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴＝（）2＝（）2＝，故C选项错误；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故D选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．如果，那么锐角A的度数为 30° ．
【分析】根据30°角的余弦值等于解答．
【解答】解：∵csA＝，
∴锐角A的度数为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．
12．已知2a＝3b，其中b≠0，则＝ ．
【分析】根据比例的性质等式两边都除以2b，即可得出答案．
【解答】解：∵2a＝3b，b≠0，
∴除以2b，得＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ad＝bc，那么＝．
13．科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是4cm，则蝴蝶身体的长度约为 2.5 cm（精确到0.1）．
【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为列式计算即可．
【解答】解：设蝴蝶身体的长度为xcm，
由题意得，x：4＝，
解得，x＝2﹣2≈2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解题的关键．
14．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次（骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的点数为6的概率为 ．
【分析】让朝上一面的数字是6的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【解答】解：∵抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字为6的只有1种，
∴朝上一面的数字为6的概率为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
15．如图，圆锥的母线长l为5cm，侧面积为10πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝ 2 cm．
【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．
【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是10πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝4π，
∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴r＝＝＝2cm，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
16．将二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象向右平移2个单位得到二次函数的表达式为 y＝﹣2x2 ．
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象向右平移2个单位得到二次函数的表达式为：y＝﹣2x2．
故答案为：y＝﹣2x2．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移移规律是解题关键．
17．二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，则t的取值范围是 t＜﹣4或t≥12 ．
【分析】根据抛物线的对称轴方程可求出抛物线的解析式，要使关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，只需直线y＝t与抛物线y＝x2+bx在﹣1＜x＜6的范围内没有交点，只需结合图象就可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为x＝2，
∴x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x．
当x＝﹣1时，y＝5；
当x＝2时y＝﹣4；
当x＝6时y＝12．
结合图象可得：
当t＜﹣4或t≥12时，直线y＝t与抛物线y＝x2﹣4x在﹣1＜x＜6的范围内没有交点，
即关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解．
故答案为t＜﹣4或t≥12．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．
18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝42°，则∠D的度数是 48 °．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝48°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝48°．
【解答】解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝42°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝48°，
∴∠D＝∠B＝48°．
故答案为：48．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出∠ACB＝90°及∠D＝∠B，注意运用数形结合的思想方法．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（1）计算：tan260°+4sin30℃s45°；
（2）解方程：（x+3）2＝2x+14．
【分析】（1）先代入三角函数值，再计算乘方和乘法即可；
（2）先将方程整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）原式＝（）2+4××
＝3+；
（2）整理成一般式，得：x2+4x﹣5＝0，
∴（x+5）（x﹣1）＝0，
则x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交
于点F．
（1）求证：△AEF∽△CBF；
（2）若BE⊥AC，求AE：ED．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；
（2）设AB＝x，则BC＝2x，利用矩形的性质得到AD＝BC＝2x，∠BAD＝∠ABC＝90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE＝x，则DE＝x，从而可计算出AE：DE．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF；
（2）解：设AB＝x，则BC＝2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝2x，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ABF＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠ABC，∠ABE＝∠BCA，
∴△ABE∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴AE＝x，
∴DE＝AD﹣AE＝2x﹣x＝x，
∴AE：DE＝x：x＝1：3．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．
21．在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
22．如图，某旅游景区观光路线是从山脚下的地面A处出发，沿坡度为1：的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．
（1）求山坡B距离山脚下地面的高度；
（2）求山顶D距离山脚下地面的高度；（精确到1m）（本题可参考的数据：sin19°30′≈0.33，cs19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
【分析】（1）过点C作CE⊥DG于E，过B作BF⊥DG于F，延长CB交AG于点H，由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案；
（2）由锐角三角函数定义求出DE，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥DG于E，过B作BF⊥DG于F，延长CB交AG于点H，
则CH⊥AG，
由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，
∵i＝1：＝tanα＝，
∴α＝30°，
在Rt△ABH中，α＝30°，AB＝50m，
∴BH＝AB＝25（m），
答：山坡B距离山脚下地面的高度为25m；
（2）由（1）得：FG＝BH＝25m，
在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，
∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），
∴DG＝DE+EF+FG≈59.4+30+25＝114.4≈114（m），
答：山顶D距离山脚下地面的的高度约为114m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？
【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可；
（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；
（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
答：工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系为y＝﹣50x2+400x+9000；
（2）由（1）得：y＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，y最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
48﹣3＝45，48﹣5＝43，
∴定价应为43﹣45元之间（含43元和45元）．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．
24．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连结AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）连结AD与OC、BC分别交于点F、H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
【分析】（1）如图1中，连接BC．想办法证明∠E＝∠DCE即可；
（2）①如图2中，根据等腰三角形的性质得到∠CFH＝∠CHF，根据三角形外角的性质得到∠ACO＝∠OBC，求得∠OCB＝∠OBC，得到∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，推出AC＝BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．
∵点D是弧BC的中点．
∴＝，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝ED；
（2）①证明：如图2中，
∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF，
∵∠CFH＝∠CAF+∠ACF，∠CHA＝∠BAH+∠ABH，
∵∠CAD＝∠BAH，
∴∠ACO＝∠OBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴AC＝BC，
∵∠ACH＝∠BCE＝90°，∠CAH＝∠CBE，
∴△ACH≌△BCE（ASA），
∴CH＝CE；
②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．
∵＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OB，
∴OD⊥BC，CG＝BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，
∴x＝，即OG＝，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC，
∴AC＝．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25．已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
（1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，连结CF．
①当m＝时，求线段CF的长；
②设CP＝n，请求出n与m的关系式；
（2）如图2，AF交CD于点Q，在△PQE中，设边QE上的高为h，求h的最大值．
【分析】（1）①过点F作FG⊥BC交BC的延长线于M，利用AAS证明△ABE≌△EGF，得FM＝BE＝，EM＝AB＝BC，则CM＝BE，从而求出CF的长；
②利用△BAE∽△CEP，得，代入即可；
（2）将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，首先由∠ABG＝∠ABE＝90°，得B，G，E三点共线，再利用SAS证明△GAE≌△EAQ，得∠AEG＝∠AEQ，则有∠QEP＝∠CEP，可得h＝CP，利用②中结论得h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．
【解答】解：（1）①如图，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于M，
在等腰直角三角形AEF中，∠AEF＝90°，AE＝FE，
在正方形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB，
∴∠BAE＝∠FEM，
又∵∠B＝∠FME，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FM＝BE＝，EM＝AB＝BC，
∴CM＝BE＝
∴FC＝＝；
②∵∠BAE＝∠FEC，∠B＝∠ECP＝90°，
∴△BAE∽△CEP，
∴，
即，
∴CP＝m﹣m2，
即n＝m﹣m2；
（2）如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，
则AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠QAD＝∠BAE+∠GAB＝90°﹣45°＝45°，
即∠GAE＝∠EAF＝45°，
∵∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴B，G，E三点共线，
又∵AE＝AE，
∴△GAE≌△EAQ（SAS），
∴∠AEG＝∠AEQ，
∴∠QEP＝∠CEP，
∴h＝CP，
∴h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
即当m＝时，h有最大值为．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，作辅助线构造全等三角形证明∠QEP＝∠CEF是解题的关键．
26．如图，点A在抛物线上，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，点C为抛物线上的任一点．
（1）若点A的横坐标为﹣4，且△ABC为直角三角形时，求C点的坐标；
（2）当A点变化时，是否总存在C点，使得△ABC是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点A纵坐标m的取值范围；
（3）若△ABC为直角三角形，AB边上的高为h，
①h的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度；
②若将抛物线的关系式由换成y＝ax2（a≠0），其余条件不发生改变，试猜想h与a的关系，并证明．
【分析】（1）设C（t，t2），求出A、B点的坐标，利用勾股定理求t的值即可；
（2）设A（﹣，m），C（t，t2），则B（，m），由勾股定理求得t2＝2m﹣4，则当2m﹣4≥0时，此时△ABC是直角三角形；
（3）①由（2）可得h＝m﹣（m﹣2）＝2；
②设A（﹣m，am2），C（t，at2），则B（m，am2），由勾股定理求得t2＝，可确定点A（﹣m，am2），C（t，），则h＝．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为﹣4，
∴A（﹣4，8），
∵AB∥x轴，
∴B（4，8），
设C（t，t2），
∵△ABC为直角三角形，
∴AB2＝AC2+BC2，
即（t+4）2+（t2﹣8）2+（4﹣t）2+（t2﹣8）2＝64，
∴t2＝16（舍）或t2＝12，
∴C（2，6）或C（﹣2，6）；
（2）不是总存在，理由如下：
设A（﹣，m），C（t，t2），则B（，m），
∵AB2＝AC2+BC2，
即（t+）2+（t2﹣m）2+（﹣t）2+（t2﹣m）2＝8m，
∴t2＝2m（舍）或t2＝2m﹣4，
当2m﹣4≥0时，m≥2，此时△ABC是直角三角形；
（3）①h的大小不改变，理由如下：
由（2）可知，C（，m﹣2）或C（﹣，m﹣2），
∴C点的纵坐标为m﹣2，
∵AB边上的高为h，
∴h＝m﹣（m﹣2）＝2；
②设A（﹣m，am2），C（t，at2），则B（m，am2），
∵AB2＝AC2+BC2，
即（t+m）2+（at2﹣am2）2+（m﹣t）2+（at2﹣am2）2＝4m2，
∴t2＝m2（舍）或t2＝，
∴A（﹣m，am2），C（t，），
∴h＝am2﹣＝．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用勾股定理，准确计算是解题的关键．