江西省南昌市第二十八中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

南昌二十八中教育集团22021-2022学年第一学期期末试题卷

八年级数学

命题人：邹志付审题人：刘燕

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）

1. 2021年春节寒假期间，江西省教育厅高度重视交通安全教育，连续三次发出交通安全，时刻铭记的提醒，要求各级各类学校务必转发到每一个学生，下列交通安全图标不是轴对称图形的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判定即可．

【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；

D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．

2. 长度分别为a，2，4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形三边关系定理得出4-2＜a＜4+2，求出即可．

【详解】由三角形三边关系定理得：4﹣2＜a＜4+2，

即2＜a＜6，

即符合的只有3．

故选：C．

【点睛】此题考查三角形三边关系定理，能根据定理得出5-3＜a＜5+3是解题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．

3. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．

【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；

B．，故选项错误，不符合题意；

C．，故选项错误，不符合题意；；

D．，故选项正确，符合题意；．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．

4. 如图，，，，则AC为（    ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质可得，进而根据即可求解

【详解】解：

故选A

【点睛】本题考查了全等三角形性质，线段和差的计算，掌握全等三角形性质是解题的关键．

5. 关于的分式方程有增根，则的值为（    ）

A. 3 B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】解出分式方程的根x=m-1，分式方程的增根为x=2，所以m-1=2，求得m的值．

【详解】解：方程两边都乘以（x-2）得：m-3=x-2，

解得：x=m-1，

∵方程有增根，

∴x-2=0，

∴x=2，

∴m-1=2，

∴m=3．

故选：A．

【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．

6. 如图，在中，，，，则的度数为（    ）．

A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°

【答案】D

【解析】

【分析】设，根据等边对等角，可得，根据三角形外角性质可得，进而求得，即可求得的度数．

【详解】解：设，

，

又

故选D

【点睛】本题考查了三角形内角和定理与三角形的外角性质，等边对等角，掌握角度计算，设出参数是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 使分式有意义的x的取值范围是_________．

【答案】x≠1

【解析】

【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1.

故答案为：x≠1．

8. 如图所示，将一副学生用的三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数是___________．

【答案】75°##75度

【解析】

【分析】根据平行线的性质以及三角尺可得，进而根据三角形的外角性质可得，即可求解．

【详解】解：∵

∴

故答案为：

【点睛】本题考查了三角尺中角度的计算，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握三角尺中角度的计算以及三角形外角的性质是解题的关键．

9. ___________

【答案】1

【解析】

详解】（π﹣3）0=1，

故答案为1．

10. 新型冠状病毒的直径是0.00012mm．将0.00012用科学记数表示是_____．

【答案】

【解析】

【分析】确定所有零的个数n，省略所有的零，把小数点点在第一个非零数字的右边，得到a，把小数写成即可．

【详解】∵0.00012=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了小于1的数的科学记数法，熟练掌握a，指数的确定方法是解题的关键．

11. 分解因式：ax2-9a=____________________．

【答案】

【解析】

【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【详解】解：ax2-9a=a(-9)=a(x+3)(x-3).

故答案为：

【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题关键．

12. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E，某同学分析图形后得出以下结论，上述结论一定正确的是______（填代号）．

①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．

【答案】①③④

【解析】

【详解】∴∠EBC=∠DCB，

又∵BD平分∠ABC，∠CE平分∠ACB，

∴∠DBC=∠ECB，

∵∠BEC=180∘−∠EBC−∠ECB，∠CDB=180∘−∠DCB−∠DBC，

∴∠BEC=∠CDB.

在△EBC和△DCB中， ，

∴△EBC≌△DCB(AAS).

即①成立；

在△BAD和△BCD中，仅有，

不满足全等的条件，

即②不一定成立；

∵△EBC≌△DCB，

∴BD=CE

在△BDA和△CEA中， ，

∴△BDA≌△CEA(SAS).

即③成立；

∵△BDA≌△CEA，

∴AD=AE，

∵AB=AC，

∴BE=CD.

在△BOE和△COD中， ，

∴△BOE≌△COD(AAS).

即④成立；

在△ACE和△BCE中，仅有，

不满足全等的条件，

即⑤不一定成立.

综上可知：一定成立的有①③④．

故答案为①③④.

点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，解题的关键是找出各角边关系，利用全等三角形的判定定理去寻找全等三角形.

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是多少？

【答案】这个多边形的边数为7．

【解析】

【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．

【详解】解：设这个多边形的边数为n，

根据题意，得（n-2）×180°=3×360°-180°，

解得n=7．

答：这个多边形的边数为7．

【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．

14. 化简：．

【答案】

【解析】

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

15. 如图，已知AD=BC，AC=BD．

（1）求证：△ADB≌△BCA；

（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析．

【解析】

【分析】（1）根据SSS定理推出全等即可；

（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB．

【详解】（1）证明：∵在△ADB和△BCA中，AD=BC，AB=BA，BD=AC，

∴△ADB≌△BCA（SSS）；

（2）解：OA=OB，理由如下：

∵△ADB≌△BCA，

∴∠ABD=∠BAC，

∴OA=OB．

【点睛】本题考查了三角形的全等判定，全等三角形的性质，等角对等边，解决此题的关键是能正确两个三角形全等．

16. 先化简再求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】利用分式的加减法和乘除法对分式进行计算和化简，再把x＝2022代入计算即可得出结果．

【详解】解：

当时，原式．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则和乘除法法则是解题的关键．

17. 如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为： A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）

（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；

（2）求△ABC的面积

【答案】（1）见解析；（2）11.5

【解析】

【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案；

（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．

【详解】解：（1）如图所示

（2）

【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB上，四边形EFGB是边长为b的正方形，连接AC、CE．

（1）用含a、b的代数式表示：__________，的面积＝__________；

（2）若的面积为10，两个正方形的面积之和为60，求CG的长．

【答案】（1），   

（2）10

【解析】

【分析】（1）由图形可知GC＝BC+GB，S△AEC＝AE•BC，据此可求解；

（2）由题意可得：ab＝20，再结合两个正方形的面积之和，可求解．

【小问1详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGB是正方形，

∴AB＝BC＝a，GB＝BE＝b，AB⊥BC，

∴GC＝BC+GB＝a+b，

S△AEC＝AE•BC

＝（a﹣b）a

＝；

故答案为：a+b，；

【小问2详解】

解：BCE的面积为10，

∴ ，即ab＝20．

∵两个正方形的面积之和为60，

∴a2+b2＝60．

∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100．

∴GC＝a+b＝10．

【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，解答的关键是理解清楚题意，并熟记三角形的面积公式．

19. 如图，在中，，于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．

（1）若，求∠DAE的度数?

（2）若，交AC于点F，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求∠FEC的度数．

【答案】（1）20°；   

（2）图见解析，20°

【解析】

【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得∠B=60°，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得∠EAC和∠DAC即可求得∠DAE的度数；

（2）根据等角的余角相等得到即可求解．

【小问1详解】

解：∵，，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

【小问2详解】

解：如图， ，

∴，

∴，

∵，

∴，

由（1）中知∠DAE=20°，

∴．

【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、等角的余角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握它们的联系与运用是解答的关键．

20. 受疫情影响，洗手液需求量猛增，某商场用4000元购进一批洗手液后，供不应求，商场用9000元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．

（1）求该商场购进的第一批洗手液的单价；

（2）商场销售这种洗手液时，每瓶定价为10元，最后300瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？

【答案】（1）商场购进的第一批洗手液的单价为8元/瓶   

（2）这两笔生意中商场共获利1700元

【解析】

【分析】（1）设商场购进第一批洗手液的单价为x元，由题意：某商场用4000元购进一批洗手液后，商场用9000元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．列出分式方程，解方程即可；

（2）求出两笔生意的利润和即可．

【小问1详解】

解：设商场购进第一批洗手液的单价为x元，

依题意得： ，

解得：x＝8，

经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，

答：商场购进的第一批洗手液的单价为8元；

【小问2详解】

解：第一批进货＝500（瓶），第二批进货1000瓶，

共获利：（500+1000﹣300）×10+300×10×0.9﹣4000﹣9000＝1700（元），

答：这两笔生意中商场共获利1700元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．

（1）求证：△ABC≌△BDF；

（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）14

【解析】

【分析】（1）根据正方形的性质得出BD=AB，∠DBA=90°，进而得出∠DBF=∠CAB，因为∠C=∠DFB=90°．根据AAS即可证得结论；
（2）根据正方形的性质AN=DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，根据垂线段最短，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，则AN+PN的最小值等于DP1=FC=14．

【详解】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，

∴∠C＝∠DFB＝90°．

∵四边形ABDE是正方形，

∴BD＝AB，∠DBA＝90°，

∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，

∴∠DBF＝∠CAB，

∴△ABC≌△BDF（AAS）；

（2）解：∵△ABC≌△BDF，

∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，

∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．

如图，连接DN，

∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，

∴AN＝DN．

如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，

由于点P、N分别是AC和BE上动点，

作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，

所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．

【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称-最短路线问题，熟练掌握正方形的性质是解题关键．

22. 阅读材料：若，求m、n的值．

解：∵，∴

∴，∴，，∴，

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知，求的值；

（2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的最大边c的值；

（3）已知，，求的值．

【答案】（1）9    （2）6、7、8、9、10   

（3）8

【解析】

【分析】（1）根据例题凑成2个完全平方式，进而根据非负数的性质求得的值即可求解；

（2）方法同（1）进而求得的值，根据三角形的三边关系，列出不等式，求得不等式的整数解，进而求得的值；

（3）由已知式子，根据代入法求得，根据（1）的方法求得的值，进而求得的值，即可求得答案．

【小问1详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

即的值是9．

【小问2详解】

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

∵，，

∴，

∴最大边的值可能是6、7、8、9、10．

【小问3详解】

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，，，

∴，即的值是8．

【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，三角形三边关系，解不等式组，求不等式组的解集，掌握完全平方式是解题的关键．

六、解答题（本大题共1小题，共12分）

23. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，，，C为y轴正半轴上一点，且．

（1）求∠OBC的度数；

（2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：

若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；

若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系．

【答案】（1）∠OBC=60°；（2）①或2；②当a＜5时，a+b=5；当a＞5时，a﹣b=5

【解析】

【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠OBC=60°；

（2）分三种情况分析图形可能的结果，再根据直角三角形的特殊边关系推出结果(30°角所对直角边等于斜边的一半)；

（3）分两种情况分析图形可能的结果，再根据等腰三角形的特殊边关系推出结果（等腰三角形两腰相等）．

【详解】（1）如图1：

在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则BD=2OB=4，

∵CO⊥BD，

∴CD=CB=4，

∴CD=CB=BD，

∴△DBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°；

（2）①由题意，得AP=2t，BQ=t，

∵A（﹣3，0），B（2，0），

∴AB=5，

∴PB=5﹣2t，

∵∠OBC=60°≠90°，

∴下面分两种情况进行讨论，

Ⅰ）如图2：

当∠PQB=90°时，

∵∠OBC=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BQ=，

∴t=，解得：t=；

Ⅱ）当∠QPB=90°时，如图3：

∵∠OBC=60°，

∴∠BQP=30°，

∴PB=，

∴，

解得：t=2；

②如图4：

当a＜5时，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=5﹣a，

∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，

∴△PQB是等边三角形，

∴b=5﹣a，即a+b=5，

如图5：当a＞5时，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=a﹣5，

∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，

∴BP=BQ，

∴a﹣5=b，即a﹣b=5．

【点睛】此题考核知识点：等边三角形、等腰三角形的判定；含有30°角的直角三角形性质；直角三角形定义；点的坐标与距离关系；坐标系中点的运动．这是一道综合题，解题的关键在于理解点的变化过程中图形的几种情况，借助坐标求出相关的边长，根据特殊图形边长的特殊关系列出等式便可