2021-2022学年河北省沧州市高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年河北省沧州市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．若集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.

【详解】依题意，，

所以.

故选：D

2．已知与的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算样本中心，将样本中心 代入线性回归方程中即可求解.

【详解】因为，所以样本中心为，将其代入回归方程，得，解得.

故选：C.

3．某学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为（       ）

A．15 B．30 C．35 D．42

【答案】B

【分析】方法一：分高二（1）班有家长发言和没有家长发言两种情况求解，再利用加法原理可求得结果，方法二：先求出7人中任选3人的方法数，再减去高二（1）班2名家长都发言的情况即可

【详解】法一：若高二（1）班有家长发言，共有种，若高二（1）班没有家长发言，共有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有种.

法二：若从7名家长中任选3人，共有种情况，高二（1）班2名家长都发言的情况有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有种.

故选：B.

4．已知随机变量的分布列如表所示，其中成等差数列，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题设条件可得，再利用均值不等式即可求解

【详解】由分布列的性质得，，又成等差数列，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值是.

故选：.

5．已知，则的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用对数函数的单调性、换底公式、指数函数的单调性即可求解

【详解】易知，又，因为，所以，即；又，所以.

故选：B.

6．某射击选手射击目标两次，第一次击中目标的概率是，两次均击中目标的概率是.则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件概率的公式求解即可.

【详解】设该选手第一次击中目标为事件，第二次击中目标为事件，则，

则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是.

故选：B.

7．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（       ）附：若，则，

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出，再结合正态分布的对称性，即可求解

【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为，则，由题意，，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为.

故选：A.

8．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得出，，分别令、，结合已知条件可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出函数在上的解析式，再利用函数的对称性可求得结果.

【详解】由是奇函数，得，①

由是偶函数，得、②.

令，由①得，由②得：，

又，所以，即，

令，由①得：，

又，所以，即，则，

代入，得，

所以时，.

所以.

故选：C.

二、多选题

9．若，则下列结论一定正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】化简给定条件，利用不等式性质判断A，举例说明判断B；利用指数函数单调性判断C；平方作差判断D作答.

【详解】因为，则，于是得，A正确；

当时，，B错误；

函数在R上单调递减，则有，C正确；

而，有，即，D正确.

故选：ACD

10．随着疫情的有效控制，沧州动物园于2022年4月16日起恢复开园.开园当天，沧州师范学院学生会的3名男生和2名女生在动物园的入口处对游客进行新冠肺炎防疫知识宣传.闭园后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（       ）

A．若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法

B．若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法

C．若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法

D．若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法

【答案】BCD

【分析】利用分步乘法计数原理、排列的知识逐项分析、计算判断作答.

【详解】对于A，男生甲排在两端，则这5名同学共有种不同的排法，A错误；

对于B，2名女生相邻，则这5名同学共有种不同的排法，B正确；

对于C，2名女生不相邻，则这5名同学共有种不同的排法，C正确；

对于D，要求1名男生排在中间，则这5名同学共有种不同的排法，D正确.

故选：BCD

11．年6月，上海市要求复工复产的相关人员须持小时核酸检测阴性证明方能进入工厂.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：即将其中份核酸样本混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，则需要对这份核酸再逐份检测.假设检测的核酸样本中，每份样本的检测结果相互独立，且每份样本是阳性的概率都为，若，则能使得混合检测比逐份检测更方便的的值可能是（       ）（参考数据

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】求出混检总次数Y的期望，逐份检测总次数X的期望，再根据给定条件列出不等式求解作答.

【详解】设混合检测样本需要检测的总次数为，的可能值为1和，

的分布列为：

，

设逐份检测样本需要检测的总次数为，则，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，有，

则有，

又，即，

因此，解得，即，C，D不满足，A，B满足..

故选：.

12．学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此住复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（       ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

【答案】ABC

【分析】对于A选项，由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，则，所以A正确；对于B选项，依题意，利用等比数列的定义即可判断数列是等比数列；对于C，D选项，利用B选项的结论可解得，则当时，，

所以，所以C正确，错误.

【详解】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，所以，故A正确；

依题意，，则.

又时，，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确

所以，

当时，，

所以，所以C正确，错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为__________.

【答案】

【分析】先由题设条件解得，再利用展开式的通项公式即可求解

【详解】因为的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，解得.

又的展开式的通项公式，

令，得，所以展开式中的常数项为.

故答案为：

14．已知都是非零实数，若，则的最小值为__________.

【答案】3

【分析】由题设条件可得，则，展开即可利用均值不等式求最值

【详解】因为

所以

当且仅当即时，等号成立.

故答案为：

15．如图所示的电路，有四个开关，若开关自动闭合的概率分别为，则灯泡甲亮的概率为__________.

【答案】0.8892

【分析】根据电路图可知：灯泡甲要亮，必须开关要闭合，至少有一个开关闭合即可.

【详解】用分别表示开关闭合的概率，则灯泡甲亮的概率为

故答案为：0.8892

四、双空题

16．已知函数，则函数的零点是__________；若函数，且函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】     和；    

【分析】第一空：直接由分段函数的解析式求出函数的零点即可；第二空：设，由题设得，结合图像讨论与的图象交点个数，再分析的解的个数即可求解.

【详解】由解得，由解得，所以函数的零点是和.

对于函数，设，令，则.在同一坐标系内作出直线以及的图象.

若，则与的图象有两个交点.设交点的横坐标为（不妨设），则.

易得的图象和的图象相同，结合的图象可得，当时，有且只有一个解，当时，有两个不同解；

若，则与的图象只有一个交点，设交点的横坐标为，则，当时，有且只有一个解，不合题意.

综上，函数有三个不同的零点时，的取值范围是.

故答案为：和；.

五、解答题

17．下表是某农村居民2017年至2021年家庭人均收入（单位：万元）.

(1)利用相关系数判断与的相关关系的强弱（当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱，精确到）；

(2)求关于的线性回归方程，并预测2022年该农村居民的家庭人均收入.

参考公式：相关系数，回归直线中，，，参考数据：.

【答案】(1)较强

(2)，万元

【分析】（1）根据表中数据以及相关系数的公式即可求解，然后根据范围可判断强弱；（2）根据最小二乘法即可求回归方程，然后根据回归方程预测.

【详解】(1)由题意得，，

所以，

所以与的相关关系较强.

(2)因为，

所以，

.

所以关于的线性回归方程为.

当时，，

所以预测2022年该农村居民的家庭人均收入约为万元.

18．已知函数.

(1)解关于的不等式；

(2)若，关于的不等式的解集为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求解一元二次不等式即可.（2）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，利用分解因式或者根与系数的关系即可求解.

【详解】(1)由题意知，

化简得，解得.

所以所求不等式的解集为.

(2)不等式可化为.

关于的方程的判别式，

方程的根.

所以，

又，

所以，

解得或，

因为，所以.

解法二：不等式可化为.

关于的方程的判别式

，

设方程的根为，则.

不妨设，则，

又，

所以，

解得或，

又，所以.

19．2022年北京与张家口联合承办了第24届冬季奥运会.某校为了调查学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，对高二年级的400名学生进行了问卷调查，得到部分数据如下表：

(1)求表中的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢冰雪运动与性别有关？

(2)学校从喜欢冰雪运动的学生中用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中选取3人进行访谈，记这3人中男生的人数为，求的分布列与数学期望.

附：参考公式及数据，其中.

【答案】(1)，，，可以认为

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由可得,得,由得，根据联列表得，与参考值比较可得答案；

（2）求出的可能取值及对应概率可得答案.

【详解】(1)由可得,

由可得,

由可得,

假设为：喜欢冰雪运动与性别无关,

联列表如下：

，

因为，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此可以认为成立，即认为喜欢冰雪运动与性别无关.

(2)抽取的9人中，男生有（人），女生有（人），

的可能取值为，

，

，

，

，所以的分布列为

.

20．已知函数是定义在上的偶函数，其中，是自然对数的底数.

(1)求的值；

(2)若关于的不等式对都成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，即可求得实数的值；

（2）由结合参变量分离法可得出对恒成立，令，可得出，利用基本不等式可得出实数的取值范围.

【详解】(1)解：因为是偶函数，所以，

即对任意实数都成立，

则，所以对任意实数都成立，

所以，解得.

(2)解：由（1）知，，

因为关于的不等式，即对恒成立，

因为，所以，

原问题转化为对恒成立，

设，则对任意的恒成立.

因为，其中，

而，当且仅当时，即时等号成立，

所以时，取最小值，所以.

因此实数的取值范围是.

21．李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买1份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为1000克，标准差为50克的正态分布，李师傅从2022年3月1日至6月8日连续100天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在（单位：克）上的有60份，重量在（单位：克）上的有40份.

(1)李师傅的儿子刚参加完2022年高考，准备于6月9日在家中招待几名同学，李师傅为此在平台上网购了4份水果，记这4份水果中，重量不少于1000克的有份，试以这100天的频率作为概率，求的分布列与数学期望；

(2)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.记李师傅这100天购买的每份水果平均重量为克，试利用该结论来解决下面的问题：

①求；

②如果李师傅这100天得到的水果的重量都落在（单位：克）上，且每份水果重量的平均值，李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果缺斤少两，试从概率角度说明李师傅的举报是有道理的.

附：①随机变量服从正态分布，则

②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不㕕发生.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)①；②见解析

【分析】（1）X的所有取值为，再由二项分布求出对应的概率，列出分布列计算期望即可；

（2）①先求出，再由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可；②由概率判断出事件为小概率事件，基本不会发生，即可求解.

【详解】(1)X的所有取值为，因为重量不少于1000克的概率为，所以，，则的分布列为

.

(2)①由题意知，因为，所以，因为，

又因为，所以，所以.

②由①知，这100天收到的每份水果重量的平均值，而，

所以概率为的事件是小概率事件，小概率事件基本不会发生，因此，李师傅的举报是有道理的.

22．已知函数.

(1)求的值；

(2)若对任意，都有，求实数的最大值；

(3)若函数在区间上有6个不同的零点，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）根据分段函数及复合函数的定义求值即可；

（2）根据分段函数及复合函数的定义，逐步求出的解析式，画出并分析图像，直到 ，即可求得结果；

（3）所求零点等价于的图象与直线的交点，分析（2）的图像，可得出t的范围，结合以及零点的对称性即可求和，即可求得取值范围

【详解】(1)；

(2)因为当时，，

当时，，

又时，，

所以，

同理可得，当时，，当时，，

函数的图象如图所示.

令，解得（舍），

由图可见仅当时，恒成立，

所以实数的最大值是

(3)因为有6个不同的零点，即的图象与直线有6个不同的交点，结合上图，易得.

设这6个交点的横坐标从小到大依次为，

则，

所以，

又，所以，

即所求的取值范围是.