2021-2022学年河北省秦皇岛市第一中学高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年河北省秦皇岛市第一中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合的子集个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】首先解指数不等式得到，即可得到，再求子集个数即可.

【详解】，

则，子集的个数为，

故选：D．

2．若直线与曲线相切，则

A．3 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】设切点为，

∵，∴

由①得，

代入②得，

则，，

故选A.

【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.

3．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（       ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.

【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，

则，解得：，当时，，，

则，所以函数为奇函数，即充分性成立；

“函数为奇函数”，

则，即，

解得：，故必要性不成立，

故选：A．

4．记函数的定义域为集合A，若“”是关于x的不等式成立”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的定义域得集合，解不等式得的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.

【详解】函数有意义的条件为，解得，

所以，不等式，即，

因为，所以，记不等式的解集为集合，

所以，所以，得.

故选：B．

5．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对函数求导，求出函数的单调区间和极值，再根据函数在上存在最小值求参数范围.

【详解】

，

当时，单调递减；当或时，单调递增，

在、处取得极值.

，

，

∴函数在处取得最小值，

∵函数在上存在最小值，

∴，解得.

故选：A.

6．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】解：因为，所以，

因为奇函数是定义在上的单调函数，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B

7．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】确定函数图象关于直线对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论．

【详解】函数定义域是，由于的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此的图象关于直线对称，排除AC，

有无数个零点，因此也有无数个零点，且当时，，排除B．

故选：D．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

8．设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，构造函数，求导，可得在上的单调性，将a，b，c变形整理，结合单调性，即可得答案.

【详解】设函数，则，

因为，所以，

所以在上是增函数，

，，，

所以，

故选：A

9．设函数，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先判断的单调性，再根据指数函数、对数函数的性质判断、、的大小，即可判断.

【详解】解：因为，又在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减且，又在上单调递减且，所以在上单调递减，

又因为，即，，即，，即，所以，所以；

故选：D

10．已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性及极值，又时，；当时，，作出函数的图像，利用数形结合思想即可求解.

【详解】由题意，得，

设，求导

令，解得

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

故当时，函数取得极大值，且

又时，；当时，，故；

作出函数大致图像，如图所示：

又，

因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，

由图可知：，即

故选：B.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、多选题

11．下列叙述中正确的是（       ）

A．若则“"的充要条件是“”

B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

C．若则“对恒成立"的充要条件是“”

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】BD

【分析】对于A，当时必要性不成立，根据二次方程根的分布列不等式求解即可判断B，根据不等式恒成立条件转化即可判断C，当“”得“或”，从而判断D．

【详解】对于A， 因为可得，当，时，有，所以若则“"是“”的充分不必要条件，故A错；

对于B，方程有一个正根和一个负根，则 ，整理得，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；

对于C，当时，“对恒成立"的充要条件是“”，故C错；

对于D，当“”是“”成立，当“”得“或”，故“”是“”的充

分不必要条件，D正确．

故选：BD

12．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（       ）

A．为偶函数 B．在上单调递减

C．关于对称 D．

【答案】ACD

【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可；

【详解】解：对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称

所以，又，所以

所以，即，所以函数为偶函数，故A正确；

对于B：因为，所以，即所以函数是周期为的周期函数，当时，，因为当时，函数在上单调递增，所以当时，，函数在上单调递增，故B错误；

对于C：因为函数图象关于直线对称，所以，又函数是偶函数，所以，即，，所以，所以关于对称，故C正确；

对于D：，又时，，所以，故D正确；

故选：ACD

13．已知函数，，则（       ）

A．在上为增函数

B．当时，方程有且只有3个不同实根

C．的值域为

D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据函数解析式作出函数图象，判断函数单调性及值域；根据导数求方程的根的个数；数形结合求得成立时，参数范围；

【详解】根据函数解析式作出函数图象，

由图象易知，在上不是增函数，故A错误；

当时，，则，

过定点，当时，与在上相交，共2个交点；

当时，，过点作的切线，设切点为，

则，，解得，，故当时，与在处相切，有1个交点；

故当时，与共有3个交点，故B正确；

由图易知，故C正确；

当时，等价于，

由函数图象，及上述分析知，；

当时，等价于，

由函数图象，及上述分析知，；

故若，，故D正确；

故选：BCD

14．下列关于函数的结论正确的有（       ）

A．图象关于原点对称 B．在上单调递增

C．在上单调递减 D．值域为

【答案】ACD

【分析】对选项A，根据奇函数定义即可判断A正确，对选项B，根据，，再结合单调性即可判断B错误，，，，，；利用复合函数的单调性即可判断与在时均单调递增，从而判断C正确，对选项D，根据，，即可判断D正确.

【详解】对选项A，函数定义域为R， ，

所以为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；

对选项B，因为，，

所以函数在上不可能单调递增，故B错误；

令，，，，

则，，

结合复合函数单调性知，与在时均单调递增，

所以在时单调递增，

故在时单调递减，故C正确；

对选项D，因为，所以，所以，

又，所以，

即的值域为，故D正确．

故选：ACD

三、填空题

15．已知集合，，若，则实数的取值范围是____.

【答案】

【分析】运用分类讨论思想和子集的概念可得结果.

【详解】依题意得：当时，，即.

当时，，解得.

综上，.

故答案为：.

16．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】由，，可得：，求出函数的最大值即可.

【详解】由，，

可得：，

，

当时，，

当时，，

当且仅当时取等，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查了存在性问题，考查了参变分离求参数范围，同时考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.

17．已知函数，则不等式的解集是______.

【答案】，

【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式 转化为即可求解．

【详解】构造函数，那么 是单调递增函数，

且向左移动一个单位得到，

的定义域为，且，

所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．

不等式 等价于，

等价于

结合单调递增可知，

所以不等式的解集是，．

故答案为：，．

18．已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为_________

【答案】

【分析】先求出关于轴对称的函数，则将问题转化为在上有解，利用参数分离法进行转化，转化为直线与的图象有交点，然后利用导数求出的极值和单调区间可求得结果

【详解】的定义域为，则关于轴对称的函数为

，

则条件等价为在上有解，

得，

令，则

，

当时，，

当时，，

当时，，

所以在上递减，在上递增，

，

因为当时，，

所以当时，直线与的图象有交点，即在上有解，

所以实数的取值范围为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为在上有解，然后利用参数分离法进行转化求解，考查数学转化思想，属于较难题

四、解答题

19．某个体服装店经营的某种服装在某周内所获纯利（元）与该周每天销售这种服装的件数（件）之间有一组数据如下表所示.

（1）求，；

（2）若所获纯利（元）与每天销售这种服装的件数（件）之间是线性相关的，求回归直线方程；

（3）若该店每周至少要获利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？（以下数据供选择：，，）（已知回归系数为，）

【答案】（1）6；79.86；（2）；（3）32件.

【分析】（1）根据所给数据直接求解即可；

（2）利用最小二乘法求出回归方程；

（3）当代人回归方程，解得，即可得解；

【详解】解：（1），

；

（2）∵，

，

∴纯利与每天销售件数之间的回归直线方程为；

（3）当时，，所以.

因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件.

20．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

（1）设为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；

（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（Ⅰ）由已知，有

所以事件发生的概率为.

（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为

所以随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望

【解析】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.

21．已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）

【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）

对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．

【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）

又

当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）

所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数

（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0

由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，

又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意

当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，

所以：

令（a＞0）

所以：

在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0

所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，

故：a的取值范围为[1，+∞）

【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．

22．青少年近视问题已经成为影响青少年健康的一个重要问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”，某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间(单位：分钟)，根据调查数据按分成6组，得到频数分布表如下：

（1）根据上表数据，求该地青少年每天使用电子产品时间的中位数；

（2）若每天使用电子产品的时间超过60分钟，就叫长时间使用电子产品，完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）；（2）列联表答案见解析，有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.

【分析】（1）根据条件，设该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为x，可得，解出即可；

（2）根据条件完善表格，然后算出即可.

【详解】（1）∵，，

设该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为x，则，

解得，即该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为；

（2）由题意可知长时间使用电子产品的青少年有150名，非长时间使用电子产品的青少年有50名.

则长时间使用电子产品的青少年未患近视的人数为150﹣100=50，

非长时间使用电子产品的青少年未患近视的人数为80﹣50=30，

非长时间使用电子产品的青少年患近视的人数为50﹣30=20，

患近视的青少年有200﹣80=120.

2×2列联表如图：

∵，

而，

∴有99.9%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关.

23．已知函数，．

(1)若时，恒成立，求实数a的取值范围；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）首先将题意转化为恒成立，先证明恒成立，再分类讨论的范围即可得到答案.

（2）首先求导得到，设，根据的正负性得到的单调性，再利用隐零点求解函数的最值即可.

（1）因为时，恒成立，所以恒成立，即恒成立.首先证明恒成立，即证恒成立.设，，因为，，为增函数，，，为减函数，所以，即证：时，恒成立.当时，恒成立，当时，若不满足，故舍去.综上：.

（2），设，，∴在上单调递增，因为，，所以存在，使得，且时，，即单调递减，时，，即单调递增，所以，因为，所以，则，所以，设，，因为时，，为增函数，所以，则，∴．