2021-2022学年河北省保定市高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年河北省保定市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合A，B，再去求即可.

【详解】，又，

则.

故选：B

2．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】将全称命题否定为特称命题即可

【详解】命题“，”的否定是“，”.

故选：A

3．已知，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.

【详解】当时，，则A错误；当时，，则B错误；当时，，则C错误；当时，，当时，，当时，，则D正确.

故选：D.

4．已知，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数、指数函数的单调性以及中间变量进行大小比较.

【详解】因为 ，所以函数单调递减，所以，

即；

因为，所以函数单调递增，所以，

即；

因为，所以函数单调递减，所以，

即.所以，故A，B，D错误.

故选：C.

5．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用不等式的性质及对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.

【详解】由，得，则；

由，得，但不能得到

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6．小华、小明等7名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小明不在两端，且小华不在正中间位置的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过特殊元素，特殊位置优先考虑，计算满足的排法数，再利用古典概型公式计算概率.

【详解】第一种情况：小明在正中间，排法数为：种排法；

第二种情况：小明不在正中间，先排小明有种排法，再排小华

有种排法，剩下的同学有种排法.

记“小明不在两端，且小华不在正中间位置”为事件A，

则.故A，B，C错误.

故选：D.

7．已知函数，若，则（       ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】设易得为奇函数，即，进而得，代入，求解即可.

【详解】解：设，

则，

即，即.

因为，

所以.

故选：A.

8．在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（       ）

A．1440 B．720 C．1920 D．960

【答案】C

【分析】按照地图涂色问题的方法，先分步再分类去种植花卉即可求得不同的种植方法种数.

【详解】如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E.

第一步，选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择；

第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择；

第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择；

第四步；若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种；

若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择；

则区域E可选择的花卉有种，

故不同的种植方法种数是.

故选：C

二、多选题

9．关于函数，下列判断正确的是（       ）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．在上单调递减 D．在上单调递增

【答案】AC

【分析】由题可得，进而即得.

【详解】因为，

所以在和上单调递减，则A，C正确，B，D错误.

故选：AC.

10．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革，改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.选择性科目是由学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，则（       ）

A．不同的选科方案有20种

B．若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12种

C．若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有10种

D．若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有12种

【答案】ACD

【分析】利用分类计数原理、分步计数原理即可.

【详解】从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，不同的选科方案有种，则A正确；若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有种，则B错误；若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有种，则C正确；若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有种，则D正确.

故选：ACD.

11．若，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用赋值法可判断AC，利用展开式的通项公式可判断BD.

【详解】令，得，则A正确；

，因为展开式的通项，令，得，则，所以，故B错误；

令，得，则，从而，故D正确；

令，得，因为，

所以，则C正确.

故选：ACD.

12．已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】BCD

【分析】对式子变形，构造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解决恒成立问题.

【详解】由，得，因为，所以，所以，则，

当且仅当时，等号成立，故，

因为恒成立，所以，解得.故A错.

故选：BCD.

三、填空题

13．新能源汽车不仅降低了对石油进口的依赖，也减少了对整个地球环境的污染，下表是某新能源车2017~2021年销量统计表：

若销量y与年份编号x线性相关，且求得经验回归方程为，则_________.

【答案】4.5.

【分析】由经验回归方程必过样本中心计算可得.

【详解】由题意可得，，则

，解得.

故答案为：4.5.

14．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.

【答案】7

【分析】根据喜欢打羽毛球、打篮球的学生人数建立方程.求解方程.

【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y，则，即，因为，所以.因为，所以.

故答案为：.

15．已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.

【答案】

【分析】假命题的否定为真命题，转化为恒成立问题，再利用分离参数法处理.

【详解】由题意可知命题“，”是真命题，即，.因为，所以，则.

故答案为：.

16．已知是定义在R上的奇函数，且.当时，，则________.

【答案】

【分析】先求得是周期为4的周期函数，再利用函数为奇函数，将转化为，进而利用时，即可求得的值.

【详解】由题意可得，所以是周期为4的周期函数，

则.

因为，所以，所以，

因为是奇函数，所以.

故答案为：

四、解答题

17．某校举办数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛.现从通过初赛的学生中选拔男生30名，女生30名参加决赛，根据决赛得分情况，按[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，若规定得分不低于80分者在本次竞赛中表现优秀，其中表现优秀的女学生有5名.

(1)求学生得分的平均值（各组数据以该组数据的中点值作代表）；

(2)请完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为是否在数学竞赛中表现优秀与性别有关？

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】(1)73（分）.

(2)表格见解析，能.

【分析】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，再利用平均值的计算公式即可.

(2)【详解】(1)由频率分布直方图可得，解得.

则学生得分的平均值（分）.

(2)由频率分布直方图可知表现优秀的人数为，

则表现优秀的男学生人数为.

女学生中表现不优秀的人数为，男学生中表现不优秀的人数为.

零假设为：是否在数学竞赛中表现优秀与性别无关.

得到列联表如下：

则.

根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即认为是否在数学竞赛中表现优秀与性别没有关联，此推断见错误的概率不大于0.1.

18．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，求在上的值域.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对函数先求导，再讨论参数即可；

（2）利用导数确定函数的单调性，从而求出最值.

【详解】(1)解：由题意可得.

当时，恒成立，则在上单调递增.

当时，由，得；由，得.

则在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

(2)当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，

则在上的最小值为.

因为，，

所以，

则在上的最大值为.

故在上的值域为.

19．已知函数是偶函数，且.

(1)求的解析式：

(2)若不等式对恒成立，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，以及偶函数的性质.

（2）利用分离参数法处理恒成立问题，再利用对数的运算性质对式子化简变形，求函数的最值.

【详解】(1)因为，所以，解得.

因为是偶函数，所以，即，

所以，解得.

故.

(2)因为不等式对恒成立，即不等式对恒成立，所以对恒成立.

设.

因为，所以，所以，则.

故，即m的取值范围为.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

20．某电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x万件该电子元件，需另投入成本万元，且已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完.

(1)求该电子厂这种电子元件的利润y（万元）与生产量x（万件）的函数关系式；

(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值.

【答案】(1)

(2)最大值为18万元.

【分析】（1）利润等于总收入减去总成本.

（2）分段函数问题分段讨论.

【详解】(1)当时，；

当时，.

故该电子厂这种电子元件的利润y（万元）与生产量x（万件）的函数关系式为

(2)当时，函数图像的对称轴方程为，

所以在上单调递增，

则（万元）.

当时，因为，当且仅当时，等号成立，

所以，即当时，y取得最大值18.

因为，所以当时，y取得最大值18，则利润的最大值为18万元.

答：该电子厂这种电子元件利润的最大值18万元.

21．某校环保协会举办关于环境保护的知识比赛，比赛分为初赛和决赛，初赛分为两轮：第一轮有3道题，第二轮有2道题，若参赛选手在初赛中至少答对4道题，则通过初赛，已知参赛选手甲答对初赛第一轮中每道题的概率是，答对初赛第二轮中每道题的概率是，且参赛选手甲每次答题相互独立.

(1)求参赛选手甲通过初赛的概率.

(2)若参赛选手在初赛第一轮中，答对一道题得1分，答错得0分；在初赛第二轮中，答对一道题得2分，答错得1分，记参赛选手甲答完初赛中的5道题的累计得分为X，求X的分布列与期望.

【答案】(1).

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）通过分情况讨论，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率.

（2）明确所有可能的情况，利用概率公式计算出概率，再列出分布列,计算期望.

【详解】(1)参赛选手甲通过初赛有以下三种情况：初赛中第一轮答对2道题，第二轮答对2道题；初赛中第一轮答对3道题，第二轮答对1道题；初赛中第一轮答对3道题，第二轮答对2道题.

参赛选手甲初赛中第一轮答对2道题，第二轮答对2道题的概率；

参赛选手甲初赛中第一轮答对3道题，第二轮答对1道题的概率；

参赛选手甲初赛中第一轮答对3道题，第二轮答对2道题的概率.

故参赛选手甲通过初赛的概率.

(2)由题意可知X的所有取值为：2，3，4，5，6，7.

；

；

；

；

；

.

则X的分布列为

故.

22．已知，，函数，且.

(1)求的值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）对式子进行变形处理，再根据已知条件求解即可.

（2）利用条件对式子进行变形，再构造函数，再分离参数法处理恒成立问题.

【详解】(1)因为，所以，所以.

由题意可得.

(2)由（1）可知，则，

.

则等价于，等价于.

令函数，易知在上单词递增，

则等价于，即，

即，则.

令函数，显然在上单调递减.

当时，；当时，，则.

故，即a的取值范围为.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.