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专题4.6 实数（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题4.6 实数（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共49页。试卷主要包含了实数概念的理解，实数的分类，实数的性质，实数与数轴，实数的大小比较，实数的混合运算，程序设计与实数运算，新定义下的实数运算等内容，欢迎下载使用。
专题4.6 实数（专项练习）
一、 单选题
知识点一、实数概念的理解
1．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③某数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④16的平方根是，用式子表示是.其中错误的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法中，正确的个数有（ ）
①不带根号的数一定是有理数； ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；
③无限小数都是无理数； ④是17的平方根；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各数，，，，，，中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点二、实数的分类
4．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是.其中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．在实数π，，，中，是无理数的是（ ）
A．p B． C． D．
6．已知下列各数:，，在以上各数中:①有理数有个；②无理数有个；③分数有2个；④正数有个；⑤负数有个.其中正确的是（ ）
A． ①②③ B． ②③④ C．②③⑤ D．①④⑤
知识点三、实数的性质
7．若=–a,则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点右侧 D．原点或原点左侧
8．化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A． 与 B．-4与 C．与 D．与
知识点四、实数与数轴
10．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A． B． C． D．
11．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在Rt△OBC中，OC=1，OB=2，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． －－2 B．－ C．﹣2 D．﹣+2
知识点五、实数的大小比较
13．下列各组数中,两个数相等的是 ( )
A．-2与 B．-2与- C．-2与 D．|-2|与-2
14．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
15．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
知识点六、实数的混合运算
16．计算：－＋－的结果是( )
A．1 B．－1 C．5 D．－3
17．－是( )
A．－2 B．－8 C．－6 D．－14
18．估计的值应在（ ）之间．
A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9
知识点七、程序设计与实数运算
19．有一个数值转换器原理如下:当输入x=16时,输出的数是 ( )
A．8 B．2 C． D．
20．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
21．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是﹣2，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（ ）
A．5 B．10 C．19 D．21
知识点八、新定义下的实数运算
22．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则x的取值可以是（ ）
A．40 B．45 C．51 D．56
23．定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
24．我们定义一种新运算a⊕b＝，例如5⊕2＝，则式子7⊕(﹣3)的值为( )
A． B． C． D．
知识点九、实数运算的实际应用
25．若实数x,y，使得x+y ,x-y , xy这四个数中的三个数相等，则的值等于（ ）
A．- B．0 C． D．
26．若面积为3的正方形的边长为a，下列两句判断：①a一定是一个无理数；②1.7
27．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点十、与实数运算的相关规律题
28．按如图所示的程序计算，若，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
29．已知=3×2=6,=5×4×3=60,=5×4×3×2=120,=6×5×4×3=360,依此规律的值为（ ）
A．820 B．830 C．840 D．850
30．按一定规律排列的一列数:，，，，其中第个数为( )
A． B． C． D．
二、 填空题
知识点一、实数概念的理解
31．的绝对值是_______．
32．在实数，，4，，，中，设有a个有理数，b个无理数，则________．
33． 观察下列各式：，，，…,根据你发现的规律，若式子(a、b为正整数)符合以上规律，则=_______.
知识点二、实数的分类
34．在，，，，这五个数中，有理数有______个
35．在实数，，﹣，0.303030…，π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，有理数的个数为_____个．
36．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是___________．
知识点三、实数的性质
37．－的相反数为______，|1－|＝_______，绝对值为的数为________．
38．化简: =________
39．若与|b+2|是互为相反数，则(a－b)2=______.
知识点四、实数与数轴
40．若将三个数、、表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖的数是_______．
41．如图，在数轴上，点对应的实数分别为，，，以点为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则点对应的实数为________．
42．如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作于点B，且，以原点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是_______．
知识点五、实数的大小比较
43．比较大小：________.
44．估算比较大小：______1．（填“＜“或“＞“或“＝“）
45．比较大小________12.
知识点六、实数的混合运算
46．计算：______．
47．计算＝_______．
48．对于实数a、b，定义运算：a△b= 例如2△3=2-3=，4△2=42=16，照此定义的运算方式计算：[2△（-4）]×[（-4）△（-1）]=_____.
知识点七、程序设计与实数运算
49．按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）
50．按如图所示的程序计算,若开始输入的n值为,则最后输出的结果是 _______
51．有一个数值转换器，流程如图：
当输入x的值为64时，输出y的值是_____．
知识点八、新定义下的实数运算
52．定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
53．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）＝_____；（2）若[3+，则x的取值范围是_____．
54．我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，其它运算符号的意义不变，计算：(△)－(2△3)＝__________.
知识点九、实数运算的实际应用
55．如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是_________．
56．矩形的长a＝，宽b＝，则这个矩形的面积为_______，周长为________．
57．请你规定一种适合非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，…你规定的新运算____________________.（用含a，b的一个代数式表示）
知识点十、与实数运算的相关规律题
58．观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，12，15，18，…，那么第13个数据是______．
59．观察下列等式：
＝1+﹣＝1，
＝1+﹣＝1，
＝1+﹣＝1，
…
请你根据以上规律，写出第n个等式_____．
60．已知，（），请用计算器计算当时，、的若干个值，并由此归纳出当时，、间的大小关系为______.
三、 解答题
知识点一、实数概念的理解
61． 已知：a，b均为有理数，且满足．化简．
知识点二、实数的分类
62．把下列各数填入相应的集合：
．
有理数集合{ }；
无理数集合{ }；
整数集合{ }；
负实数集合{ }．
知识点三、实数的性质
62． 已知实数a，b满足＋|2b＋1|＝0，求的值．
知识点四、实数与数轴
64．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简.
知识点五、实数的大小比较
65．把下列各数近似的表示在数轴上，并用“＜”号把它们按从小到大的顺序排列起来．
－|－3|，－(－)，－1，，π
知识点六、实数的混合运算
66． 计算：．
知识点七、程序设计与实数运算
67．如图是一个数值转换器．
(1)当输入x＝25时，求输出的y的值；
(2)是否存在输入x的值后，始终输不出y的值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；
(3)输入一个两位数x，恰好经过三次取算术平方根才能输出无理数y，则x＝________(只填一个即可)．
知识点八、新定义下的实数运算
68．我们约定，如: .
(1)试求和的值;
(2)想一想，是否与相等，并说明理由.
知识点九、实数运算的实际应用
69．定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）．
（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．
知识点十、与实数运算的相关规律题
70．观察与猜想：
2
3
（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；
（2）计算（n为正整数）等于什么？
参考答案
1．C
【分析】
①实数和数轴上的点是——对应的；②开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数；③绝对值是它本身的数是非负数；16的平方根是，用式子表示是．
【详解】
①实数和数轴上的点是——对应的，故正确；
②开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，故错误；
③某数的绝对值是它本身，则这个数是正数或零，故错误；
④16的平方根是，用式子表示是，故错误．
综上所述，错误的说法有3个．
故选C．
【点拨】本题考查实数的分类，无理数的定义，平方根的定义，在判断正误过程中，先理解相应的概念是解题的关键．
2．B
【分析】
根据有理数、实数、无理数和平方根的概念判断即可．
【详解】
解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误；
②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确；
③无限不循环小数都是无理数，所以③错误；
④是17的平方根，正确；
故选：B．
【点拨】此题考查实数，关键是根据有理数、实数、无理数和平方根的概念解答．
3．B
【分析】
整数和分数统称为有理数，无限不循环小数统称为无理数，据此定义逐项分析判断．
【详解】
解：，，，为有理数；
是无理数，是无理数，
，为开方开不尽的数，为无理数，
为开方开不尽的数，
为无理数，故无理数有3个，
故选B．
【点拨】本题考查算术平方根、立方根、无理数等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．D
【分析】
直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】
①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
②无理数是开方开不尽的数，错误，无理数是无限不循环小数；
③负数没有立方根，错误，负数有立方根；
④16的平方根是±4,用式子表示是：，故此选项错误．
故选D.
【点拨】此题考查实数，解题关键在于掌握其定义.
5．A
【分析】
根据无理数、有理数的定义逐一分析即可．
【详解】
在实数π，，，中，无理数是p，故选A.
【点拨】本题考查了无理数，解题的关键是掌握带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
6．C
【分析】
根据实数的分类进行解答
【详解】
解：①有理数有共7个，错误；
②无理数有共5个，正确；
③分数有，共2个，正确；
④正数有共7个，错误；
⑤负数有共4个；
故选C.
【点拨】本题考查了实数的概念辨析，涉及到有理数、无理数、分数、正数和负数，了解对应的概念判断即可.
7．D
【分析】
根据算术平方根和绝对值的意义可知a≤0，从而可判断出 实数a在数轴上的对应点位置.
【详解】
∵=–a,
∴a≤0，
∴a在原点或原点左侧.
故选D.
【点拨】本题考查了算术平方根的意义，绝对值的意义及实数与数轴的关系，根据绝对值的意义求出a≤0是解答本题的关键.
8．D
【分析】
首先比较与3的大小，然后由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【详解】
解：∵<3
∴-3<0
即：；
故选：D．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
9．C
【分析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
A、-|-2|=-2，=-2，故A错误；
B、-4=，故B错误；
C、=，只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确；
D、与不是相反数，故D错误；
故选C．
【点拨】本题考查了相反数，利用了相反数的意义．
10．B
【详解】
分析：观察数轴得到实数，，的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可.
详解：∵，∴，故A选项错误；
数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确；
∵，，∴，故Ｃ选项错误；
∵，，，∴，故D选项错误．
故选B.
【点拨】：主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算.观察数轴是解题的关键.
11．D
【详解】
根据根据数轴上的数右边总比左边的大，d在最右边，故选D.
12．D
【分析】
本题首先根据已知条件利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长度，进而利用实数与数轴的关系解答即可求解．
【详解】
解：由勾股定理可知，斜边=,
∵点A在负半轴上，
∴A表示的数是﹣+2．
故选D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，不仅要结合图形，还需要灵活运用勾股定理．
13．C
【分析】
根据算术平方根的定义，立方根的定义以及绝对值的性质对各选项分析后利用排除法求解．
【详解】
解：A、∵=2，∴-2与不相等，故本选项错误；
B、-2与-不相等，故本选项错误；
C、∵=-2，∴-2与相等，故本选项正确；
D、∵|-2|=2，∴|-2|与-2不相等，故本选项错误．
故选C．
【点拨】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，对各选项正确化简是解题的关键．
14．C
【详解】
解：由36＜38＜49，即可得6＜＜7，
故选C．
15．D
【分析】
根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】
根据数轴可得：，，且，
则，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
16．D
【分析】
首先求出各个根式的值，进而即可求解．
【详解】
－＋－，
=-3+2-2，
=-3.
故选D.
【点拨】此题主要考查了实数的运算，解题关键是能够求解一些简单的二次根式的加减问题．
17．A
【分析】
分别进行开平方及开立方的运算，然后合并即可得出答案．
【详解】
－=2-4=-2.
故选A.
【点拨】本题考查了实数的运算，要求同学们熟练掌握开平方及开立方的运算．
18．C
【解析】
【分析】
先把化简得+3，再判断+3在哪两个自然数之间即可.
【详解】
解：=++3；
∵=，4＜＜5，
∴7＜＜8，
即7＜＜8；
故选C.
【点拨】此题主要考察二次根式的计算及无理数的估算，需灵活运用方可解出.
19．D
【分析】
把16代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值．
【详解】
解：∵=4，4是有理数，
∴继续转换，
∵=2，2是有理数，
∴继续转换，
∵2的算术平方根是，是无理数，
∴符合题意，
故选D．
【点拨】本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数和无理数的区别．
20．C
【详解】
试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；
当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，
则输出结果为8+5．
故选C．
考点：实数的运算．
21．C
【分析】
把与代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．
【详解】
解：当时，可得，
可得：，
当时，可得：，
故选C．
【点拨】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．
22．C
【详解】
解：根据定义，得
∴
解得：．
故选C．
23．C
【解析】
试题解析：3⊕（-4）
=.
故选C．
24．B
【分析】
根据运算法则可得:=,化简可得.
【详解】
根据运算法则可得:=.
故选B
【点拨】本题考核知识点：新定义运算. 解题关键点：理解运算法则.
25．C
【解析】
【分析】
先根据分母不为0确定x+y与x-y不相等，再分类讨论即可．
【详解】
解：因为有意义，所以y不为0，故x+y和x-y不等
（1）x+y=xy=解得y=-1，x=，
（2）x-y=xy=解得y=-1，x= -，
所以|y|-|x|=1-=．
故选C．
【点拨】本题考查了实数的运算，解题的关键是确定x+y与x-y不相等，再进行分类讨论．
26．C
【分析】
根据正方形面积算法得到a2=3，再利用实数的性质分析得出答案．
【详解】
解：∵面积为3的正方形的边长为a，
∴a2=3，
∴①a一定是一个无理数，正确，
②1.72=2.89，1.82=3.24，2.89
【点拨】此题主要考查了实数的性质，正确掌握实数有关性质是解题关键．
27．D
【分析】
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，
A、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；
B、1+＜3，不能组成三角形，不符合题意；
C、b+a-b=a，不能组成三角形，不符合题意；
D、a+1+a+2=2a+3＞2a+2，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两边的和是否大于第三边．
28．D
【分析】
根据程序分别计算前几次输出的结果，从中找到规律，进一步探索第2020次得到的结果．
【详解】
解：由题意知，
S1=a，
n=1时，S2=1－S1=1－a，
n=2时，S3=，
n=3时，S4=1－S3=1－=，
n=4时，S5==，
n=5时，S6=1－S5=1－（1－）=，
n=6时，S7=；
……
发现规律：每6个结果为一个循环，
所以2020÷6=336…4，
所以S2020=S4=，
故选：D．
【点拨】本题考查了代数式的运算，解决此类题的关键是通过计算发现循环的规律，再进一步探索，注意规律的总结．
29．C
【分析】
对于（b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是a，依次少1，最小因数是b．依此计算即可．
【详解】
解：根据规律可得：
=7×6×5×4=840；
故选C．
【点拨】本题考查了规律型-数字的变化，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．注意找到（b＜a）中的最大因数，最小因数．
30．B
【分析】
观察这列数，得到分子和分母的规律，进而得到答案．
【详解】
解：根据一列数：，，，，…可知，
第n个数分母是n，分子是(n+1)2-1的算术平方根，
据此可知：第7个数是．
故选B．
【点拨】此题考查了数字的变化类，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键，难点在于观察出分子的变化．
31．2
【详解】
解：因为，所以—2的绝对值是2．故答案为2．
32．2
【分析】
由题意先根据有理数和无理数的定义得出a、b的值，进而求出的值．
【详解】
解：，4，，共有4个有理数，即，
，共有2个无理数，即，
所以．
故答案为：2．
【点拨】本题考查有理数和无理数的定义以及算术平方根的运算，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．
33．4
【分析】
从①②③三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，据此求出a、b的值即可求得答案.
【详解】
∵，， ，…，
∴用含n的式子来表示为：，
∵，
∴a=8-1=7，b=a+2=9，
∴==4，
故答案为4.
【点拨】本题考查了本题考查了规律型——数字的变化类，找到变化的规律是解题的关键．
34．3
【分析】
根据有理数和无理数的定义进行判断即可得.
【详解】
根据题意可得有理数有，，，
，为无理数，
所以有理数有3个，
故答案为3．
【点拨】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义.
35．4
【分析】
根据有理数、无理数的定义进行判断即可得解.
【详解】
在，，﹣，0.303030…，π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，有理数有，，﹣，0.303030…，共4个，其余的都是无理数，
故答案为4.
【点拨】本题考查了实数的分类，主要利用了有理数和无理数定义，熟记相关概念是解题的关键．
36．
【分析】
根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】
解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的平方根，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是．
故答案为：．
【点拨】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
37．－ －1 ±3
【分析】
直接利用相反数的定义得出答案;
结合绝对值的定义得出答案;
根据立方根的定义先求出的值,再根据绝对值的性质即可求出.
【详解】
解：(1)－的相反数是：－，
(2) |1－|＝－1;
(3)=3,
∴绝对值为3的数为±3.
故答案为－;－1; ±3.
【点拨】本题主要考查相反数，绝对值的定义以及立方根,关键在于熟练掌握运用相关的性质定理，认真的进行计算．
38．1
【分析】
因为π≈3.142，所以π-4＜0，3-π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π-4|+|3-π|．
【详解】
∵π≈3.142，
∴π-4＜0，3-π＜0，
∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1，
故答案为1．
【点拨】本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
39．9
【分析】
利用非负数的性质确定a、b的值即可解决问题．
【详解】
∵若与|b+2|互为相反数，
∴+|b+2|=0，
∵≥0，|b+2|≥0，
∴a=1，b=-2，
∴（a-b）2=9，
∴9的平方根为±3．
故答案为±3．
【点拨】本题考查非负数的性质，有理数的混合运算等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质．
40．
【分析】
首先利用估算的方法分别得到、、前后的整数（即它们分别在哪两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数．
【详解】
解：∵-2＜＜-1，2＜＜3，3＜＜4，且墨迹覆盖的范围是1-3，
∴能被墨迹覆盖的数是.
故答案为：.
【点拨】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，难度不大.
41．
【分析】
根据题意求出AB，根据勾股定理求出AC，根据实数与数轴的关系解答即可.
【详解】
∵点A，B对应的实数分别为1，3
∴AB= 2
∵BC⊥AB
∴∠ABC =90°
∴AC =
则AP=AC=
∴点P对应的实数为＋1
故 答案为:+1
【点拨】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b斜边长为c，那么a2+b2=c2.
42．
【分析】
直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】
解：，
，
是直角三角形，
，，
，
点表示的实数是：．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
43．＜
【解析】
试题解析：∵
∴
∴
44． ．
【解析】
【分析】
首先估算2＜＜3，所以-1＜2，因此＜1，由此得出答案即可．
【详解】
解：∵2＜＜3，
∴-1<2，
∴＜1.
故答案为<.
【点拨】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是熟悉比较实数大小的法则.
45．＜
【解析】
【分析】
根据12=即可求解；
【详解】
∵12=＞，
∴＜12.
故答案为：<.
【点拨】本题主要考查了两个数的比较，可以利用平方的方法比较两个二次根式的大小．
46．.
【详解】
原式==，
故答案为．
47．4
【分析】
按顺序先分别进行算术平方根和平方运算，然后再进行减法运算即可．
【详解】
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
48．-；
【分析】
根据定义分别求出每一项的结果，然后准确计算即可；
【详解】
：：[2△（-4）]=2-4=，
[（-4）△（-1）]=（-4）1=-4，
∴[2△（-4）]×[（-4）△（-1）]= ×（-4）=-；
故答案为-；
【点拨】此题考查实数的运算，能够根据题中定义将所求转化为实数的运算是解题关键．
49．2
【详解】
【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．
【详解】将x=2代入得：
3×22﹣10=12﹣10=2，
故答案为2．
【点拨】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
50．8+
【分析】
根据程序框图的流程逐步进行计算,判断根式的大小即可解题.
【详解】
解：输入n=,n(n+1)=2+15,
输入n=2+, n(n+1)= 8+15,
∴输出结果为8+.
【点拨】本题考查了根式的大小判断,程序框图的应用,中等难度,读懂流程图,会判断根式的大小是解题关键.
51．
【分析】
直接将x=64代入流程图进行运算即可．
【详解】
解：当输入x的值为64时，＝8是有理数，则＝2是有理数；由2的算术平方根为是无理数．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键．
52．x2﹣1
【分析】
根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【点拨】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
53．1
【分析】
(1)由≈1.414，及题中所给信息，可得答案；
(2)先解出的取值范围后得出x的取值范围.
【详解】
解：（1） ≈1.414，由题中所给信息，
可得=1；
（2）由题意得:6≤＜7，
可得：3≤＜4，
可得：9≤x＜16.
【点拨】本题主要考查新定义及不等式的性质，找出规律是解题的关键
54．－＋4
【解析】
【分析】
根据题意，先比较出＞，2＜3，再代入相应的运算法则进行计算，再根据二次根式的混合运算进行化简.
【详解】
∵当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，＞，2＜3，
∴(△)－(2△3)
＝＋－(2－3)
＝－＋4.
【点拨】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意进行运算化简，再利用二次根式的运算法则进行计算.
55．-1.
【分析】
由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.
【详解】
解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6，
则，两正方形区域的边长分别是1和，
则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1.
故答案为：-1.
【点拨】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.
56．6 4+2
【解析】
【分析】
根据题意，由矩形的面积公式计算，用矩形的长乘以宽即可得到面积；矩形的周长是两个长加上两个宽，把数代入即可
【详解】
这个矩形的面积=×==6
周长=2×+2×=4+2
故答案为：6，4+2
【点拨】本题考查了矩形的面积和周长公式以及实数的运算，注意有理数运算与实数运算之间的联系
57．
【解析】
【分析】
根据已知等式，归纳总结得到结果即可．
【详解】
解：根据题意得：
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
58．6
【解析】
被开方数依次为0，3，6，9，12，15，18，…，每两数相差3，所以第13个数为36＝6.
故答案为6.
【点拨】：本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键.．
59．
【分析】
根据已知算式得出规律，根据规律求出即可．
【详解】
解：∵观察下列等式：
…
∴第n个等式是=1+-=1+.
故答案是：=1+-=1+．
【点拨】本题考查了二次根式的性质的应用，关键是能根据题意得出规律．
60．
【解析】
试题分析：当n=3时，A=≈0.3178，B=1，A＜B；
当n=4时，A=≈0.2679，B=≈0.4142，A＜B；
当n=5时，A=≈0.2631，B=≈0.3178，A＜B；
当n=6时，A=≈0.2134，B=≈0.2679，A＜B；
……
以此类推，随着n的增大，a在不断变小，而b的变化比a慢两个数，所以可知当n≥3时，A、B的关系始终是A＜B.
61．当x＜-2时，；当-2≤x≤1时，；当x＞1时，
【分析】
根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，去绝对值化简即可．
【详解】
解：，a，b均为有理数，
∴，
∴，，
∴a=-4，b=1，
∴=，
当x＜-2时，==；
当-2≤x≤1时，==；
当x＞1时，==．
【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a和b的值．
62．见解析
【分析】
根据实数的定义及其分类解答即可．
【详解】
解：有理数集合；
无理数集合；
整数集合；
负实数集合．
【点拨】本题考查了实数的定义和分类，属于基本题型，熟知实数的分类是解此题的关键．
63．
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：根据题意，得
解得
则b＝×＝－.
【点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
64．b-a+2c
【分析】
根据数轴得出a-b＜0，b+c＜0，b-c>0，进而化简得出即可．
【详解】
解：
=
=b-a+b+c-b+c
=b-a+2c
【点拨】此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
65．－|－3|＜－1＜－(－)＜＜π.
【分析】
先在数轴上表示出来，再比较即可．
【详解】
－|－3|＜－1＜－(－)＜＜π.
【点拨】本题考查了实数的大小比较和数轴的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
66．
【分析】
可以把两个括号里面的式子根据符号的不同用添括号的法则分组，构成平方差公式，根据平方差公式进行计算；或根据整式的乘法中多项式乘以多项式，用第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项，再合并同类项即可求解．
【详解】
解：
= [][]
=
．
考点：平方差公式（多项式乘以多项式）
67．（1） （2）x＝0或1时，始终输不出y的值 （3）81
【分析】
（1）根据运算的定义即可直接求解；
（2）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有0和1；
（3）写出一个无理数，平方是有理数，然后两次平方即可．
【详解】
解：(1)由输入x＝25得＝5.因为5是有理数，不能输出，再取5的算术平方根得.因为是无理数，所以输出y，所以输入x＝25时，输出的y的值是.
(2)x＝0或1时，始终输不出y的值．
(3)81(答案不唯一)
【点拨】本题考查无理数，正确理解题目中规定的运算是关键．
68．(1)；；(2)=；理由见解析.
【分析】
（1）根据，，可得答案；
（2）根据，，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】
（1）根据题中的新定义得：1012103=1015；
（2）相等，理由如下：
∵
∵
∴=
【点拨】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
69．（1）①-1，②x﹣2；（2）不是，见解析
【分析】
（1）①根据平衡数的定义，可得3与﹣1是关于1的平衡数，
②4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数；
（2）将两式相减得出a+b≠2，根据平衡数的定义，即可进行判断.
【详解】
解：（1）①∵2-3=（﹣1），
∴3与﹣1是关于1的平衡数；
②∵
∴4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数．
故答案为：﹣1；x﹣2；
（2）a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4＝﹣x2﹣3x﹣4，
b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝x2+3x+2，
a+b＝（﹣x2﹣3x﹣4）+（x2+3x+2）＝﹣2≠2．
因此，a与b不是关于1的平衡数．
【点拨】本题为材料理解题，理解平衡数的意义是解题的关键.
70．（1）4，5，验证见解析；（2）
【分析】
（1）观察不难发现，被减数放到根号外，减少作为被开方数即可；
（2）减数的分子与被减数相同，分母是被减数的平方加1，根据此规律写出即可，再按照题目提供的信息进行验证．
【详解】（1）4，
验证：4，
5
验证：5；
（2）n．
【点拨】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，理解算术平方根的定义是解题的关键．
专题4.6 实数（专项练习）
一、 单选题
知识点一、实数概念的理解
1．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③某数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④16的平方根是，用式子表示是.其中错误的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法中，正确的个数有（ ）
①不带根号的数一定是有理数； ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；
③无限小数都是无理数； ④是17的平方根；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各数，，，，，，中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点二、实数的分类
4．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是.其中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．在实数π，，，中，是无理数的是（ ）
A．p B． C． D．
6．已知下列各数:，，在以上各数中:①有理数有个；②无理数有个；③分数有2个；④正数有个；⑤负数有个.其中正确的是（ ）
A． ①②③ B． ②③④ C．②③⑤ D．①④⑤
知识点三、实数的性质
7．若=–a,则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点右侧 D．原点或原点左侧
8．化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A． 与 B．-4与 C．与 D．与
知识点四、实数与数轴
10．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A． B． C． D．
11．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在Rt△OBC中，OC=1，OB=2，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． －－2 B．－ C．﹣2 D．﹣+2
知识点五、实数的大小比较
13．下列各组数中,两个数相等的是 ( )
A．-2与 B．-2与- C．-2与 D．|-2|与-2
14．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
15．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
知识点六、实数的混合运算
16．计算：－＋－的结果是( )
A．1 B．－1 C．5 D．－3
17．－是( )
A．－2 B．－8 C．－6 D．－14
18．估计的值应在（ ）之间．
A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9
知识点七、程序设计与实数运算
19．有一个数值转换器原理如下:当输入x=16时,输出的数是 ( )
A．8 B．2 C． D．
20．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
21．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是﹣2，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（ ）
A．5 B．10 C．19 D．21
知识点八、新定义下的实数运算
22．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则x的取值可以是（ ）
A．40 B．45 C．51 D．56
23．定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
24．我们定义一种新运算a⊕b＝，例如5⊕2＝，则式子7⊕(﹣3)的值为( )
A． B． C． D．
知识点九、实数运算的实际应用
25．若实数x,y，使得x+y ,x-y , xy这四个数中的三个数相等，则的值等于（ ）
A．- B．0 C． D．
26．若面积为3的正方形的边长为a，下列两句判断：①a一定是一个无理数；②1.7
27．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点十、与实数运算的相关规律题
28．按如图所示的程序计算，若，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
29．已知=3×2=6,=5×4×3=60,=5×4×3×2=120,=6×5×4×3=360,依此规律的值为（ ）
A．820 B．830 C．840 D．850
30．按一定规律排列的一列数:，，，，其中第个数为( )
A． B． C． D．
二、 填空题
知识点一、实数概念的理解
31．的绝对值是_______．
32．在实数，，4，，，中，设有a个有理数，b个无理数，则________．
33． 观察下列各式：，，，…,根据你发现的规律，若式子(a、b为正整数)符合以上规律，则=_______.
知识点二、实数的分类
34．在，，，，这五个数中，有理数有______个
35．在实数，，﹣，0.303030…，π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，有理数的个数为_____个．
36．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是___________．
知识点三、实数的性质
37．－的相反数为______，|1－|＝_______，绝对值为的数为________．
38．化简: =________
39．若与|b+2|是互为相反数，则(a－b)2=______.
知识点四、实数与数轴
40．若将三个数、、表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖的数是_______．
41．如图，在数轴上，点对应的实数分别为，，，以点为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则点对应的实数为________．
42．如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作于点B，且，以原点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是_______．
知识点五、实数的大小比较
43．比较大小：________.
44．估算比较大小：______1．（填“＜“或“＞“或“＝“）
45．比较大小________12.
知识点六、实数的混合运算
46．计算：______．
47．计算＝_______．
48．对于实数a、b，定义运算：a△b= 例如2△3=2-3=，4△2=42=16，照此定义的运算方式计算：[2△（-4）]×[（-4）△（-1）]=_____.
知识点七、程序设计与实数运算
49．按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）
50．按如图所示的程序计算,若开始输入的n值为,则最后输出的结果是 _______
51．有一个数值转换器，流程如图：
当输入x的值为64时，输出y的值是_____．
知识点八、新定义下的实数运算
52．定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
53．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）＝_____；（2）若[3+，则x的取值范围是_____．
54．我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，其它运算符号的意义不变，计算：(△)－(2△3)＝__________.
知识点九、实数运算的实际应用
55．如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是_________．
56．矩形的长a＝，宽b＝，则这个矩形的面积为_______，周长为________．
57．请你规定一种适合非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，…你规定的新运算____________________.（用含a，b的一个代数式表示）
知识点十、与实数运算的相关规律题
58．观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，12，15，18，…，那么第13个数据是______．
59．观察下列等式：
＝1+﹣＝1，
＝1+﹣＝1，
＝1+﹣＝1，
…
请你根据以上规律，写出第n个等式_____．
60．已知，（），请用计算器计算当时，、的若干个值，并由此归纳出当时，、间的大小关系为______.
三、 解答题
知识点一、实数概念的理解
61． 已知：a，b均为有理数，且满足．化简．
知识点二、实数的分类
62．把下列各数填入相应的集合：
．
有理数集合{ }；
无理数集合{ }；
整数集合{ }；
负实数集合{ }．
知识点三、实数的性质
62． 已知实数a，b满足＋|2b＋1|＝0，求的值．
知识点四、实数与数轴
64．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简.
知识点五、实数的大小比较
65．把下列各数近似的表示在数轴上，并用“＜”号把它们按从小到大的顺序排列起来．
－|－3|，－(－)，－1，，π
知识点六、实数的混合运算
66． 计算：．
知识点七、程序设计与实数运算
67．如图是一个数值转换器．
(1)当输入x＝25时，求输出的y的值；
(2)是否存在输入x的值后，始终输不出y的值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；
(3)输入一个两位数x，恰好经过三次取算术平方根才能输出无理数y，则x＝________(只填一个即可)．
知识点八、新定义下的实数运算
68．我们约定，如: .
(1)试求和的值;
(2)想一想，是否与相等，并说明理由.
知识点九、实数运算的实际应用
69．定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）．
（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．
知识点十、与实数运算的相关规律题
70．观察与猜想：
2
3
（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；
（2）计算（n为正整数）等于什么？
参考答案
1．C
【分析】
①实数和数轴上的点是——对应的；②开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数；③绝对值是它本身的数是非负数；16的平方根是，用式子表示是．
【详解】
①实数和数轴上的点是——对应的，故正确；
②开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，故错误；
③某数的绝对值是它本身，则这个数是正数或零，故错误；
④16的平方根是，用式子表示是，故错误．
综上所述，错误的说法有3个．
故选C．
【点拨】本题考查实数的分类，无理数的定义，平方根的定义，在判断正误过程中，先理解相应的概念是解题的关键．
2．B
【分析】
根据有理数、实数、无理数和平方根的概念判断即可．
【详解】
解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误；
②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确；
③无限不循环小数都是无理数，所以③错误；
④是17的平方根，正确；
故选：B．
【点拨】此题考查实数，关键是根据有理数、实数、无理数和平方根的概念解答．
3．B
【分析】
整数和分数统称为有理数，无限不循环小数统称为无理数，据此定义逐项分析判断．
【详解】
解：，，，为有理数；
是无理数，是无理数，
，为开方开不尽的数，为无理数，
为开方开不尽的数，
为无理数，故无理数有3个，
故选B．
【点拨】本题考查算术平方根、立方根、无理数等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．D
【分析】
直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】
①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
②无理数是开方开不尽的数，错误，无理数是无限不循环小数；
③负数没有立方根，错误，负数有立方根；
④16的平方根是±4,用式子表示是：，故此选项错误．
故选D.
【点拨】此题考查实数，解题关键在于掌握其定义.
5．A
【分析】
根据无理数、有理数的定义逐一分析即可．
【详解】
在实数π，，，中，无理数是p，故选A.
【点拨】本题考查了无理数，解题的关键是掌握带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
6．C
【分析】
根据实数的分类进行解答
【详解】
解：①有理数有共7个，错误；
②无理数有共5个，正确；
③分数有，共2个，正确；
④正数有共7个，错误；
⑤负数有共4个；
故选C.
【点拨】本题考查了实数的概念辨析，涉及到有理数、无理数、分数、正数和负数，了解对应的概念判断即可.
7．D
【分析】
根据算术平方根和绝对值的意义可知a≤0，从而可判断出 实数a在数轴上的对应点位置.
【详解】
∵=–a,
∴a≤0，
∴a在原点或原点左侧.
故选D.
【点拨】本题考查了算术平方根的意义，绝对值的意义及实数与数轴的关系，根据绝对值的意义求出a≤0是解答本题的关键.
8．D
【分析】
首先比较与3的大小，然后由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【详解】
解：∵<3
∴-3<0
即：；
故选：D．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
9．C
【分析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
A、-|-2|=-2，=-2，故A错误；
B、-4=，故B错误；
C、=，只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确；
D、与不是相反数，故D错误；
故选C．
【点拨】本题考查了相反数，利用了相反数的意义．
10．B
【详解】
分析：观察数轴得到实数，，的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可.
详解：∵，∴，故A选项错误；
数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确；
∵，，∴，故Ｃ选项错误；
∵，，，∴，故D选项错误．
故选B.
【点拨】：主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算.观察数轴是解题的关键.
11．D
【详解】
根据根据数轴上的数右边总比左边的大，d在最右边，故选D.
12．D
【分析】
本题首先根据已知条件利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长度，进而利用实数与数轴的关系解答即可求解．
【详解】
解：由勾股定理可知，斜边=,
∵点A在负半轴上，
∴A表示的数是﹣+2．
故选D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，不仅要结合图形，还需要灵活运用勾股定理．
13．C
【分析】
根据算术平方根的定义，立方根的定义以及绝对值的性质对各选项分析后利用排除法求解．
【详解】
解：A、∵=2，∴-2与不相等，故本选项错误；
B、-2与-不相等，故本选项错误；
C、∵=-2，∴-2与相等，故本选项正确；
D、∵|-2|=2，∴|-2|与-2不相等，故本选项错误．
故选C．
【点拨】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，对各选项正确化简是解题的关键．
14．C
【详解】
解：由36＜38＜49，即可得6＜＜7，
故选C．
15．D
【分析】
根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】
根据数轴可得：，，且，
则，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
16．D
【分析】
首先求出各个根式的值，进而即可求解．
【详解】
－＋－，
=-3+2-2，
=-3.
故选D.
【点拨】此题主要考查了实数的运算，解题关键是能够求解一些简单的二次根式的加减问题．
17．A
【分析】
分别进行开平方及开立方的运算，然后合并即可得出答案．
【详解】
－=2-4=-2.
故选A.
【点拨】本题考查了实数的运算，要求同学们熟练掌握开平方及开立方的运算．
18．C
【解析】
【分析】
先把化简得+3，再判断+3在哪两个自然数之间即可.
【详解】
解：=++3；
∵=，4＜＜5，
∴7＜＜8，
即7＜＜8；
故选C.
【点拨】此题主要考察二次根式的计算及无理数的估算，需灵活运用方可解出.
19．D
【分析】
把16代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值．
【详解】
解：∵=4，4是有理数，
∴继续转换，
∵=2，2是有理数，
∴继续转换，
∵2的算术平方根是，是无理数，
∴符合题意，
故选D．
【点拨】本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数和无理数的区别．
20．C
【详解】
试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；
当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，
则输出结果为8+5．
故选C．
考点：实数的运算．
21．C
【分析】
把与代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．
【详解】
解：当时，可得，
可得：，
当时，可得：，
故选C．
【点拨】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．
22．C
【详解】
解：根据定义，得
∴
解得：．
故选C．
23．C
【解析】
试题解析：3⊕（-4）
=.
故选C．
24．B
【分析】
根据运算法则可得:=,化简可得.
【详解】
根据运算法则可得:=.
故选B
【点拨】本题考核知识点：新定义运算. 解题关键点：理解运算法则.
25．C
【解析】
【分析】
先根据分母不为0确定x+y与x-y不相等，再分类讨论即可．
【详解】
解：因为有意义，所以y不为0，故x+y和x-y不等
（1）x+y=xy=解得y=-1，x=，
（2）x-y=xy=解得y=-1，x= -，
所以|y|-|x|=1-=．
故选C．
【点拨】本题考查了实数的运算，解题的关键是确定x+y与x-y不相等，再进行分类讨论．
26．C
【分析】
根据正方形面积算法得到a2=3，再利用实数的性质分析得出答案．
【详解】
解：∵面积为3的正方形的边长为a，
∴a2=3，
∴①a一定是一个无理数，正确，
②1.72=2.89，1.82=3.24，2.89
【点拨】此题主要考查了实数的性质，正确掌握实数有关性质是解题关键．
27．D
【分析】
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，
A、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；
B、1+＜3，不能组成三角形，不符合题意；
C、b+a-b=a，不能组成三角形，不符合题意；
D、a+1+a+2=2a+3＞2a+2，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两边的和是否大于第三边．
28．D
【分析】
根据程序分别计算前几次输出的结果，从中找到规律，进一步探索第2020次得到的结果．
【详解】
解：由题意知，
S1=a，
n=1时，S2=1－S1=1－a，
n=2时，S3=，
n=3时，S4=1－S3=1－=，
n=4时，S5==，
n=5时，S6=1－S5=1－（1－）=，
n=6时，S7=；
……
发现规律：每6个结果为一个循环，
所以2020÷6=336…4，
所以S2020=S4=，
故选：D．
【点拨】本题考查了代数式的运算，解决此类题的关键是通过计算发现循环的规律，再进一步探索，注意规律的总结．
29．C
【分析】
对于（b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是a，依次少1，最小因数是b．依此计算即可．
【详解】
解：根据规律可得：
=7×6×5×4=840；
故选C．
【点拨】本题考查了规律型-数字的变化，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．注意找到（b＜a）中的最大因数，最小因数．
30．B
【分析】
观察这列数，得到分子和分母的规律，进而得到答案．
【详解】
解：根据一列数：，，，，…可知，
第n个数分母是n，分子是(n+1)2-1的算术平方根，
据此可知：第7个数是．
故选B．
【点拨】此题考查了数字的变化类，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键，难点在于观察出分子的变化．
31．2
【详解】
解：因为，所以—2的绝对值是2．故答案为2．
32．2
【分析】
由题意先根据有理数和无理数的定义得出a、b的值，进而求出的值．
【详解】
解：，4，，共有4个有理数，即，
，共有2个无理数，即，
所以．
故答案为：2．
【点拨】本题考查有理数和无理数的定义以及算术平方根的运算，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．
33．4
【分析】
从①②③三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，据此求出a、b的值即可求得答案.
【详解】
∵，， ，…，
∴用含n的式子来表示为：，
∵，
∴a=8-1=7，b=a+2=9，
∴==4，
故答案为4.
【点拨】本题考查了本题考查了规律型——数字的变化类，找到变化的规律是解题的关键．
34．3
【分析】
根据有理数和无理数的定义进行判断即可得.
【详解】
根据题意可得有理数有，，，
，为无理数，
所以有理数有3个，
故答案为3．
【点拨】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义.
35．4
【分析】
根据有理数、无理数的定义进行判断即可得解.
【详解】
在，，﹣，0.303030…，π，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，有理数有，，﹣，0.303030…，共4个，其余的都是无理数，
故答案为4.
【点拨】本题考查了实数的分类，主要利用了有理数和无理数定义，熟记相关概念是解题的关键．
36．
【分析】
根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】
解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的平方根，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是．
故答案为：．
【点拨】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
37．－ －1 ±3
【分析】
直接利用相反数的定义得出答案;
结合绝对值的定义得出答案;
根据立方根的定义先求出的值,再根据绝对值的性质即可求出.
【详解】
解：(1)－的相反数是：－，
(2) |1－|＝－1;
(3)=3,
∴绝对值为3的数为±3.
故答案为－;－1; ±3.
【点拨】本题主要考查相反数，绝对值的定义以及立方根,关键在于熟练掌握运用相关的性质定理，认真的进行计算．
38．1
【分析】
因为π≈3.142，所以π-4＜0，3-π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π-4|+|3-π|．
【详解】
∵π≈3.142，
∴π-4＜0，3-π＜0，
∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1，
故答案为1．
【点拨】本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
39．9
【分析】
利用非负数的性质确定a、b的值即可解决问题．
【详解】
∵若与|b+2|互为相反数，
∴+|b+2|=0，
∵≥0，|b+2|≥0，
∴a=1，b=-2，
∴（a-b）2=9，
∴9的平方根为±3．
故答案为±3．
【点拨】本题考查非负数的性质，有理数的混合运算等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质．
40．
【分析】
首先利用估算的方法分别得到、、前后的整数（即它们分别在哪两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数．
【详解】
解：∵-2＜＜-1，2＜＜3，3＜＜4，且墨迹覆盖的范围是1-3，
∴能被墨迹覆盖的数是.
故答案为：.
【点拨】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，难度不大.
41．
【分析】
根据题意求出AB，根据勾股定理求出AC，根据实数与数轴的关系解答即可.
【详解】
∵点A，B对应的实数分别为1，3
∴AB= 2
∵BC⊥AB
∴∠ABC =90°
∴AC =
则AP=AC=
∴点P对应的实数为＋1
故 答案为:+1
【点拨】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b斜边长为c，那么a2+b2=c2.
42．
【分析】
直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】
解：，
，
是直角三角形，
，，
，
点表示的实数是：．
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
43．＜
【解析】
试题解析：∵
∴
∴
44． ．
【解析】
【分析】
首先估算2＜＜3，所以-1＜2，因此＜1，由此得出答案即可．
【详解】
解：∵2＜＜3，
∴-1<2，
∴＜1.
故答案为<.
【点拨】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是熟悉比较实数大小的法则.
45．＜
【解析】
【分析】
根据12=即可求解；
【详解】
∵12=＞，
∴＜12.
故答案为：<.
【点拨】本题主要考查了两个数的比较，可以利用平方的方法比较两个二次根式的大小．
46．.
【详解】
原式==，
故答案为．
47．4
【分析】
按顺序先分别进行算术平方根和平方运算，然后再进行减法运算即可．
【详解】
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
48．-；
【分析】
根据定义分别求出每一项的结果，然后准确计算即可；
【详解】
：：[2△（-4）]=2-4=，
[（-4）△（-1）]=（-4）1=-4，
∴[2△（-4）]×[（-4）△（-1）]= ×（-4）=-；
故答案为-；
【点拨】此题考查实数的运算，能够根据题中定义将所求转化为实数的运算是解题关键．
49．2
【详解】
【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．
【详解】将x=2代入得：
3×22﹣10=12﹣10=2，
故答案为2．
【点拨】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
50．8+
【分析】
根据程序框图的流程逐步进行计算,判断根式的大小即可解题.
【详解】
解：输入n=,n(n+1)=2+15,
输入n=2+, n(n+1)= 8+15,
∴输出结果为8+.
【点拨】本题考查了根式的大小判断,程序框图的应用,中等难度,读懂流程图,会判断根式的大小是解题关键.
51．
【分析】
直接将x=64代入流程图进行运算即可．
【详解】
解：当输入x的值为64时，＝8是有理数，则＝2是有理数；由2的算术平方根为是无理数．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键．
52．x2﹣1
【分析】
根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【点拨】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
53．1
【分析】
(1)由≈1.414，及题中所给信息，可得答案；
(2)先解出的取值范围后得出x的取值范围.
【详解】
解：（1） ≈1.414，由题中所给信息，
可得=1；
（2）由题意得:6≤＜7，
可得：3≤＜4，
可得：9≤x＜16.
【点拨】本题主要考查新定义及不等式的性质，找出规律是解题的关键
54．－＋4
【解析】
【分析】
根据题意，先比较出＞，2＜3，再代入相应的运算法则进行计算，再根据二次根式的混合运算进行化简.
【详解】
∵当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，＞，2＜3，
∴(△)－(2△3)
＝＋－(2－3)
＝－＋4.
【点拨】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意进行运算化简，再利用二次根式的运算法则进行计算.
55．-1.
【分析】
由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.
【详解】
解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6，
则，两正方形区域的边长分别是1和，
则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1.
故答案为：-1.
【点拨】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.
56．6 4+2
【解析】
【分析】
根据题意，由矩形的面积公式计算，用矩形的长乘以宽即可得到面积；矩形的周长是两个长加上两个宽，把数代入即可
【详解】
这个矩形的面积=×==6
周长=2×+2×=4+2
故答案为：6，4+2
【点拨】本题考查了矩形的面积和周长公式以及实数的运算，注意有理数运算与实数运算之间的联系
57．
【解析】
【分析】
根据已知等式，归纳总结得到结果即可．
【详解】
解：根据题意得：
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
58．6
【解析】
被开方数依次为0，3，6，9，12，15，18，…，每两数相差3，所以第13个数为36＝6.
故答案为6.
【点拨】：本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键.．
59．
【分析】
根据已知算式得出规律，根据规律求出即可．
【详解】
解：∵观察下列等式：
…
∴第n个等式是=1+-=1+.
故答案是：=1+-=1+．
【点拨】本题考查了二次根式的性质的应用，关键是能根据题意得出规律．
60．
【解析】
试题分析：当n=3时，A=≈0.3178，B=1，A＜B；
当n=4时，A=≈0.2679，B=≈0.4142，A＜B；
当n=5时，A=≈0.2631，B=≈0.3178，A＜B；
当n=6时，A=≈0.2134，B=≈0.2679，A＜B；
……
以此类推，随着n的增大，a在不断变小，而b的变化比a慢两个数，所以可知当n≥3时，A、B的关系始终是A＜B.
61．当x＜-2时，；当-2≤x≤1时，；当x＞1时，
【分析】
根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，去绝对值化简即可．
【详解】
解：，a，b均为有理数，
∴，
∴，，
∴a=-4，b=1，
∴=，
当x＜-2时，==；
当-2≤x≤1时，==；
当x＞1时，==．
【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a和b的值．
62．见解析
【分析】
根据实数的定义及其分类解答即可．
【详解】
解：有理数集合；
无理数集合；
整数集合；
负实数集合．
【点拨】本题考查了实数的定义和分类，属于基本题型，熟知实数的分类是解此题的关键．
63．
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：根据题意，得
解得
则b＝×＝－.
【点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
64．b-a+2c
【分析】
根据数轴得出a-b＜0，b+c＜0，b-c>0，进而化简得出即可．
【详解】
解：
=
=b-a+b+c-b+c
=b-a+2c
【点拨】此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
65．－|－3|＜－1＜－(－)＜＜π.
【分析】
先在数轴上表示出来，再比较即可．
【详解】
－|－3|＜－1＜－(－)＜＜π.
【点拨】本题考查了实数的大小比较和数轴的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
66．
【分析】
可以把两个括号里面的式子根据符号的不同用添括号的法则分组，构成平方差公式，根据平方差公式进行计算；或根据整式的乘法中多项式乘以多项式，用第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项，再合并同类项即可求解．
【详解】
解：
= [][]
=
．
考点：平方差公式（多项式乘以多项式）
67．（1） （2）x＝0或1时，始终输不出y的值 （3）81
【分析】
（1）根据运算的定义即可直接求解；
（2）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有0和1；
（3）写出一个无理数，平方是有理数，然后两次平方即可．
【详解】
解：(1)由输入x＝25得＝5.因为5是有理数，不能输出，再取5的算术平方根得.因为是无理数，所以输出y，所以输入x＝25时，输出的y的值是.
(2)x＝0或1时，始终输不出y的值．
(3)81(答案不唯一)
【点拨】本题考查无理数，正确理解题目中规定的运算是关键．
68．(1)；；(2)=；理由见解析.
【分析】
（1）根据，，可得答案；
（2）根据，，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】
（1）根据题中的新定义得：1012103=1015；
（2）相等，理由如下：
∵
∵
∴=
【点拨】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
69．（1）①-1，②x﹣2；（2）不是，见解析
【分析】
（1）①根据平衡数的定义，可得3与﹣1是关于1的平衡数，
②4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数；
（2）将两式相减得出a+b≠2，根据平衡数的定义，即可进行判断.
【详解】
解：（1）①∵2-3=（﹣1），
∴3与﹣1是关于1的平衡数；
②∵
∴4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数．
故答案为：﹣1；x﹣2；
（2）a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4＝﹣x2﹣3x﹣4，
b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝x2+3x+2，
a+b＝（﹣x2﹣3x﹣4）+（x2+3x+2）＝﹣2≠2．
因此，a与b不是关于1的平衡数．
【点拨】本题为材料理解题，理解平衡数的意义是解题的关键.
70．（1）4，5，验证见解析；（2）
【分析】
（1）观察不难发现，被减数放到根号外，减少作为被开方数即可；
（2）减数的分子与被减数相同，分母是被减数的平方加1，根据此规律写出即可，再按照题目提供的信息进行验证．
【详解】（1）4，
验证：4，
5
验证：5；
（2）n．
【点拨】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，理解算术平方根的定义是解题的关键．
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