专题1.27 《探索三角形全等》几何模型-过端点作中线的垂线（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.27 《探索三角形全等》几何模型-过端点作中线的垂线

（专项练习）

一、解答题

1．如图，是的中线，于.于，

（1）求证：；（2）若，，求的长．

2．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.

3．如图，在中，，，，，延长交于.求证：.

4．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．

求证：AB＝CD．

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．

①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；

②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．

（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

5．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.

求证：BF＝AC．

参考答案

1．（1）详见解析；（2）

【解析】

【分析】

先证明DE=DF；

(1)在中，由垂线段最短可得，即，①，在中，同理可得，即，②，①+②整理后即可得结论；

(2)， ，可得，继而可得答案.

【详解】

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED=∠CFD=90°，

∵AD为△ABC的中线，

∴BD=CD，

又∠BDE＝CDF

∴△BED≌△CFD(AAS)，

∴DE=DF；

(1)在中，，即，①

在中，，

即，②

①+②得，，

即；

(2)，①，，②

①+②得，，

【点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键.

2．详见解析

【解析】

【分析】

分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.

【详解】

如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，

则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，

又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，

∴，

∴DF=CG，.

又，

∴≌，

.

【点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

3．详见解析

【解析】

【分析】

如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案.

【详解】

如图，过点D作的延长线于点G，

，

，

，

又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，

∴，

，

又∵BC=BE，

，

又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，

∴，

∴EF=DF.

【点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

4．（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；

【分析】

（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；

②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG

△BAF≌△CDG，AB＝CD；

（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；

【详解】

（1）①如图1，

延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，

∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，

在△BEF和△CED中，

，

∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，

∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，

∴AB＝BF，∴AB＝CD；

②如图2，

分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，

∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，

∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，

在△BEF和△CEG中，

，

∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，

 在△BAF和△CDG中，

，

∴△BAF≌△CDG（AAS），

∴AB＝CD；

（2）如图3，

过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，

则∠BAE＝∠EMC，

∵E是BC中点，

∴BE＝CE，

在△BAE和△CME中，

，

∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，

∵∠BAE＝∠EDC，

∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．

【点拨】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．

5．证明见解析

【分析】

方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．

方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论.

【详解】

方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC

方法二：如图，分别过点、作，，垂足为、，

则.

，，

，

.

，，

，，

又，

，

.

【点拨】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.