数学北师大版2 定义与命题练习

课  时  练

第7单元  平行线的证明

2 定义与命题

一、填空题

1．“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”是_______(填“定义”“公理”或“定理”).

2．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是_________________________．

3．给出下列四个命题：①以，2，为边长的三角形是直角三角形；②函数y＝的自变量x的取值范围是x≥－；③若ab＞0，则直线y＝ax＋b必过第二、三象限；④在同一平面内，如果一条直线上有两个点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行．其中，是真命题的序号是_______．

4．(1)把“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果……那么……”的形式为_______．

(2)证明命题“若x(1－x)＝0，则x＝0”是假命题的反例是_______．

二、选择题

5．下列语句中，属于定理的是(     )

A．在直线AB上取一点E

B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

C．同位角相等

D．同角的补角相等

6．下列所学过的真命题中，不是公理的是(     )

A．对顶角相等

B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C．同位角相等，两直线平行

D．三边分别相等的两个三角形全等

7．某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程(     )

A．直线的公理

B．直线的公理或线段最短公理

C．线段最短公理

D．平行公理

8．下列说法正确的是（     ）

A．真命题都可以作为定理

B．公理不需要证明

C．定理不一定都要证明

D．证明只能根据定义、公理进行

三、解答题

9．指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④长方形的四个角都是直角．

10．(1)根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理．

①如图所示，若∠1＝∠2，则a∥b；

②在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，则△ABC≌△A′B′C′；

③如果a＝b，b＝c，那么a＝c.

(2)如图，已知AC⊥BC，C为垂足，E是BC上一点，并且∠1＝∠2.试问：DE与BC有何位置关系？请说明理由.

B组(中档题)

四、填空题

11．下列命题可以作为定理的有_______个．

①2与6的平均值是8；②能被3整除的数也能被6整除；③5是方程x＋7＝的根；④三角形的内角和是180°；⑤等式两边加上同一个数仍是等式.

12．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题_______．(用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出)

13．A，B，C，D，E五名学生猜自己的数学成绩：

A说：“如果我得优，那么B也得优．”

B说：“如果我得优，那么C也得优．”

C说：“如果我得优，那么D也得优．”

D说：“如果我得优，那么E也得优．”

大家都没有说错，但只有三个人得优，那么得优的三个人是_______．

五、解答题

14．请你完成命题“有两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等”的证明．(画出图形，写出已知、求证，并完成证明)

C组(综合题)

15．如图，EG∥AF，请你从下面三个等式中再选两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题(只需要写出一种情况)，并给予证明．

①∠B＝∠ACB；②DE＝DF；③BE＝CF.

已知：EG∥AF，_______＝_______，_______＝_______．

求证：_______＝_______．

参考答案

A组(基础题)

一、填空题

1．“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”是定理(填“定义”“公理”或“定理”).

2．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是平行于同一条直线的两条直线平行．

3．给出下列四个命题：①以，2，为边长的三角形是直角三角形；②函数y＝的自变量x的取值范围是x≥－；③若ab＞0，则直线y＝ax＋b必过第二、三象限；④在同一平面内，如果一条直线上有两个点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行．其中，是真命题的序号是③．

4．(1)把“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果……那么……”的形式为如果同旁内角互补，那么两直线平行．

(2)证明命题“若x(1－x)＝0，则x＝0”是假命题的反例是当x＝1时，x(1－x)＝0．

二、选择题

5．下列语句中，属于定理的是(  D  )

A．在直线AB上取一点E

B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

C．同位角相等

D．同角的补角相等

6．下列所学过的真命题中，不是公理的是(  A  )

A．对顶角相等

B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C．同位角相等，两直线平行

D．三边分别相等的两个三角形全等

7．某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程(  C  )

A．直线的公理

B．直线的公理或线段最短公理

C．线段最短公理

D．平行公理

8．下列说法正确的是（  B  ）

A．真命题都可以作为定理

B．公理不需要证明

C．定理不一定都要证明

D．证明只能根据定义、公理进行

三、解答题

9．指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④长方形的四个角都是直角．

解：①条件：两条直线都和第三条直线平行．结论：这两条直线互相平行．

②条件：ab＝1.结论：a与b互为倒数．

③条件：两个角是同一个角的余角．结论：这两个角相等．

④条件：一个四边形是长方形．结论：这个四边形的四个角都是直角．

10．(1)根据题意，把下列推理的依据写出来，并指出是公理还是定理．

①如图所示，若∠1＝∠2，则a∥b；

②在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，则△ABC≌△A′B′C′；

③如果a＝b，b＝c，那么a＝c.

解：①内错角相等，两直线平行，是定理.

②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理．

③等量代换，是公理．

(2)如图，已知AC⊥BC，C为垂足，E是BC上一点，并且∠1＝∠2.试问：DE与BC有何位置关系？请说明理由.

解：DE⊥BC.理由：

∵∠1＝∠2，

∴AC∥DE.

∴∠ACE＋∠DEC＝180°.

∵AC⊥BC，

∴∠ACE＝90°.

∴∠DEC＝180°－90°＝90°.

∴DE⊥BC.

B组(中档题)

四、填空题

11．下列命题可以作为定理的有2个．

①2与6的平均值是8；②能被3整除的数也能被6整除；③5是方程x＋7＝的根；④三角形的内角和是180°；⑤等式两边加上同一个数仍是等式.

12．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题①③④⇒②(答案不唯一)．(用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出)

13．A，B，C，D，E五名学生猜自己的数学成绩：

A说：“如果我得优，那么B也得优．”

B说：“如果我得优，那么C也得优．”

C说：“如果我得优，那么D也得优．”

D说：“如果我得优，那么E也得优．”

大家都没有说错，但只有三个人得优，那么得优的三个人是C，D，E．

五、解答题

14．请你完成命题“有两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等”的证明．(画出图形，写出已知、求证，并完成证明)

解：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，AD＝A′D′.

求证：△ABC≌△A′B′C′.

证明：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，

∴BD＝BC，B′D′＝B′C′.

∵BC＝B′C′，

∴BD＝B′D′.

在△ABD和△A′B′D′中，

∴△ABD≌△A′B′D′(SSS).

∴∠B＝∠B′.

在△ABC和△A′B′C′中，

∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).

C组(综合题)

15．如图，EG∥AF，请你从下面三个等式中再选两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题(只需要写出一种情况)，并给予证明．

①∠B＝∠ACB；②DE＝DF；③BE＝CF.

已知：EG∥AF，∠B＝∠ACB，DE＝DF．

求证：BE＝CF．

证明：∵EG∥AF，

∴∠GED＝∠F，∠EGD＝∠DCF.

又∵DE＝DF，

∴△EGD≌△FCD(AAS).

∴EG＝CF.

∵EG∥AF，

∴∠EGB＝∠ACB.

∵∠B＝∠ACB，

∴∠B＝∠EGB.

∴BE＝EG.

∴BE＝CF.(答案不唯一)