专题07 手拉手型-九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

这是一份专题07 手拉手型-九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版），文件包含专题07手拉手型解析版-九年级数学相似三角形基本模型探究北师大版docx、专题07手拉手型原卷版-九年级数学相似三角形基本模型探究北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
专题07 手拉手型【基本模型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．【例题精讲】例1.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（　　）A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2：例2.如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．（1）求证：；（2）求的度数及的长；（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．   例3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．    例4.如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为           ；（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．     【变式训练1】如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝　27　°；（2）证明：△AFC∽△AGD；（3）若，请求出的值．【变式训练2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．   【变式训练3】在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且．【观察猜想】（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．【探究证明】（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积． 【课后训练】1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（　　）A．10° B．20° C．40° D．无法确定2.在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．3.已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；     4．如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．   5．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．6．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：（1）如图1，当α＝60°时，的值为　　，直线CD与 AP所成的较小角的度数为　　°；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长．   7．如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．（1）①求证：； ②若，求的长；（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）8．将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种变换记为．（1）问题发现如图①，对作变换得，则______；直线与直线所夹的锐角度数为______．（2）拓展探究如图②，中，且，连结，．对作变换得，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．（3）问题解决如图③，中，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，请直接写出的值．     9．在矩形中，，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且．（1）求的值．（2）求证：．（3）作射线与射线交于点，若，，求的长．10．矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点．（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：①________；②与的等量关系为_________．（2）拓展探究如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由．（3）思维延伸如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．